Problème III. — Tan^featcs menées par nn point ext
Fig. 520.
Fig. 321.
rieur A une ellipse dont on connaît les deux axes. — Soit P le point donné. Cherchons dabord le rabattement du point qui, situé dans le plan du cercle, se projette en P; pour cela, traçons la droite PBK; K restant fixe dans la rotalion, et B se rabattant en B4, le point P se rabat en P4. Si de ce point nous menons au cercle les tangentes PjMJ,P,M'J', celles-ci ont pour projections PT, PT' qui sont tangentes à l*ellipse en M et M' située sur les mômes ordonnées que les points M^M/ (fig. 321).
455. Problème IV. — Tangentes menées A une ellipse parallèlement A une droite donnée. — Soit OD la droite donnée : nous en aurons le rabattement en traçant la sécante BPI qui se rabat suivant IB| ; le rabattement du point P est donc Pi, et celui de OPD est 0?fi^, Menons au cercle les tangentes TM^ T'M/ parallèles à OD4; elles rencontrent Taxe de rotation AA' aux points fixes T etT'; donc les parallèles à OD menées par T et T' sont les tangentes demandées, leurs points de contact étant M et M' sur les mêmes ordonnées que Mj et M/ (fig. 322).
456. 6é.NÉRALISATlO?) . — Tangentes A des ellipses qui ont un axe commun. — Nous avons VU (n^ t95) que réquation de la tangente à une ellipse (ou une hyperbole) rapportée à ses axes est
LAUSAT. — COXPL. D'aLC.
418 GÉOMÉTRIE A!«ALYTIQUE.
L'abscisse x^ du pied de la tangente sur X'X est donc (en faisant
' X c'est-à-dire
OTxOU=ÔÂ*
ce qui montre que les points H et T divisent harmoniquement A'A ;
et d'autre part, l'expression de Xi étant indépendante de b et de y, il en résulte que si on trace différentes ellipses ayant l'axe commun A'A, les tangentes à toutes ces courbes aux points M, N, L, P qui ont même abscisse OH, concourent sur l'axe X'X au même point T.
Le cercle ABjA' est Tune de ces ellipses (fig. 525).
Il en est de même pour toutes les hyperboles qui ont F'g 323. le même axe transverse.
4SY. Liea géométrique des points d*oii l*on peut mener A une ellipse deux tangentes rectangulaires.
Prenons l'équation d'une tangente parallèle à une direction donnée
(n^'aoi)
y = mx -h yja-iu^ -t- b* Si elle passe par un point XY du plan, on n
Y = mX -h sja}ni^ -h 6* ou, en isolant le radical et élevant au carré, (Y — mX)' = a«m«-f-^* (X* — a^)m} — 2XYm -h Y* — ^» = 0.
Les racines m', m" de cette équation du 2'- degré en m sont les coef-
ou
ficients angulaires des tangentes menées du point X,Y à 1 ellipse. Pour qu*elles soient rectangulaires, il faut que
mW = — 1
ou
ou enfin
X»-HY« = a«H-6»
Tel est donc le lieu demandé ; c'est le cercle circonscrit au rectangle
construit sur les deux axes nr de l'ellipse (flg. 324).
