MF'~MF = NN':=-GG

Propriétés principales de l'hyperbole.

88. — Branches de la courbe. — I/hyperbole se compose de deux bi'anches séparées, et situées chacune sur une des nappes. Suivant qu'un point M {fig. 55) de la courbe est situé sur l'une ou sur l'autre, c'est MF' — MF ou MF — MF' qui est égal à la constante GG'.

Ces deux branches sont inllnies : car le plan mené par le sommet parallèlement au plan de !a courbe coupe le cône suivant deux génératrices parallèles au plan de la courbe. Si donc on fait tendre une génératrice du cône vers l'une ou vers l'autre de ces dernières, son point d'intersection avec la courbe s'éloigne indéfiniment.

%9. — Symétrie. — D'après sa définition, l'hyperbole (fig. 56) est symétrique par rapport à la droite afx qui joint les foyers et aussi par rapport à la droite )/')/ menée perpendiculairement à la droite FF' par son milieu 0. Car deux points symétriques par rapport à l'un ou à l'autre de ces

axes ont leurs rayons vecteurs égaux chacun à chacun

par raison de symétrie.

Le premier de ces axes s'appelle l'axe focal on trans-

verse; l'autre est l'axe non transverse.

Le premier rencontre la courbe aux deux points A, A',

SECTIONS PLANES DU CYLINDRE ET Di: CODE. 161

comme on le voit par la figure 55 ; l'autre ne la rencontre pas, puisque tes rayons vecteurs d'uu point de ce deuxième axe sont égaux.

Les points d'intersection de la courbe et de l'axe focal s'appellent les sommets. Ils sont à égale distance du milieu de la distance focale, en vertu de la symétrie par rapport à l'axe non transverse.

90. — Désignons par 2 a la différence constante des ravons vecteurs d'un point. Puisque le sommet A est sur lacourbe,AF'~ÀF=2a,ouAF' — A'F'=:2«,AA' = 2a.■ Cette distance s'appelle longueur de l'axe focal.

La distance FF' des foyers se désigne par 2 c. Cette distance est plus grande que 2«, contrairement à ce qui arrive dans l'ellipse, puisque, dans le triangle FMF',

FF'>MF — MF', ou

Le rapport- s'appelle V excentricité : c'est m\.<i quantité plus grande que l'unité,

91. — Le milieu de la distance des foyers est centre de symétrie de la courbe, puisque deux points M, M", symétriques par rapport à ce point, ont leurs rayons vecteurs égaux chacun à chacun en vertu de la symétrie.

92. — Cercles directeurs. Tangente.— Les propriétés suivantes se démontrent exactement comme pour l'ellipse.

Un point est extérieur ou intérieur à l'hyperbole suivant que la différence de ses rayons vecteurs est inférieure ou supérieure à 2fl.

93. — Si l'on nomme cercles directeurs de l'hyperbole les deux cercles décrits de chaque foyer comme centre avec l'axe transverse comme rayon, la distance MF' d'un point de la courbe à l'un des foyers est égale à sa distance MG au cercle directeur ayant l'autre foyer comme centre. Chaque foyer est en dehors du cercle directeur décrit de l'autre foyer,

94. — Une droite quelconque ne peut rencontrer l'hyperbole en plus de deux points.

95. — Toute tangente SY à l'hyperbole est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs du point de contact.

96. — Par un point donné on peut mener deux tangentes à l'hyperbole, ou l'on n'en peut mener aucune, suivant que ce point est extérieur ou intérieur à la courbe. Leur construction est la même que pour l'ellipse.

97. — Le lieu des points symétriques G d'un foyer F' par rapport aux tangentes est le cercle directeur décrit de l'autre foyer.

Le lieu des projections d'un foyer sur les tangentes est le corde décrit sur l'axe transverse comme diamètre.

98. — Asymptotes de l'hyperbole. — Soit F, F' les foyers, et G un point quelconque pris sur le cercle directeur décrit du foyer F (tig. 57). La perpendiculaire X¥

menée à la droite F'G par son milieu est une tangente, et le point de contact est à l'intersection M de cette tangente et de la droite FG. Si le point G se déplace, et que la