II. — PROPRIÉTÉS DE L'ELLIPSE
4t8. Construction d'nne ellipse connaissant les deux axes.
— TnÉORèMB I. — Si un segment de droite de longueur constante a ses extrémités B et A mobiles, l'une sur X'X, Vautre sur Y'Y, un point quelconque M de cette droite décrit une ellipse ayant pour demi-axes MA et MB.
En effet, soit
MA = a
MB=:6
Projetons le contour OPMA sur OX, et le contour PMB sur OY. On a, en désignant par w l'angle variable que fait BA avec OX,
[1] ,r-f-acosa) = [2] y — bs\niû =
En éliminant cos (o et sin u> entre ces équations et l'équation de condition
[3] cos' Q) -4- sin' (û = \ on en tire
~-hf.= l Fig. 316.
Le lieu décrit par OM est donc une ellipsa dont les demi-axes sont a et 6.
De là résulte une construction facile : en faisant glisser une bande de papier où Ton a marqué les points A, D, et M, Â se déplaçant sur YT et B sur X'X (flg. 516), le point M décrit l'ellipse.
4t9. Théorème U. — Si on décnt la circonférence ayant pour diamètre le grand axe d'une ellipse^ les ordonnées de deux points M et Mj de même abscisse et situés Vun sur Vellipse, Vautre sur la circonférence f sont dans le rapport constant du petit axe au grand.
En effet, Téquation de Tellipse
donne
celle du cercle
donne
d*où Ton déduit
et réciproquement des équations [2] et [3] on déduit Téquation [i].
D'après cela, si on trace Y les deux circonférences qui
ont pour diamètres AA' et BB', un rayon quelconque OED, puis les droites DP et EM parallèles aux axes, on a dans le triangle ODP (fig. 517)
PM
pd'
OE Oh
donc M est un point de l'ellipse dont les demi-axes sont a et b.
4«0. Théorème III. — La projection d'une circonférence sur un plan quelconque est une ellipse! " En eifet, menons le plan de projection par le centre du cercle et
soit 6 i*angle des deux plans; prenons le' centre pour origine des coordonnées dans le plan du cercle. et dans le pîan de projection; soient X, Y les coordonnées d'un point quelconque M de la circonférence, a son rayon, et soient x, y les coordonnées de sa projection P. Dans le plan XOY (fig. 518) on a
Orar = X
7/ = HP = HMcose = YcosO
donc
cos^ô ou en divisant par à^
a*"^a«cos«6~" Fig. sis.
Le lieu du point P est donc une ellipse dont le grand axe est égal au diamètre du cercle donné, et le petit axe égal au produit de ce diamètre par le cosinus de Tangle que fait le plan du cercle avec le plan de projection.
Si 6 = 3» l'équation se réduit ày*==0, c'est-à-dire X'X.
4SI. Récipr<iqae« — Toute ellipse peut être considérée comme la projection d'une circonférence ayant pour diamètre le grand axe et située dans un plan faisant avec celui de l'ellipse un angle dont le
cosinus est é^al à -• a
En effet, l'équation de l'ellipse étant
menons par AA' le plan qui fait avec celui de l'ellipse un angle ô tel que cos6=:- et considérons le point M de ce plan qui se projette enP:
x = \ w = HP = HMcos6 = Ycosô = -Y
Donc en substituant dans l'équation [i] on a bien
équation du cercle dont le rayon est a.
On verrait de môme que toute hyperbole est la projection d'une hyperbole ëquilatère ayant môme axe transverse.
4St. Problème I. — Intersection d'nne sécante et d'âne ellipse
dont on donne les denx nxes. — Soit la sécante IZ.
Considérons-la comme la projection d'une droite située dans le plan du cercle qui a pour projection l'ellipse. Ce cercle est rabattu suivant ÂB|A' ; cherchons le rabattement de la droite autour de AA'. Traçons une droite BPE dans le plan de Tellipse : elle est la projection d*une droite tracée dans le plan du cercle, et rabattue suivant EB| ; donc P| est le rabattement du point P de IZ; donc IZ se rabat suivant IPjZj. Ce^ dernière droite coupe le cercle en M^ et Nj, dont les prqjiclîons M et N s'obtiennent en menant les ordonnées MiH et N,K {fig. 319).
MS. Problème II.
Tangente en nn point H d*nne ellipse dont on connaît le gvand axe* — Si le point M appartient à une ellipse dont le grand axe est AA', cette ellipse peut être considérée comme la projection du cercle rabattu autour de AA' suivant ABjA'; le point M est alors rabattu en M|; on tracera donc la tangente en Ml à ce cercle ; 1^ point T, trace de cette tangente sur l'axe de rotation étant immobile, la tangente en M à l'ellipse est TM (fig. 320).
