III. — DIAMÈTRES DE L'ELLIPSE ET DE LUYPERBOLE
439. Équation d'an diamètre d*nne ellipse on d'une hyperbole rapportée A «es axes. — L'équation générale d'un diamètre, conjugué aux cordes dont le coefficient angulaire est m, est (xV^ sos)
fx'{x,y)-hmf;(x,y) =
L*équation de l'ellipse étant
celle d'un diamètre est donc
Et si on change i* en — 6', on a pour un diamètre de l'hyperbole
Sans recourir à l'équation générale des diamètres, on peut trouver directement l'équation, dans le cas simple dont il s'agit, en cherchant le lieu des milieux des cordes déterminées dans l'ellipse ou l'hyperbole par une sécante telle que
[3] y = mx-h'k
Éliminons y entre [2] et [3], nous obtenons l'équation
(a^m^ 4- b^)x^ -h ia^nùx -h a«(X* — b*) =
qui a pour racines les abscisses des points d'intersection.
Soient X, Y les coordonnées du milieu d'une corde ; elles doivent satisfaire aux conditions
, ., .. œ' -+- .r* a^nik
[5] Y = mX-hX
et si on élimine X entre ces équations [4] et [5], on a bien
fc*X-ha«mY = 0.
440. Relation entre le coefllelent ani^nlaire d*nn diamètre et eelnl des eordes eonjni^ées. — Ce produit est comtant. Si 8 est le coelTicient angulaire d'un diamètre, on a pour l'ellipse
ÉTUDE DES CONIQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 421 et pour rhyperbole
441. Diamètres eonjBf^éa. — Dire qu'un diamètre OD' est conjugué de OD, c'est dire (n° m) qu'il est parallèle aux cordes que OD divise en parties égales; on a donc 8' = m; donc les coefficients angulaires 8 et 5' de deux diamètres conjugués ont un produit constant :
88' = pour Tellipse et 88' = -f- -j pour Thyperbole.
44t. Disposition de deux diamètres eonjiif^és.
1® Dans l'ellipse» 8 et 8' étant toujours de signes contraires, deux diamètres conjugués OD, OD' ne sont jamais dans le môme angle des axes (fig. 326). Quand 8 croit, la valeur absolue de 8' décroît; donc
Fig. 327.
8' croît ; les deux diamètres OD et OD' tournent donc dans le mémo
sens autour du centre. Quand 8 = -» 8' = ; donc les deux dia-
gonales OË, OE' du rectangle construit sur les axes sont un système
particulier de diamètres conjugués.
a*» Dans l'hyperbole, 8 et 8' étant de même signe, OD et OD' sont
situés dans le même angle des axes (fig. 327).
Si
donc OD el OD' sont situés respectivement dans les angles XOL et LOY, séparés par l'asymptote OL ; un des diamètres est transverse et l'autre ne rencontre pas l'hyperbole.
Si 8 croît, S' décroît ; donc les deux diamètres conjugués tournent
en sens contraire, et quand o = -» on a aussi B' = - ; donc OD et OD' ^ a a
viennent se confondre avec l'asymptote. On peut donc dire qu'une
asymptote est un diamètre singulier qui coïncide avec son conjugué.
44S. Théorème. — Les tangentes menées aux extrémités d'un diamètre sont parallèles au diamètre conjugué. — En effet, x^ y étant les cordonnées du point D (fig. 326 et 327), le coefficient angulaire de la tangente en ce point est
dans le cas de l'ellipse : celui de OD est
donc 8fjL = donc jx = 8'
La môme démonstration s'applique à l'hyperbole. Nous appelons hyperboles conjuguées deux hyperboles qui ont les mêmes asymptotes, les mêmes axes, l'axe imaginaire de l'une étant Taxe transverse de l'autre, telles que CAE, C'A'E' et GBH, G'B'H'. Un diamètre OD' qui ne rencontre pas la première rencontre l'autre en des points réels et les tangentes en ces points sont parallèles à OD, conjugué de OD'.
444. Remarque. — Diamètres eonjui^és du eerde. — Deux diamètres conjugués d'un cercle sont rectangulaires et réciproquement; deux diamètres conjugués d'une ellipse peuvent donc être considérés comme les projections de deux diamètres rectangulaires du cercle dont cette ellipse est la projection. Les propriétés des diamètres conjugués de l'ellipse résultent ainsi géométriquement de propriétés analogues du cercle.
Problème. — On donne le grand axe d'une ellipse et un diamètre en direction et en grandeur : construire le diamètre conju-
gué sam que r ellipse soit tracée. Le diamètre OD est la projection d un diamètre ODi du cercle décrit sur AA' ; en traçant les lignes BiD^F, puis IDB, celle-ci est la projection de la droite qui est rabattue suivant IB^ : on détermine
ainsi Textrémité B du petit
axe ; OEj, perpendiculaire
à OD, , est dans le cercle
le diamètre conjugué de
ODi : il suffit donc de
trouver sur E J1 le point E
