FIG. JO

gentes en M et en M' se c

Irice et le rayon vecteur du point K est perpendiculaire

à la corde focale.

63. — Problème IIL ^ Mener à la parabole tme tangente parallèle aune droite donnée V.

Soit ZZ' (flg. 41) la tangente demandée. Tout revient à trouver le point G, symétrique du foyer par rapport à cette tangente.

Or il est sur la directrice et sur la perpendiculaire menée du foyer à la droite V.

U est donc à l'intersection de ces deux lignes.

Le point G étant obtenu, perpendiculaire ZZ' à la

il n'y a plus qu'à mener la

LA PARABOLE. U3

droite FG par son railioii. Le point de contaol M est à l'intersection de la tangente et de la parallèle menée à l'axe par le point G.

Comme deux droites se coupent toujours en un point unique, à moins qu'elles ne soient parallèles, le problème admet toujours une solution et une seule, sauf le cas où la droite V est perpendiculaire à la directrice. On peut dire dans ce cas que la tangente est rejetee à l'infini.

Sous-tangente. Sous-normale. Équation de la parabole.

64. — Sous-tangente et sous -normale. — On appelle longueur de la tangente la portion de tangente MR comprise entre le point de contact et i'axe, S y

longueur de la normale en un point de la courbe la portion MN de normale comprise entre ce point et l'axe (flg. 42).

On appelle soustangente et sous- KorjH«fe les projections RP, PN de la tangente et de la normale.

Nous regarderons de plus l'axe Aa; de la parabole comme axe des abscisses, la tangen comme axe des ordonnées.

Théorème. — 1° La sous-tangente en tout point de la parabole est double de l'abscisse du point de contact.

2° La sous-normale est constante et égale à la distanie du foyer à la-directrice.

: yy' au sommet A

Ul GÉOMÉTRIE.

3° Les carrés des ordonnées des points de la courbe sont proportionnels aux abscisses.

1= Soit F (fig. 42) le foyer, SS' la directrice, D son intersection avec l'axe, G le point symétrique du point M par rapport à la tangente, I le milieu de la droite FG : on sait que ce point est sur la tangente au sommet. Les triangles MIG, FIR sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir IF=:IG, les angles en I égaux comme droits, les angles IGM,IFR égaux d'après la théorie des parallèles. Doue IM = IR, et les projections AP, RA, sur l'axe, de ces deux portions égales d'une même droite, sont égales. Ainsi la sous-tangente RP est double de l'abscisse AP.

2° Les triangles MPN, GDF sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir : PM = DG, puisqu'ils sont deux côtés opposés d'un rectangle; les angles MPN, GDF égaux, puisqu'ils sont droits; les angles NMP, FGD égaux, puisqu'ils ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, EN et GF étant tous deux perpendiculaires à la tangente MR. Donc la sous-tangente PN est égale à la longueur fixe DF.

3° Dans le triangle RMN rectangle en M, la perpendiculaire MP à l'hypoténuse est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu'elle détermine sur l'hypoté-

1P^ = RPX PN, ou, en désignant l'ordonnée par y, la sous-ti^ngente parle double %x de l'abscisse, et M = DF par ^t:

tfz^^px, (1)

ou encore :

D'où l'on voit que le carré de l'ordonnée est dans un raj}port constant avec l'abscisse.