Nous venons de trouver sous la forme (i) ou
LA l'AllABOLE. 145
SOUS la forme (2) l'équation de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet.
Remarque. ~ L'équation de la courbe montre que y croit indéfiniment avec x, et que x peut prendre toutes les valeurs positives, mais non des valeurs négatives, sans quoi y serait imaginaire.
66. — Rayon vecteur en fonction de l'abscisse. — Représentons par r le rayon vecteur MF (ftg, 42). D'après le triangle rectangle MPF,
ou
Remplaçons y^ par2 pa;, et développ ons, nous trouvons ; On retrouve ainsi la propriété fondamentale MF =^ MG,
puisque i{G=^x-\- kï)^x-{-^*
La parabole oonsidérée comme limite d'une ellipse.
67. — Théorème. — La parabole est la limite vers laquelle- tend une ellipse lorsque, l'un des foyers et le sommet le plus voisin restant fixes, l'autre foyer s'éloigne indéfiniment.
Soit une ellipse {fig. 43) de foyers F, F', de grand axe AA.', M un des points. Menons-en les rayons vecteurs, et ■prolongeons l'un d'eux F'M jusqu'à sa rencontre en P avec le cercle directeur GDC décrit du point F' comme centre : on sait que MP :=MF.
Supposons maintenant que, le foyer F et le point A, PORCHON. — Compl. alg. et géoin. y
restant facs, le foyer F' s'éloigne indéfiniment dans la
direction du grand axe. L'ellipse tend vers une courbe
AMi, qu'il s'agit de déterminer. Le point A étant constam-
- ment à une distance
^ ^^ AD du cercle direc-
,.'' '"--^ teur égaie à sa dis-
'••^K^""^"^ \ tance AF au foyer,
~/^"M'~ \ le point D reste in-
7y\^\ ' variable. Le cercle
;;.''. '\.J I directeur CDC dont
' ^y ' ; le rayon croît indér
>~ -^ i Animent et dont le
^\^ / centre est sur le pro-
^^ /' longemeiit de DF
^■^.^ ,.^' tend vers la droite
""■^c"" SS' perpendiculaire
Fiis. 43. à DF au point D.
Les rayons vecteurs d'un point de la courbe tendent, MF vers MiF, MF' vers une parallèle à DF ; et ia distance MP du point M au cercle directeur tend vers la distance MjPi, du point Ml à la droite SS'. Or, MF étant constamment égale à MP, leurs limites sont égales, c'est-à-dire que la courbe limite est caractérisée par cette propriété que chacun de ses points est à égale distance du point F et de la droite SS'. C'est la définition de ta parabole.
Il résulte de laque les propriétés de la parabole peuvent se déduire par la méthode des limites, des propriétés de l'ellipse. Citons les plus simples.
68. —Propriétés de la tangente. — L — La tangente à l'ellipse est bissectrice de l'angleFMP. Donc la tangente à ia parabole est bissectrice de l'angle limite de celui-ci, FMi Pi-
n. — Dans l'ellipse, le lieu des points symétriques d'un foyer par rapport aux tangentes est le cercle directeur. Dans la parabole, le lieu des mêmes points est la limite du cercle directeur, c'est-à-dire la directrice.
III, — Dans l'ellipse, le lieu des projections d'un foyer
LA PARABOLE. 147
sur les tangentes esUe cercle principal. Or la limite de ce cercle, décrit sur AA' comme diamètre, est, lorsque le point A' s'éloigne indéfiniment, la perpendiculaire élevée en A à AA'.Donc, dans la parabole, le lieu des projections du foyer sur les tangentes est la tangente au sommet.
IV.^Sià l'ellipse on mène deux tangentes par un point extérieur, i° elles font des angles égaux avec les deux rayons vecteurs du point; 2° la droite qui joint l'un des foyers au point de concours de ces tangentes est bissectrice de l'angle que font les rayons vecteurs menés du mËme foyer aux deux points de contact. Donc, si à la parabole on mène deux tangentes KT, KT' par un point extérieur (flg. 44), 1° elles font des angles égaux 1, 2 avec le rayon vecteur de ce point et une parallèle à t'axe; 2» le rayon vecteur FK du point de concours des tangentes est la bissectrice de l'angle MFM' formé par les rayons vecteurs des points de contact.
V. — Dans la parabole comme dans l'ellipse, la portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est vue du foyer sous un angle constant.
