BA
donc MN=MW (fig. 260 et 261).
La figure MNM'N' est donc un parallélogramme et wM = coM'.
2'» Supposons R= 0, c'est dire que le polynôme
— (Aa:»4-2D^-|-F)
est exactement divisible par 2(&r + E); on a alors Tidentité
Ax* H- 2D^ + F = — 2(Rr -h E) (ma: -h />) ;
donc Téquation de la courbe fl] peut être écrite sous la forme
2(Rr -f- E)y — 2(Rr -f. E) (wur -h p) = ou
2(Rr 4-E) (y — wur — /?) = 0;
elle représente donc le système des deux droites :
y — mx — p = droite L'wL Ba:-f-E = droite X'u>X.
S4S. Forme de réqnaClon d*ane hyperbole quand C = 0. —
On voit que si à la condition B* — AC > on joint l'hypothèse C = 0, l'hyperbole représentée par l'équation a une asymptote parallèle
à OY ; celle asymplote s'oblient en égalant à zéro le coefficienl des lermes en y dans Téquation de la courbe.
Celle-ci peut d^ailleurs être mise sous la forme
2(j/ — wur— ;?)(B^-|-E) — R = 0,
où les deux asymploles sont en évidence, Thy'perbole se réduisant a ses asymploles quand R = 0.
SM. 3« cas. — Genre paraliole C 9^ 0. — Soil 8 = B* — AC = 0.
— On peut alors supposer C^éiO, ou bien C = avec B= 0. I. C ^ 0. — En résolvant l'équation par rapport à y, on a
Bx-
— dZgV/^/wT
ou
Le terme en x^ sous le radical a disparu ; Tétude des variations de z nous conduit à distinguer trois cas, suivant que le coefficient de X est positif, négatif ou nul.
l*» Soit
p = BEou, en posant
.CD>0, alors « = g \/V(^-i-^)
z = ^^/îp(x — x^).
Puisque p est positif, z n*est réel que quand x croit de X| à et z croit indéfiniment avec x. Donc,
si on prend OX' = Xi = — i et si
on trace A'Z parallèle à OY, la courbe est située tout entière à droite de cette ligne : elle est formée d'un seul arc qui s'écarte indéfiniment du diamètre D'D dans le sens OX.
L'équation de la corde de contacl des tangentes parallèles à OY étant toujours /''y = 0, c'est-à-dire Bx-f-Cy-f-E = 0, qui représente le diamètre D'D, et la courbe ne rencontrant ce diamètre qu'en un point A, c'est le seul point où la tangente soil parallèle à Oy (fig. 262). Celle courbe CAC se nomme parabole.
Fig. 262,
2° Si p est <; 0, Texpression de z montre que cette quantité n'est réelle que pour les valeurs de x inférieures k x^.
C'est donc à gauche de k'z que se trouve la courbe; celle-ci, tangente en A à Xzy s*écarte indéfiniment du diamètre D'D lorsque x décroît de x^ à — « (fig. 265).
5° Soit enfm ;; = : alors la quantité z se réduit à une constante, on a simplement
-*rL
îty
•Fig. 263.
L*équation réduite à
représente deux droites parallèles au diamètre D'D.
Ces deux droites sont
! réelles et distinctes, si 9>0, réelles et confondues, si 9 = 0, imaginaires conjuguées, si 9<0*
L'expression désignée par 9 est E* — CF.
Ce système de deux droites parallèles, distinctes, confondues ou imaginaires, constitue une variété de parabole
(fig. 264).
Fig. 264.
S4Y. Forme de réqoaClon du second degré dans le cas dn ipenre parabole. C étant 9^ 0. — Quand B» — AC = 0, le groupe des termes du second degré forme un carré parfait, car on tire de cette condition
donc
devient
Ax«-h2B.r2/-f-Cy*
J (B V -f- 2BCrî/ -f- Cy) = J (ftc H- Cy)«.
D*ailleurs, si dans Téquation [i] résolue par rapport à 2^ on isole le radical, puis qu*on élève au carré les deux membres, Téquation prend la forme
[2] (Bx H- Cy -i- E)' — (2px H- </) = 0, parabole proprement dite y
ou
[3] (Ba: -h Cy H- E)* — q = 0, variété de parabole.
Les deux droites mises en évidence dans l'équation [2] sont
Bx -i- C^ 4- E = 0, diamètre D'D conjugué à OY, 2/>.r 4-^ = 0, tangente en A parallèle à OY.
948. Genre parabole. — Cas où C = et B = 0. -^ Dans Ce cas Téqualion se réduit à
Ax» -h 2Dx 4- 2Ey -f- F = 0,
Ax«-+-2Dr-f-F
1« Supposons E^ÉiO. Alors y =
Nous sommes ramenés à Tétude d'un trinôme du second degré»
étude faite précédemment dans les Compléments d'algèbre (n<* ii« à IM).
Si — 9P>^» ^^ fonction est représentée par Tune des courbes de la figure 265.
LAUMAT. — COXPL. D*ALG. 22
Et si — ;nF<**» ^'^® ^s^ représentée par lune des courbes (fig. 266)
1 Npp
H- fil Z
