GA + AG'^AF'+F'A
yGoosle
153 GÉOMÉTIilE.
75. — Loiigneur du petit axe, — La moitié du petit axe est l'ordonnée OB menée dans l'ellipse, perpendiculairement à AA' par le milieu de AA'. Ce point est sur l'àîte du cylindre, cette ordonnée est perpendiculaire à ce même axe, elle est donc égale au rayon du cylindre, donc:
Le petit axe de l'ellipse est égal au diamètre du cylindre.
76. — Corollaire I. — 0» peut appliquer sur un cylindre toute ellipse dont le petit axe est égal au diamètre du cylindre.
Il suffit de faire, dans la figure précédente, GG' égal au grand axe Sa de l'ellipse donnée. Comme son petit axe %b est égal au diamètre 2 R du cylindre, 2 a est plus grand que2R; donc, dans les cercles GFË, G'F'E', la distance 2 a des centres est plus grande que la somme des rayons 2R, et ces cercles sont extérieurs l'un à l'autre. On peut donc leur mener une tangente commune intérieure AA' et la section faite par un plan contenant AA' et perpendiculaire au plan du tableau, est l'ellipse donnée.
77. — Corollaire II. — Tout cercle peut être considéré comme la projection d'une ellipse quelconque dont te petit axe est égal au diamètre du cercle.
Car une section droite quelconque du cylindre, par exemple le cercle GNE, est la projection de l'ellipse AMA'.
78. — Directrices de l'ellipse. — Soit, dans l'espace, DZ,D'Z' (fig. 49) les droites suivant lesquelles le plan de l'ellipse est coupé par les plans des cercles de contact: ces droites sont perpendiculaires au plan du tableau, comme intersections dedeus plans perpendiculaires àce plan, donc aussi à la droite AA' qui passe par son pied dans ce plan. Pourplusdesimplicitéjprojetonstoutelafiguresurleplan du tableau (fig. 50). Les droites DZ, D'Z' ont pour projection les points D, D', l'ellipse a pour projection son grand axe AOA', et îes cercles de contact ont pour projections les
SECTIONS i>[,ANES DU CYLINDRE ET DU CONE. 153
droites GIE, G'I'E'. Soit M un point quelconque de l'ellipse ; sa distance au foyer F est, comme on vient de le voir, égale à MN, qui se projette en vi'aie grandeur. Sa distance à la droite DZ, étant parallèle au p!an du d tableau, se projette ^ aussi en vraie grandeur suivant MD. Or, lorsque le point M se déplace sur l'ellipse, le triangle MND, tracé dans le plan du tableau, reste toujours semblable au triangle OID. Donc
les distances d'un fic. su.
point quelconque de
l'ellipse au foyer F et à la droite DZ sont dans un rapport MN OI MD ~ OD de l'angle DOI que fait le plan sécant avec l'axe.
Les mêmes conclusions s'appliquent au foyer F' et à la droite D'Z'. D'où cette proposition importante :
// existe dans le plan d'une ellipse deux droites DZ, D'Z' pei'pendimîaires à l'axe, et à égale distance du centre, Qtelles que les distajicesMF,!iIQ{flg.51) d'un point quel- ' conque de l'ellipse à un foyer et à la droite située du même côté que lui sont dans un rapport constant, plus petit que l'unilé.
Ces deux droites s'appellent (directrices.
Construction des directrices. — Pour exprimer
la longueur OD, considérons les deux triangles serablaiilea OID, AGD (fig. 50). On en déduit :
or AD
01 ~ XG
Oi" 01 est égal à la moitié de G'G, c'est-à-dire à « ; AG est égal à AF, c^est-à-dire à a—c. Celte proportion s'écrit donc :
OD^ AD a "~ « — fit en rctrancliant terme à terme ces rapports égaux : OD OD— AD a qd^ a c c' ~^ c
Il en résulte que pour construire OD on élève par le foyer F (fig. 51) la perpendiculaire FH au grand axe, jusqu'à sa rencontre avec le cercle principal, et on mène la tangente HD au cercle principal. Car, cette construction étant faite, dans le triangle OHD, rectangle en H,
Ôh'=OFxOD, ou a^^cXOD.
80. — Rapport des distances d'un point de la courbe à un foyer et à la directrice correspondante. — Nous avons trouvé, pour la valeur de ce rapport (n" 78) ;
Ce rapport est donc égal à l'excentricité.
Section elliptique du cône.
81. — Considérons un c6ne de révolution indéfini, c'est-à-dire la surface engendrée par une droite indéfinie tournant autour d'un axe qui la coupe. Le cône se compose de deux portions situées de part et d'autre du sommet, et qu'on appelle ses deux nappes. Nous voulons étudier les sections planes de cette surface.
La section par un plan contenant le sommet se compose
