I.J PARABOLE. Ul

Si le point K est à égale dislatice de la directrice et du foyer, le cercle auxiliaire touche la directrice en. un point, et il n'y a qu'une solution. C'est le cas traité au problème I.

Enfin, si le point K est plus rapproché du foyer que de la directrice, c'est-à-dire intérieur à la courbe, il n'y a pas de solution.

62. — Corollaire I.— Suivant que le point donné K est Hitué du côté opposé à la courbe par rapport à la directrice, du même côté que la courbe, ou sur la directrice, l'angle des deux tangentes menées de ce point est aigu, obtus ou droit.

Car, suivant les trois cas, l'arc GFG' est plus petit, plus grand qu'une demi-circonférence, ou égal à une demi-circonférence, donc l'angle 6FG' qui y est inscnU est obtus, aigu ou droit. Mais l'angle ZKZ'est supplément de ce dernier, puisque les angles en I et en I' du quadrilatère KIFI' ont pour somme deux droits; il est donc, suivant les trois cas, aigu, obtus ou droit. Le troisième cas se formule ainsi :

Le lieu des sommets d'un angle droit circonscrit à la parabole est la directrice.

Corollaire. IL — 1° Si d'un poinfK de la directrice on mène les deux tangentes à la parabole, la corde qui joint les points de contact passe par le foyer et est perpendiculaire am rayon vecteur du point.

t" Béciproquement les deux tangentes aux deux exti'émitês d'une corde focale se coupent sur la directrice-, en unpoint dont te rayon vecteur est perpendiculaire à cette corde.

1° Soit K (flg. 40) le point pris sur la directrice, KM, KM' les tangentes, MG, M'G' les perpendiculaires abaissées des points de contact sur la directrice, MF, M'F les rayons vecteurs des mêmes points. Les triangles KMG, KMF sont égaux comme ayant un angle égal en M, compris entre côtés égaux chacun à chacun. Donc l'angle MGK étant droit, l'angle MFK l'est aussi. De même l'angle

GliOMÉTHlE.

M'FK est droit, et les deux rayons vecteurs FM, FM' forment une seule droite perpendiculaire à KF. 2° Soit MFM' une corde passant par le foyer; MG, M'6' les perpendiculaires abais- '^ sées de M et de M' sur la

directrice, MK la tangente en M, K son point d'intersection avec la directrice. On voit de même que KF est perpendiculaire à MM'. Menons la droite KM'. Les triangles KFM', KG'M' sont égaux comme rectangles, ayant l'hypoténuse commune et un côté de l'angle droit égal, M'F=M'G'. Donc leurs angles KM'F, KM'G' sont égaux, et KM' est la tangente en M'. Les deux tanloupent donc en K sur la direc-