M'F>NP — NM', M'F>MT

Intersection de la parabole et d'une droite- Tangente,

55. ^Intersection de la courbe et d'une droite. — Soit à trouver les points où une droite ZZ' coupe la parabole (ftg. 36), dont on donne le foyerFet la directrice SS'.

Supposons le problème résolu, et soit M un des points d'intersection. Abaissons de ce point la perpendiculaire MP sur la directrice : elle est égale à MF. Décrivons un cercle du point M comme centre avec MF comme rayon; il est langent à la directrice au point P, Ce cercle passe d'ailleurs par le point G, symétrique du point F par rapport à la i,',g. au.

droite ZZ' et la question est ramenée à trouver le centre d'un cercle passant par les

138 (JÉOIIIÎÏKIE.

•deux points donnés F, G, et tangent à la droite, problème connu*. On est donc conduit à la construction suivante :

On construit le point G symétrique du foyer F par rapport à la droite ZZ', on prolonge la droite FG jusqu'à son intersection E avec la directrice, on porte sur la directrice la droite EP, moyenne proportionnelle entre EG et EF, par le point P on mène la perpendiculaire PM à la directrice; cette droite coupe la droite donnée au point cherché M.

56. — Discussion. — D'après la discussion du problème de tracer un cercle passant par deux points et tangent à une droite, la droite ZZ'renconire la parabole en deux points M, M', ne la rencontre pas ou n'a qu'un seul point de commun avec elle suivant que le point G, symétrique du foyer F' par rapport à cette droite, est du même côté que le foyer par rapport à la directrice, est du côté opposé, ou se trouve sur la directrice.

Ainsi la parabole ne peut être rencontrée par une

droite en plus de deux points. C'est une courbe' convexe.

Si la droite ZZ' est perpendiculaire à l'axe, le point E

se trouve rejeté à l'infini. 11 n'y a plus

alors qu'une solution, comme nous

l'avons déjà vu (n" 53).

57. — Remarque. — Dans le cas où la droite ZZ' passe par le point F, le point G se confond avec le point F (flg. 37). Mais la droite FG n'en est pas moins déterminée, puisqu'elle est perpendiculaireàZZ'. Alors la moyenne proportionnelle entre EF et EG est la droite EF; on prend donc EP et EP' = EF.

58. — Propriété fondamentale de la tangente. — Si la sécante ZZ' tourne autour d'un de ses points d'inter-