DÉFINITION DES COORDONNEES. EQUATION D'UN LIEU GÉOMÉTRIQUE

8. — Abscisse et ordonnée d'un point. — Soit, dans un plan, deux axes indéfinis x'x, y'y (fig. 1), dont les directions positives sont x'x, y'y; nous les appellerons respectivement axe des x, ou des abscisses, et axe des y, ou des ordonnées. Leur point d'intersection s'appelle l'origine. Ces axes servent à déterminer la position d'un point du plan.

Soit en effet M un tel point.

Menons les parallèles MQ à l'axe des X, MP à l'axe des y, jusqu'à ' la rencontre des axes. Les segments dirigés OP, OQ {ou PM) sont dits l'un l'a; ou l'abscisse, l'autre l'y ou l'ordonnée du point M; et ces deux segments sont les ,^,g )

deux coordonnées du point M. li est évident que tout point du plan a deux coordonnées déterminées, et que réciproquement deux coordonnées données définissent un point du plan et un seul.

Un point M, M'" a ses deux coordonnées positives ou négatives suivant qu'il est situé dans l'angle yOx ou dans l'angle y'Qx'. Un point M', M" a son abscisse positive et son ordonnée négative, ou son abscisse négative et son ordonnée positive, suivant qu'il est dans l'angle y'Ox ou dans l'angle yOx'.

Un point P situé sur l'axe des x a son ordonnée nulle. Un point Q situé sur l'axe des y a son abscisse nulle. L'origine a ses deux coordonnées nulles,

9. — Coordonnées rectangulaires. — Les axes des coordonnées peuvent se couper sous un angle quelconque. S'ils se coupent à angle droit, on dit que les coordonnées sont rectangulaires.

10. — Équation d'une courbe. — Supposons maintenant que le point M (flg. 2) décrive une courbe quelconque. A mesure qu'il prend les positions successives M, M', M", son X prend dilKrenîea valeurs ON, ON', ON",

Ta M' K"

et en même temps son y prend les valeurs correspondantes NM, N'M', N"M". La coordonnée y d'un point de la courbe dépend de la coordonnée x, en d'autres termes est fonction de x. On peut dire également que x est fonction de )/, La dépendance qui existe entre l'ieetr^ d'un point de la courbe s'exprime par une équation entre a; et y, qui s'appelle l'équation de la courhe.

Si, par exemple, la courbe est un cercle de rayon r (fig. 3) ayant pour centre l'origine, le théorème de Pythagore, si les coordonnées sont rectangulaires, donne la relation

on' -I- ni' = ôm',

ou x^ -]-- y^ = r-.

COOROONNEriS. 7

Telle est l'équation d'un cercle ayant l'origine pour centre.

II. — Représentation d'une fonction par une courbe, — Réciproquement toute équation entre x et y correspond à un lieu géométrique. Concevons en effet que l'équation soit résolue par rapport à y\ cette dernière quantité est donc donnée en fonction de x. Nous supposerons, comme condition essentiette, que cette fonclion soit continue, sauf, du moins, pour certaines valeurs particulières àQX.

Alors, si l'on donne à x (fig. 2) les valeurs voisines ON, ON', ON", y prend pour chacune d'elles une valeur qu'on porte en NM, N'M', N"M", sur des parallèles à l'axe des y menées par les points N, N', N", en sorle qu'à chaque valeur de x correspond un point M, D'après l'hypothèse de la continuité de la fonction, quand x croit par degrés de plus en plus petits, y varie par degrés aussi petits qu'on veut. Il eu résulte que, si le pied N de l'ordonnée passe d'une manière continue d'une position à une autre, le point M décrit un arc continu.

Si l'on fait passer x par tous les états de grandeur, en exceptant, s'il y a lieu, ceux pour lesquels y serait imaginaire, le point M décrit un lieu géométrique, représentatif de la fonction donnée.

Tel est le principe de la géométrie analytique, qui a ftiit de l'algèbre et de la géométrie une seule et même science, et a puissamment contribué aux progrès de l'une et de l'autre. Cette conception est duc au philosophe Descartes.