PREMIÈRES NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
CUAP. V. — Préliminaires. — Projections.
Moyens de généralisation. — Segment de droite 147
Relation entre les segments déterminés par différents points sur un axe.
— Projection d'un point, — d'un segment. — Théorème des projections.
— Conséquences. — Angle de deux directions. — Projections orthogonales lis à 155
Exercices ^ 156
CHAP. YI. -> Des coordonnées.
Coordonnées d'un point. — Contour des coordonnées, résultante 158
Notion des coordonnées polaires 161
Équation d'une ligne. — Équations en coordonnées polaires 163
CHAP. Yll. — Courbes simples.
Circonférence. — Ellipse. — Hyperbole. — Pai'abolc. — Cissoïde. — Strophoïde droite. — Équations de ces courbes, étude géométrique déduite de ces équations 167 à 183
Homogénéité des équations. — Tracé d'une courbe dont on donne l'équation. 184
Exercices et problèmes 191
45i TABLE DES MATIÈRES.
CHAP. Vin. — Généralités sur les coordonnées et les lignes.
§ I. — Transformation des coordonnées.
Pages
lîtilité de changer les coordonnées. — Déplacement de l'origine 197
Changement de la direction des axes. — Conséquences et application . . . 20O
§ II. — Distance de deux points.
Distance de deux points. — Équation d'une circonférence 205
§ III. — Classification des lignes planes.
Courbes algébriques et transcendantes. — Degré d'une courbe algébrique . 207
Équation représentant un système de lignes 208
Condition pour que deux équations représentent la mt^me ligne. — Points communs à deux lignes. — Ligne passant par les points communs à deux autres 210
Exercices 212
GHAP. IX. — Ligne droite.
§ I. — Équation du premier degré. Coefficient angulaire.
Une équation du !•' degré représente une droite et réciproquement. . . . 216 Angle d'une droite avec l'axe positif des x. — Coefiicient angulaire. — Variation de ce coefficient 220
Équation d'une droite en fonction de sa distance à l'origine et de l'angle que fait avec OX la normale menée de l'origine à cette droite. — Droites parallèles 223
jiî II. — Droites satisfaisant à certaines condition».
Droites passant par un point. — Droite passant par un pomt et parallèle à une direction donnée. — Droite passant par deux points. — Coefficient angulaire. — Constniire une droite dont on donne l'écpiation. — Point d'intersection de deux droites. — Droites passant par le point de roncontre de deux autres. — Droites concourantes. — Médianes 225 à 236
Condition pour que trois points soient en ligne droite. — Application. . . 237
§ III. — Angles et distances.
Angle do deux droites. — Droites perpendiculaires 239
Perpendiculaire menée d'un point sur une droite, pied et longueur de la perpendiculaire. — Distance d'un point à une droite. — Régions du plan
Table des matières. 455
Pages séparées par une droite. — Convenlion pour les signes. — Application. —
Bissectrices des angles formés par deux droites 241
Hauteurs d'un triangle 247
Lieux géométriques. — Exemple 248
Exercices et problème» sur la ligue d roi le 251
CHAP. X. — > Équations particulières du seôond degré.
§ I. — Systhne de droites.
Équation du second degré à une seule variable. — Généralisation 257
Équation homogène du second degi'é. — Discussion. — Généralisation. . . 258 Angles des deux droites représentées par une équation homogène du second
degré. — Équation du système des bissectrices de ces angles 261
Condition pour qu'une équation générale du second degré à deux variables
représente deux droites 263
Points et droites imaginaires, leur utilité en géométrie analytique 266
§ II. — Circonférence.
Équation d'une circonférence en coordonnées rectangulaires. — Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation du second degré représente une circonférence. — Construction du centre et du rayon 268
Points intérieurs et points extérieurs. — Puissance d'un point. — Axe radical de deux cercles 272
Exercices et problèmes 274
GHAP. XI. — Tangentes. — Normales. — Assnnptotes.
§ I. — Tangentes.
Coefficient angulaire de la tangente en un point d'une courbe. — Différents cas 281
Équation de la tangente en un point donné. — Circonférence. — Ellipse. — Hyperbole. — Parabole. — Sous-tangente de la parabole 283
Tangente parallèle à une direction donnée. — Ligne des contacts. — Circonférence. — Deuxième méthode. — Ellipse. — Hyperbole. — Parabole 287
Tangentes menées par un point donné du plan. — Circonférence. — Ellipse. — Hyperbole. — Parabole. — Ligne de contact 201
Tangonte à l'origine. — Exemples 204
§ II. — Normales. — Concavité. — Inflexion.
Normale en un point d'une com*be 207
Sens de la concavité d'un arc. — Point d'inflexion. — Exemples 208
,^ III. — A*ymptotet.
rages
Délinition. — Asymptotes paralltHes à Taxe dos y. — Asymptotes non parallèles à l'axe des y. — Coefficient angulaii*c. — Ordomiée à l'origine 302à305
Exemples. — Hyperbole. — Parabole. — Foiium de Descartes 3(fâ
Exercices et probièmes 510
CHAP. XII. — Équation générale du second degré à deux variables.
Forme de l'équation. — Classification des courbes du second degré en trois
genres, d'api<és le nombre de leurs directions asymptotiques 516
Résolution de l'équation quand le coefficient de y* n'est pas nul. — Diamètre coi^'ugué à OY 517
\**cas. — Genre ellipse. — Racines réelles et inégales. — Ellipse iwlle. —
Propriétés de la courbe 519
Racines réelles et égales. — Variété d'ellipse 5i0
Racines imaginaires. — Ellipse imaginaire. — Forme à laquelle
on peut ramener l'équation du genre ellipse 321
2* cas. — Genre hyperbole. — Racines réelles et inégales. — Racines
imaginaires. — Hyperbole. — Propriétés de la courbe. . . . 325 Racines égales. — Variété d'hyperbole. — Asymptotes. —
Forme de l'équation dans le cas du genre hyperbole 324
Genre hyperbole. — Cas où C = 0. — Forme de l'équation dans
ce cas 332
3* cas. — Genre parabole. — C étant ^0. — Forme de l'équation .... 335
Genre parabole. — Cas où C = et B = 337
Variété de parabole 358
Condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation du second degré
représente une variété de conique. — Résumé de la discussion. . . . 540 Interprétation des conditions qui distinguent les divers cas d'un problème. — Exemple 543
Exercices et problèmes 315
CUâP. XIII. —> Réduction de Téquation du second degré aux formes simples.
§ I. — Centre des courbes du second degré.
Définition. — Condition nécessaire et suffisante pour que l'origine soit centre. — Détermination du centre dans les courbes du second degré. — Discussion. — Classification des coniques d'après la recherche du centre. 352
Équations du centre- — Calcul du nouveau terme constant 555
§ II. — Diamètres et axes.
Pages
Définition. — Équation générale d'un diamètre. — Discussion 357
Propriétés des diamètres dans les différentes coniques. — Diamètres conjugués. — Équation représentant le faisceau des asymptotes d'une hyperbole 360
Cordes principales. — Axes. — Équation quadratique des deux axes. — Exemple. — Axe d'une parabole 363
§ III. — Réduction de l'équation générale.
i*'cas. — Courbes du genre ellipse ou hyperbole. — Nouveaux coefflcients
de «• et de y' — Longueurs des demi-axes 367
2* cas. — Réduction de l'équation d'une parabole 373
3* cas. — Variété de parabole. — Équations réduites d'une parabole et
d'une variété de parabole. — Exemples 376
Tableau des différentes formes simples 380
Exercices et problèmes 381
CHAP. XIV. — Étude des coniques à l'aide des équations réduites.
§ I. — Propriétés focales.
Lieu géométrique des points dont le rappoil des distances à un point fixe et une droite fixe est constant. — Foyer. — Directrice. — Excentricité.
— Propriété analytique d'un foyer 383
Équation focale d'une conique. — Exemples 388
Foyers d'une ellipse. — Directrices. — Construction. — Rayons vecteurs d'une ellipse 390
Foyers d'mie hyperbole. — Directrices. — Construction. — Rayons vecteurs. 394
Foyer et directrice d'une parabole. — Rayon recteur 397
Propriétés focales communes aux trois coniques 399
Construction d'une conique connaissant un foyer, la directrice et un point.
— Problème de Kepler 401
Angles formés par la tangente avec les rayons vecteurs du point de contact.
— Ellipse. — Hyperbole. — Parabole 403
Lieu des projections des foyers sur les tangentes. — Produit des distances
des foyers à une tangente. — Paramètre d'une conique. — Équation commune aux trois courbes. — Détermination des foyers d'une conique rapportée à des axes rectangulaires quelconques 407
§ II. — Propriétés de Cellipse.
Construction d'une ellipse connaissant les deux axes. — Ellipse considérée comme la projection d'un cercle. — Problèmes sur les tangentes. . . . 413
Lieu des sommets des angles droits circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole 418
§ III. — Diamètres de Cellip9e et de t hyperbole.
Pages
Équation d'un diamèti^e. — Relation entre son coefficient angulaire et celui de ses cordes. — Diamètres conjugués. — Disposition. — Diamètres conjugués du cercle. — Problèmes 419
Variation de l'angle de deux .diamètres conjugués, ellipse et hyperbole. — Formules de Chasles. — Longueurs de deux diamètres conjugués. — Diamètres conjugués égaux. — Théorèmes d'Apollonius 423
Cordes supplémentaires. — Propriété. — Réciproque. — Problèmes. . . . 429
Produit des segments interceptés par les deux axes siu* une tangente. — Construire les deux axes connaissant deux diamètres conjugués. .... 43i
Équation d'une ellipse ou d'une hypertv>le rapportée à deux diamètres conjugués 433
§ IV. — Propriétés de thyperbole et de ses asymptotes.
Diamètre commun à deux hyperboles conjuguées et à leurs asymptotes. — Segments interceptés sur une sécante ou une tangente par une hyperbole
et ses asymptotes 434
Parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués. — Problèmes. . 434 Équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes . 435
§ V. — Propriétés de la parabole.
Construction par points. — Propriété de la souâ-langente. — Angles droits
circonscrits à une parabole 438
La sous-normale est constante. — Tangente à l'extrémité d'un diamètre. . 439
Équation de la parabole rapportée à un diamètre et à la tangente conjuguée. 439 Expressions du paramètre auxiliaire p'. — Raccordement de deux droites
par un arc de parabole 441
Sections planes d'un cône de révolution. — Discussion 443
Exercices et problèmes 445
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