CHAPITRE III
OtRIVÉES
DÉFINITIONS
39. lléfliaitioB de la dérivée d*BBe ffoBctIan expllelte d'siae seule Yariable. — Soit y =/(^) une fonction de x que nous supposons continue pour toute valeur de x comprise entre a et 6, donnons à la variable deux valeurs x et x-hh comprises dans cet intervalle; nous avons vu (n«* m et »a) qua l'accroissement h de la variable correspond pour la fonction un accroissement h = f(x-{-h) — / (r), et que ce dernier accroissement tend vers zéro en même temps que h.
Quelque petit que soit h, le rapport
a une valeur déterminée, et quand h tend vers zéro, suivant une loi quelconque, ce rapport tend généralement vers une limite finie et bien déterminée.
On appelle dérivée de la fonction^ la limite du rapport de r accroissement de cette fonction à l'accroissement de la variable, lorsque l'accroissement de la variable tend vers zéro, pourvu bien entendu que ce rapport ait une limite.
38. Remarque. — Pour qu*une fonction ait une dérivée, il est nécessaire qu*elle soit continue dans Tintervalle où Ton fait variera?; car si Taccroissement k de cette fonction ne tend pas vers zéro en
même temps que h, le rapport t augmente indéfiniment en valeur
absolue quand le dénominateur h tend vers zéro.
Mais cette condition n*est pas suffisante : une fonction peut quelquefois être continue sans que le rapport r tende vers une limite
déterminée.
Nous n*avons pas à nous occuper de ces cas tout particuliers ; dans les fonctions que nous allons étudier, si nous trouvons une limite
du rapport t» nous prouverons par là même Texistence de cetlt»
limite.
S0. Notations. — 1® Quand la fonction est désignée par /(.r). nous désignons sa dérivée par f(x) : la dérivée est en effet généralement une autre fonction de x. 2^ Si la fonction est désignée par une lettre y, u, v, nous indiquons sa dérivée par la notation y\ u\ v' ,
Ainsi nous écrirons i/ = lim -^j ou encore y' ^ lim ■—• ^ h ^ Ix
4m. Exemple I. — Soit y = ax-\-b, fonction que nous savons être continue; si on passe d*une valeur x de la variable à la valeur x-h A, nous avons vu (n** tl) que l'accroissement k de la fonction est
k = a(x H- //) H- ft — (ax'\'b) = ah,
Ce rapport étant constamment égal au nombre a, quelque petit que soit A, on a évidemment
Donc la fonction y = ar H- A a pour dérivée y'=^a.
Cas particulier'». — 1<» La fonction du premier degré peut se réduire à
C'est la plus simple fonction de x, le coefficient a se réduisant à l'unité; on a alors
résultat évident a prioii, : puisque k est alors constamment égal à h. leur rapport est donc constamment égal à I .
:îo
2« Si l'on a
c'esl-à-dirc une constante, le coefficient a de la variable x étant nul, la dérivée est nulle.
4i. Exemple II.
Soit
j/ = ar'-l-fta;-f-r.
Nous avons vu (n®tt) que ce trinôme du 2« degré est une fonction continue pour toute valeur finie de x, et que Faccroissement de celto fonction quand on donne à x Taccroissement h est
donc
A=A(2<urr = 2a.r.
■ah.
et si Ton fait tendre h vers zéro.
limT- = 2a»r-f-fc, ou y' = 2ar-f-ft,
donc la dérivée de la fonction du 2** degré ax- 4- hx 4- c est la fonction du 1*' degré 2aa:-h h,
4t. Signification f^éométrlqae de la dérivée. — Une fonction
continue dans un certain intervalle peut être en général représentée par un arc de courbe continu. Cette fonction admet une dérivée pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle; à cette propriété algébrique correspond pour Tare de courbe la propriété géométrique d*avoir une tangente en chacun de ses points.
Tangente en un point dune courbe. — On appelle tangente en un point M d*un arc de courbe CMD, la position limite MT que prend une sécante MM'S passant par le point M et par un point M' situé sur le même arc de courbe, lorsque cette sécante tourne autour de M jusqu*à ce que le 2« point M' vienne se confondre avec M.
La tangente en M à l'arc CMD peut donc rencontrer cet arc en d'autres points, tels que P, R (fig. Ti).
Fig. 3.
Dl
TA
kngle d'une droite avec un axe fixe X'X. — Traçons les deux axes rectangulaires X'OX, Y'OY, OX étant l*axe des abscisses positives et OY celui des ordonnées positives. Si on fait tourner le demi-axe positif OX d'un angle droit dans le sens de la flèche, de manière à Tamener à coïncider avec le demi-axe positif OY, on détermine ainsi le sens des rotations positives. Soit une droite ES (fîg. 4), qui rencontre en E Taxe X'X. On appelle angle de la droite ES avec Taxe positif OX Tangle a = XES compris entre et tc dont il faut faire tourner la ligne EX autour de E pour rappliquer sur la droite ES.
Si la sécante est parallèle à X'X, Tangle de ces droites est nul.
43. Théorème. — La dérivée y' d'une fonction y = f{x) est représentée par la tangente trigonométrique de V angle que fait avec Vaxe positif des x la tangente à la courbe au point M qui a pour abscisse la val ur donnée à la variable x.
En effet, soit CMD l'arc de courbe qui représente la fonction quand .r varie dans un certain intervalle ; à une abscisse OP comprise dans cet intervalle correspond une valeur de y représentée par PM. Donnons à :r un accroissement A = PF ; traçons l'ordonnée P'M' et la ligne MI parallèle à OX.
Fig. 4.
Pour
;r = OF on a i/ = FM' = P'I -h IM' ;
l'accroissement de la fonction est donc k =z IM'.
Traçons la sécante SM'ME. Les triangles semblables WÏM et MPE donnent
A- JM' PM , (^A ,
^ = îjj- = pÊ == ^^g \MEX; = tang a.
Si on fait tendre h vers zéro, le point M' s'approche indéfiniment flu point M, et la sécante SM'M devient à la limite la tangente en M,
MEX
soit T'MT; l'angle MEX devient MTX = Ô, donc
y' = lim I = lim tang {mE\) = tang (mÎx) = tang 0.
