SECTIONS PLAKKS OU CYLINDRE ET DU CONE

de deux génératrices ; si elles se réduisent à une, ce plan est dit tangent au cône. D'ailleurs la section par un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle. C'est pourquoi nous n'avons qu'à étudier les sections non perpendiculaires à l'axe et ne passant pas par le sommet

82. — Théorème, — Tout plan rencontrant toutes les génératrices Sun cône sur une même nappe le coupe suivant une ellipse. — Prenons pour plan du tableau un plaa mené par l'axe ST perpendiculairement au plan sécant (fig. 52), Il coupe le cône suivant deux génératrices SX, SY, et le plan ^

sécant suivant une droiteDD',qui rencontre ces génératrices en A et en A'- Dans le plan du tableau décrivons deux cercles, l'un, de centre I, inscrit .

au triangle SAA', rautre,decentrel', exinscritàce triangle relativement au côté AA', c'est-àdire tangentau côté AA' et aux prolongements des deux autres. Ils touchent les deux génératrices et la droite

AA', l'un en G, E, f ■;

F, l'autre en G',

E', F'. Enlevons le plan sécant et faisons tourner autour de l'axe ces deux génératrices et ces deux cercles : les génératrices engendrent le cylindre, les deux cercles engendrent des sphères tangentes à toutes les génératrices du cône, et les points de contact sont tous sur

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les cercles GNE, G'N'E' engendrés par les points G et G' . Ces sphères sont dites inscrites au cône, et les cercles GNE, G'N'E' sont les cercles de contact. Rétablissons maintenant le plan tangent ; il est tangent à ces deux sphères en F et en F'.

Soit maintenant un point M de la courbe de section. Menons la génératrice KN' qui passe par ce point, jusqu'à son intersection en N et en N' avec les cercles de contact, et traçons les droites MF, MF'. Elles sont tangentes respectivement aux deux sphères, et par conséquent égales aux tangentes MN, MN' aux mêmes sphères. DoncMF-J-MF' = NN'=6G', le lieu du pointM est une ellipse dont les foyers sont F, F' et dont le grand axe est égal à GG'.

83. — Remarque 1. — Comme le grand axe est d'ailleurs AA', il en résulte que AA'^GG'. C'est ce qu'on reconnaît directement de la manière suivante. Désignons par 2p le périmètre du triangle SAA'. On a :

SA-j-AF'-|-F'A'-^SA'=-2ï>.

Mais on peut remplacer AF' et F'A' par AG' et A'E' qui leur sont égaux respectivement comme tangentes menées à un même cercle par un même point. Donc SA + AG' + SA' + A'E'^Sp, SG' + SE'=:2p, et, SG' et SE' étant égaux comme tangentes à un même cercle issues d'un môme point,

SG'=p. (1)

D'un autre côté, le périmètre du même triangle s'exprime encore par

SG4- GA + AF+ FA' +4'E + SE = 2 p, ou, puisque SG =;SE, AG^AF, A'F:=A'E, toujours par la même raison ;

2SG + 2AA' = 2j),

SG + AA'=p,

SG = p — AA'. (2)

SKCriONS PLANKS BU CYLINDRE ET BU CONE. 157

Retranchant membre à membre (1) et (2) :