CHAPITRE I
LA PARABOLE
X)é£Lnition. Tracé.
49. — Définition, — La parabole est le Heu des points d'un plan équidistants d'un point fixe appelé foyer, et d'une droite fixe appelée directrice.
La distance d'un point du plan au foyer s'appelle rayon vecteur.
50. — Tracé de la parabole d'un mouvement continu. — Soit SS' la directrice (fig. 32), F le foyer. Appliquons
une règle le long de la directrice, plaçons uneéquerre BCP de manière qu'un des côtés PC de l'angle droit s'appuie sur la règle. Supposons qu'on ait attaché au foyer F et au sommet B de i'équerrelesdeux extrémités d'un fil inextensible de longueur égale à BP. Si l'on tend ce fil avec une pointe, dans la position BMF, et qu'on fasse glisser l'équerre sur la règle, la pointe M déni, j2. crit un arc AN de la parabole.
51. -- Tracé de la parabole par points. — Première construction- — Menons par le foyer la perpendiculaire DF
LA l'ARABOLE. 135
à la directrice (fig- 33) ; soit D le point de rencontre de ces deux droites. Par un point quelconque N de DF menons la parallèle MM' à la directrice, et cherchons les points de rencontre de celle droite avec la courbe. Pour cela, du point F comme centre, avec un rayon égal à ND, décrivons un cercle: les , points M, M' où il coupe la droite iVlM' appartiennent à la courbe. Car leur distance tant au foyer qu'à la directrice est égale à HD.
Pourque le cercle rencontre la droite MM', il p,Q 33, faut et il suffit que son
rayon DN soit plus grand que FN. Soit donc A le milieu de la distance DF ; la condition est que le point N soit au delà du point A par rapport à la directrice.
52. — On déduit de cette construction les conséquences suivantes :
1° La parabole a pour aœe de symétrie la perpendiculaire à la directrice menée par le foyer.
On appelle sommet de la courbe le point A où elle est rencontrée par son axe.
2° La tangente au sommet est parallèle à la directrice.
Car, si le point N se confond avec le point A, les deux points M et M' se confondent en un seul.
3° La parabole est située tout entière du côté opposé à la directrice par rapport à la tangente au sommet. Elle se prolonge à une distance indéfinie de la directrice.
53. — De«jrîè/«ec(ms!rMctJon.~-Parunpointquelconque P de la directrice menons une parallèle Z à l'axe {fig. 34) et cherchons l'intersection de cette droite et de la courbe.
iW GÉOMÉTRIE.
Un point commun à' cette droite et à la courbe, devant être également distant des points P et F, appartient à la perpendiculaire IM menée à VF par son milieu. Il est donc à l'intersection M de Z et de IM.
Observons que le point A étant le milieu de DF et le point I le milieu de PF, la droite AI est parallèle à la directrice; ainsi le point I est sur la tangente au sommet.
Celte construction montre que toute parallèle à l'axe rencontre la courbe en un point unique. La courbe s'étend, de part et d'autre, à. une dislance indéfinie de l'axe.
5i. — Point intérieur, point extérieur. — Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à la parabole, il est plus pris du foyer que de la directrice, ou plus près de la directrice que du foyer.
1" Soit M un point intérieur. Menons son rayon vecteur MF ((îg. 35) et la perpendiculaire MP sur la
