M. Variation de l'angle de deax diamètres eonjogaés d*vne
eiiipM on d'nne iiyperboie. — L'angle DOL de deux diamètres conjugués vaut d'abord un droit quand OD coïncide avec OX, puis vaut de nouveau un droit quand OD vient coïncider avec OY. 1^ Dans une eUipse on a
tang V =
donc
tangr Y =;
Or
Soit z cette fonction dont la variable est S; prenons-en la dérivée,
Quand 8 croît de à — la dérivée z' est positive, donc z croît. Par
suite l'angle croit aussi.
Quand S = a
, ,, 2i«a ^ab
Et quand 8 croît de - à -h «> a' < donc V décroît.
Le maximum de tang V a donc lieu quand 8 = -. alors 8' =■ :
les deux diamètres conjugués sont alors dirigés suivant les diagonales du rectangle construit sur les axes; le minimum de V est évidem-
ment EODi, supplément du maximum DOÈ (fig. 529).
2o Dans l'hyperbole
lU^
' Na
UngV =
Fig. 329.
on voit, sans recourir à la dérivée, que si 8 croît de à -» tang V décroît de +00 à zéro, l'angle V décroît de ç à : cet angle devient
nul en effet quand les deux diamètres conjugués viennent coïncider avec l'asymptote.
449. Formules de Chasies. — Ces formules établissent des relations entre les coordonnées des extrémités de deux diamètres conjugués et les longueurs des demi-axes.
Soient deux diamètres conjugués d'une ellipse OD, OE : ce sont les
projections des deux diamètres
rectangulaires 0D„ OE^ tracés dans le cercle AB, A' (fig. 530). Les triangles rectanglesDjOH , OEiK ayant leurs hypoténuses égales et leurs angles respectivement égaux , sont égaux ;
Fig
X donc
KE, = OH OK = HDi
d'ailleurs
KE HD h KK,~HD,~a
Soient donc x' , y' les coordonnées du point D, x", y" celles du point E. On a
x=OH
j/' = HD
ÉTUDE DES CONIQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 42$ et
a/' = — OK = — HD, = — %' ou —=-i * 6^ a b
y" = KE = *KEj = -a:' ou C = —
. On a supposé le demi-diamètre OE situé du même côté que OD par rapport à AA'.
448. liOnf^eiirs de deux demi-diamètres eonjn^nés de l*ellip«e et de l'hyperbole. — 1° Soit une ellipse
un diamètre
[2] ^ y = Zx.
Ces équations déterminent les coordonnées x, y du point D où le diamètre rencontre Tellipse et Ton a, en désignant la longueur OD par a\
Or les équations [1] et [2] donnent
aîSt-^^î y a«8*4-6*
Soit V la longueur du demi-diamètre conjugué OD', on a de même
et comme
g'fr'fg^S* -f- y) g^S» + b'
a»6*-+-a*6«$* a*8*-hl
2» Soit une hyperbole ; OD étant un diamètre transverse de Thyperbole, son expression s'obtient en changeant 6* en — 6* dans la formule [2], ce qui donne
^,.^ a'b'{l'-hi)
Le diamètre conjugué OD' rencontre Thyperbole conjuguée de la proposée (fîg. 520), et comme l'équation de cette deuxième hyperbole — — ~j = — 1 se déduit de celle de Tellipse en changeant a* en — a', en faisant ces changements dans la formule [4] on a
Ces formules [5] et [6] donnent des valeurs réelles pour a' et b\ puisqu'on suppose O^S^--
449. Diamètres conjoi^és égnux,. — i^ Dam V ellipse, a'* et b'* sont égaux si leurs numérateurs sont égaux ; la condition est donc
a*b^(l^'h\) = a'Z*-^b' ou
(a* — 6«)a«8« — (a« — fc«)t» = ou (a« — ^«)(a»8* — 6«) = 0.
Si i = a, la condition est satisfaite quel que soit 8. — C'est le cas du cercle.
Si bz^a, la condition revient à a*ô* — fc* = oa 5 = it - •
Il y a donc dans l'ellipse un seul système de diamètres conjugués égaux; dirigés suivant les diagonales du rectangle des axes, ce sont ceux dont l'angle est maximum.
2o Dans rhyperboU, les formules [5] et [6] ayant aussi leur dénominateur commun donnent encore la condition
a*8«-hfc* = a«i»8«-+-a»^* ou
Si 6 = a, l'égalité est satisfaite quel que soit 8; donc dans l'hyper-
bole équilatère deux diamètres conjugués quelconques sont égaux.
Si hzfzay on a 8=rit:- : ce sont les directions des asymptotes,
diamètres singuliers de longueur infinie, dont chacun coïncide avec son conjugué.
450. V* Théorème d'ApoUonlns. — La somme des carrés de deux demi-diamètres conjugues d'une ellipse est constante. Les formules [5] et [4] donnent en effet
Cette somme vaut donc la somme des carrés des demi-axes quel que soit 8.
i^ La différence des carrés de deux demi-diamètres conjugués d'une hyperbole est constante. Des formules [5] et [6] il résulte que
aîfcïS» — a*8» -^ a*ft» — b' fl*8»(t* — û*) -h i*(a« — b*)
ou
Remarque. — La réciproque de ce théorème n'est pas vraie, car si dans une ellipse ou une hyperbole on trace le diamètre symétrique de Oiy, il a môme longueur que celui-ci, mais il n*est plus le conjugué de OD.
Fig. 331.
