LL'-SL'-SL

D'autre part ;

LD = SD tang DSL — (c — a) cot S, L'E = SH tang ESL' = (c + «) colS.

Donc la somme des rayons est :

LD + L'lI=2ccotS.

La condition est donc :

^— ô'^2c cot S,

ou, en multiplant par ^ sin S ;

«>ccosS cosS^-.

asymptotes (ii°98). Donc

eosS^cose, e^S, 26^28.

D'où ce théorème :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse placer sur un cône de révolution une hyperbole donnée est que l'angle des asymptotes soit au plus égal à l'angle du cône.

100. — Équation de l'hyperbole rapportée à ses axes. La définition de k courbe consiste dans l'égalité (tig. 60)

MF~MF — ±2rt,

yGoosle

ou, comme au n" 35:

slf^(c^xf-'Jt-Jf{ç-xr^±ta, (1) d'où, exactement par le même calcul qu'au n" cité :

a^y°' — (c^ — «*) !»' + c^^ (^' — a*) =^ 0, et en posant c' ~a^=^V^ :

divisant par a^b^ et changeant les signes :

équation qui ne diffère de celle de l'ellipse que par le changement de b^ en — 6^.

Comme on a élevé deux fois au carré l'équation (1), l'équation (2) est équivalente non pas à l'équation (i), mais à celles que l'on obtient n combinant les signes de toutes les manières possibles

FlG. 60.

dans l'équation suivante :

Or les deux signes — ne peuvent évidemment convenir

à aucun système de valeurs réelles de x et de y. On ne

peut non plus prendre les deux signes -j- pour de telles

valeurs des coordonnées. Car l'équation reviendrait à

MF'-|-MF = 2ffl.

Or, quelle que soit la position du point M, MF-j-MF' est au moins égal à FP, c'est-à-dire à 2c, donc MF + MF'>2a.

101, — On tire de l'équation (2) :

SFXTIONS PLANES DC CYLINDRE ET l)U CONE. 107

Celte formule met en évidence les propriétés suivantes :

!• L'abscisse d'un point quelconque de la courbe est plus grande que -{-& ou plus petite que — a.

Car autrement y serait imaginaire. En d'autres termes la courbe n'a aucun point entre les parallèles à l'axe des y dont les distances à l'origine sont OÂ. = ~{-a, OA' ^ — a.

2° La courbe est symétrique par rapport aux deux awes des coordonnées, et en conséquence par rapport à l'origine.

3" L'abscisse croissant de -{-^ à-\-oo. l'ordonnée prend deux séries de valeurs, les unes croissantes de zéro à -\-°o, les autres égales et de signe contraire. Il en est de même pour X décroissant de zéro à — oo.

102. — Rayons vecteurs en fonction de l'abscisse. — On trouve, comme pour l'ellipse (n" 37), les valeurs suivantes des rayons vecteurs :

Oo doit prendre le signe -j- ou le signe — devant ces deux formules, suivant que x est positif ou négatif.

103. — Équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. — L'équation (-2) peut s'écriie

Imaginons les droites XiX'i, YiY'i (Og. 61) représentées parles équatioas

Soit ic et ^ les coordonnées d'un point quelconque M du plan, MP= a sa distance à la droite X^X'i, MQ = ô'

168 OÉOMÉTlilE.

sa distance à la droite YJ'i- Nous avons trouvé (Algèbre, nM06):

Le radical peut s'écrire

signe — suivant que

-f-y est positif ou

négatif, c'est-à-dire suivanl que l'abscisse du point M est plus grande ou plus pelite quel'abscissedu point ayant même ordonnée ■ droite X,X'i, ou enfin suivant que le point M est dans la FiG. 6i, régionXiX'iYiOudans

la région \,\\Y'i du plan, que nous appellerons respectivement région positive ou négative par rapport k la droite XiX'i. De même

. «6 /^ ï\ ' c \a bj'

en prenant le signe -|- ou le signe — , suivant que le point M est dans la région positive ou négative par rapport à YiY'i, à savoir dans la région YjY'iXi, ou dans la région YiY'iXV Or, si le point M est sur la courbe, les

deux facteurs - + 4? j ont le même signe, puisque

SECTIOHS PLAHES DU CYLINDRE ET DU CONE. IBO

feur produit est égal à l'unité ; donc le point M est à la fois dans les régions positives, ou à lafois dans les régions négatives par rapport aux deux droites. En d'autres termes, le point est dans l'angle XiOYj ou dans son opposé parle sommet X'iOY'i.

Multiplions membre à membre les équations (8) et (9) : en tenant compte de l'équation (5), nous trouvons :

Prenons maintenant pour axes coordonnés les droites XjX'i, Yil'i, désignons par Xi et yi les nouvelles coordonnées MR, MS du point M. Dans le triangle MPS,

MP = MSsinMSP, ou

S = |/,sinYiOX,.

De même, dans le triangle MQR,

S'^^iSinYiOX., d'où, en multipliant membre à membre :

SS'=a;iî/i sin^'iOX,, et, en vertu de î'équation (10) :

»""= t-sin°'ï.'ox. ' '"'

Cette équation est précisément de la forme de i'équation(l) (Algèbre, n° 70), ce qui justifie le nom d'hyperbole que nous avons donné à la courbe représentative de cette équation (1).

D'après ce que nous avons trouvé (n° cité), les axes XiX'i, YiY'i sont les deux asymptotes de l'hyperbole. Désignons leur angle par 2 6. Nous avons trouvé {Géométrie, n" 98) :

cose =--

= 2 sinOcos 0^^2 — Goiiipl. alg. ol g-ijora,

L'éi^uation (H) devient ainsi :

Telle est l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes.

Section du cône par un plan quelconque.

Théorème, — Dans toute section conique, le rapport des distances d'un point quelconque de la courbe à un point fixe, appelé foyer, et à une droite fixe, appelée directrice, est constant.

104. — Prenons, comme aux n" 82 et 87, pour plan du s tableau le plan

mené par le sommet S du cône, perpendiculairement au plan sécant:

soit toujours SX, SY les génératrices situées dans le , plan du tableau (fig. 62, 63,64), AA' la trace du , plan sécant, A el A' les points ' où il coupe ces génératrices.

Le plan coupe "'•■, ,.-' toutesles géné-

"~~-, .--''' ratrices d'une

Via. B2. même nappe

dans la fl -

gure 62, les deux nappes dans la figure 63; danslaiîgure64

il coupe toutes les génératrices d'une même nappe, sauf