CHAPITRE III

SECTIOISS PLAINES DU CYLINDRE ET DU CONE DE RÊVOLUTrON

Section plane du cylindre.

73 — 11 est évident que la section faite par un plan paralli le à 1 a\e d un cylindie se compose de deux génératrices; si elles se réduisent à une seule, le plan est dit tangent au cylindre. D'ailleurs la section faite par un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle.

C'est pourquoi nous n'avons qu'à étudier les sections obliques.

74. — Théorème. — La section d'un cylindre de réeoluiioit par M« plan \!j,,^ iy eblîQue à l'asce

est une ellipse.

Prenons pour plan du tableau un plan mené par l'axe H' perpendiculairement au plan sécant (fig. 49). Il coupe le

SEGTrONS PLANES DU GÏLISDRE ET DU CONE. ISl

cylindre suivant deux génératrices GG', l£E', et le plan sécant suivant une droite DD', qui rencontre les généra-. trices en A et en A'. Dans le pkn du tableau, décrivons deux cercles I, I', de part et d'autre de la droite AA', touchant les deux génératrices et la droite AA', l'un en G, F, E, l'autre en G', F', E'. Enlevons le plan sécant, et faisons tourner autour de l'axe II' ces deux génératrices et ces deux cercles : les génératrices engendrent le cylindre, les deux cercles engendrent des sphères tangentes à toutes les génératrices du cylindre, et les points de contact sont tous sur les deux cercles GNE, G'N'E' engendrés par les points G et G'. Ces sphères sont dites inscrites au cylindre, elles cercles GNE, G'N'E' sont dits cercles de contact. Rétablissons maintenant le plan tangent : il est tangent à ces deux sphères. Car le plan du tableau et le plan sécant étant perpendiculaires entre eus, la droite IF menée dans l'un perpendiculairement à leur intersection est perpendiculaire à l'autre; ainsi le plan sécant, étant perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon, est tangent à la sphère I, et de même à la sphère I'.

Soit maintenant M un point de la courhe de section. Menons ta génératrice NN'qui passe parce point, jusqu'à ses intersections en N et en N' avec les cercles de contact, et traçons les droites MF, MF' : elles sont tangentes respectivement aux deux sphères, puisqu'elles sont dans un plan tangent et passent par le point de contact. Donc MF = MN comme tangentes à la sphère I issues d'un même point, et de même MF' = MN'. Donc, en ajoutant, on a MF + MF' = MN + MK' = JNN'. Mais NN' est une quantité constante, égale à GG'. Donc la courhe est une ellipse dont les foyers sont F et F', et te grand axe AA'.

Comme la somme des rayons vecteurs est égale à AA', il en résulte que AA'= GG'. Cette égalité résulte d'ailleurs de ce que AG est égal à AF comme tangentes à un cercle issues d'un même point, et par conséquent à A'F', et AG' est égal à AF' comme tangentes au cercle I' issues d'un même point. Donc