Voii- nos Éléments de géométrie, n

LA PARAROLE. 139

section M (flg. 38), jusqu'à ce que le point G, symétrique du foyer par rapport à cette droite, vienne se placer sur la directrice, le point E vient se confondre avec le point G, la moyenne proportionnelle entreEG et EF tend vers zéro; il en est donc de même des longueurs EP, EP'.

Donc le point M' tend vers le point H, et la sécante devient tangente TT' en M. La droite PM' seconfond alors avec GM.

Soit I le point où GF coupe la tangente; ce pointestle milieu de GF-, . .

les triangles IMF, IMG

sont égaux comme ayant un angle égal en I, compris entre côtés égaux chacun à chacun. Il s'ensuit que les angles IMG, IMF sont égaux. D'où ce théorème :

La tangente à la parabole est bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact, et la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice.

Corollaire I. ~ Le lieu des points symétriques du foyer par rapport aux tangentes est la directrice.

Corollaire II. — Le Heu des projections du foyer sur les tangentes est la tangente au sommet.

Car le point I étant le milieu de GF, et le sommet A le milieu de DF, la droite AI est parallèle à la directrice et est la tangente au sommet.

59. — Problème I. — Mener la tangente à la parabole par un point M donné sur la courbe.

On abaisse du point M (fig. 38) la perpendiculaire HG sur la directrice, et l'on élève la perpendiculaire TT' à la droite FG par son milieu. C'est la tangente demandée.

60. — Problème H. — Mener une tangente à la parabole par un point quelconque K.

Supposons le problème résolu. Soit KZ (flg. 39) la tangente demandée. Tout revient à déterminer le point G, symétrique du foyer F par rapport à cette tangente. Or il est sur la directrice, et de plus sur le cercle décrit du point K comme centre avec KF comme rayon, puisque le point K, étant sur la perpendiculaire élevée à F& par son milieu, est à égale distance des points F et G. D'ofi la construction :

On décrit du point K comme centre un cercle passant par le foyer. Soit G un des points où il coupe la directrice : on élève la perpendiculaire KZ à la droite FG par son milieu, c'est la tangente demandée.

Quant au point de contact M, il est à l'intersection de la tangente et de la perpendiculaire menée à la directrice par le point G.

61. — Discussion. — Si le point K est plus rapproché de la directrice que du foyer, c'est-à dire extérieur à la parabole, le cercle auxiliaire coupe la directrice en deux points G, G', et il y a deux langeâtes KZ,. KZ' issues du point K.