II. Soient les équations

(y — a: — i)» — (or — 3)«4-4 = (y — X — 1)« — (a: — 3)« — 4 = (î/ — a:— 1)* — (x — 3)« =0

Les termes contenant les variables forment une différence de carrés, chaque équation est du genre hyperbole. Les deux droites

y — ar— 1=0 a: — 3 =

sont le diamètre D'D conjugué à OY, et le diamètre (oZ conjugué de D'D.

El les droites représentées par Téquation [3], qu'on peut écrire

sont les deux asymptotes L'wL, X'<oX. Elles forment un faisceau harmonique avec les deux droites précédentes.

L'équation [1] représente l'hyperbole EAC, E'A'C, qui est traversée par le diamètre D'wD en A et A'.

L'équation [2] représente l'hyperbole GBK, G'B'K', qui ne rencontre pas D'D, mais coupe ojZ en B et B'.

Ces deux hyperboles ont les mômes asymptotes, L'coL. X'coX, représentées par l'équation [.Ij

Fig. 259. (fig. 259).

S44. Genre hyperbole. — Cas oit G == 0. — Quand la COUrbe est du genre ellipse, 8 étant négatif, G ne peut être nul, mais la condition B* — AG > est compatible avec l'hypothèse G = 0, pourvu que B ne soit pas nul, car alors 8 = B*.

L'équation de la courbe est alors du l^*" degré par rapport à y,

et donne

Aj:* -^ 2Rry -f. 2Da: 4- 2Et/ H- F =

Ax*-f-2Da:-hF

2(Bx-f-E)

Si on efîectue la division indiquée, on obtient un quotient du premier degré et un reste R de degré zéro, puisque le diviseur est du premier degré, et l'expression de y peut se ramènera la fonne suivante :

Distinguons alors suivant que le reste R n'est pas nul ou que R = 0.

1« R 9^ 0. — Construisons d*abord la droite L'L, qui a pour équation

y^zz^mœ-^-p et soit z-.

■2(Rr-f-E)

(/ordonnée de la courbe est alors

Poui' une abscisse donnée x = OP, on a un point M de la courbe dont Tordonnée s*obtient en ajoutant à Tordonnée du point N de la droite L'L, la valeur algébrique correspondante de z; la forme de la courbe dépend donc des variations de z.

Supposons, pourpréciser,

^>0 et écrivons z sous la forme

»(xH-|) OU, en posant

IB

Quand

Fig. 2G0.

X croit de — « à ar, — e,

z est négatif et décroît de à — oo ,

on obtient une branche de courbe CD' située au-dessous de L'w, à gauche de wV et ayant ces deux droites pour asymptotes (fig. 260). Quand

X croît de OTi H- e à -4- oc ,

z est positif et décroît de -h oo à zéro,

ce qui donne une autre branche Cl) située au-dessus de wL, à droite de wX et asjTnptote à ces deux droites.

Celle courbe est encore une hyperbole.

Si le nombre ^ est < 0, le même raisonnement montre que la

courbe se compose encore de deux branches EG, E'G', qui ont toujours pour asymptotes les deux droites 1/L et X'X, mais sout situées dans les deux autres angles (fig. 261).

Le point «o est centre,

i ïj.

car pour deux valeurs de X, équidistantes de Of ,

et

x = Xi — h x = Xi'^ h.

on a

et