On donne l'équation

[I] (jr.^a)^+{y^p)^^e^x^ = 0.

1" De quelle grandeur doit être le coefficient e* pour que la courbe soit une hyperbole, et en particulier une hyperbole équilatère ?

2*" Si toutes les hyperboles équilatéres ainsi obtenues passent par un point A (x=:a)f donné sur OX, quel est le lieu des points dont les coordonnées sont a et p?

3* Quel est le lieu des centres des hyperboles équila^tères représentées par réquation [1] et passant par le point A?

7. On donne un triangle AOB rectangle en 0, on considère toutes les hyperboles qui passent par A et par B et ont leurs asymptotes parallèles à OA et OB.

!• Écrire Téqualion générale de ces hyperboles. 2* Trouver le lieu de leurs centres. 3* Lieu de leurs sommets; montrer que ce lieu se compose d'une ellipse et d'une hyperbole qui se coupent orthogonalement.

8. 1" Trouver l'équation générale des hyperboles équilatères circonscrites à un triangle donné ABC. Montrer qu'elles passent toutes par le point de concours des hauteurs du triangle. 2* Trouver le lieu des centres de toutes ces hyperboles. Montrer que c'est le cercle des neuf points du triangle ABC. 3» Construire le centre, les asymptotes et les axes d'une hyperbole équilatère passant par quatre points donnés A, B, C, D. 4* A chaque hyperbole équilatère circonscrite à ABC on mène des tangentes perpendiculaires à un côté du triangle ; lieu des points de contact. 5* Lieu des points de contact des tangentes parallèles à un côté du triangle.

9. On donne une circonférence, un diamètre AA' et une sécante parallèle à ce diamètre. 1* Trouver l'équation d'une hyperbole équilatère passant

par les points A et A' et par les points C, C où

ela sécante rencontre la circonférence. 2* Lieu des centres et lieu des sommets de ces hyperboles quand la sécante CC se déplace en restant parallèle à AA' (fig. 295). 10. On donne deux points A, A' situés sur X'X, à égale distance du point 0, et un point P (a, p). On considère toutes les coniques qui ont pour axe X'X et pour sommets A et A'. 1* Trou- Fig. 2^. ver le lieu des points de contact des tangentes

menées à ces coniques par le point P; construire cette courbe, ses asymptotes ; voir qu'elle passe par le point P. 2" On mène à celte courbe la tangente en P; lieu de la projection du point sur celte tangente quand le point P est mobile sur une parallèle àOY.

11. On donne deux axes rectangulaires, une parallèle L'BL à l'axe OX et un point A (x = a,y=:b) mobile sur cette droite; à chaque position du point A correspond une hyperbole équilatère passant par les points A, B et et tangente en à X'X.

1" Trouver lëqualion de celte hyperbole. 2" Lieu de son centre quand le point A parcourt la droite L'BL. 3* Construire le centre et les asymp* totes de l'hyperbole équilatère qui correspond à une position donnée du point A» V On joint le point mobile A à un point fixe Q pris sur Taxe des y et on appelle M le second point d'intersection de la droite QA avec rhyperbole qui passe par A. Trouver le lieu de ce point M et discuter le genre de celte courbe suivant la position du point Q sur l'axe des y {Ecole navale).

12. On donne Téquation \(x* — ax) — ay {x — y — a) =0 dans laquelle a est constant et positif, et X est un paramétre variable, l** Discuter la nature des courbes que cette équation représente quand X varie de ^- 00 à + 00. 2"* Démontrer qu'elles passent toutes par trois points fixes, et que le lieu des centres est une droite. 5* Construire pour une valeur donnée de X le centre de la courbe et les tangentes aux trois points fixes; distinguer les centres d'ellipses et les centres d'hyperboles. 4'* Lieu des points de contact des tangentes qui sont parallèles à OX ; construire celte dernière courbe. (École navale.)

13 On donne deux axes rectangulaires et un point M de coordonnées a et ^; on mène par H deux droites MAB, MA'B' faisant entre elles un angle donné Y et telles que les quatre points A, B, K% B' où ces droites rencontrent les axes soient sur une même circonférence (flg. 296). 1"* Démontrer que le problème admet pour chaque valeur de V deux solutions et trouver en les distinguant les équations des deux circonférences. 2*^ Le point M étant fixe, on fait varier l'angle Y d'une manière continue; trouver le lieu des centres de toutes ces circonférences ; montrer que chaque couple de circonférences a le même axe radical. Yariation de la grandeur du rayon. 3* L'angle Y étant constant, quel est le lieu du centre de toutes les circonférences précédentes quand le point BI décrit lui-même une circonférence ayant le point pour centre? (Ecole navale.)