X' NON X T~K K X

Fig. 28. Fig. 29.

négatif, donc le point M peut être placé au-dessus du point 0, ou en 0, ou au-dessous en M^.

VARIATION DES FONCTIONS

Donc

quand c > Téquation a 4 racines réelles et distinctes j ^ . / ^^,

quand c = les deux racines OA et — OA' deviennent nulles quand c<0 Téqualion n'a plus que deux racines réelles -+-0B, — OB'.

Avec riiypothèse fr' — 4 oc = (fig. 28), a étant > 0, le nombre c est nécessairement positif, Téquation a deux racines égales à -h ON et deux égales à — ON'.

Enfin quand fr« — 4ac<0 (Vig, 29), a étant >0, on a c>0, réquation n*a aucune racine réelle.

2" Quand a<0, les courbes sont renversées et disposées par

Fig. 31.

Fig. 32.

rapport à OY' comme les précédentes par rapport à OY, suivant les figures 50, 31 et 52.

tao. Remarque. — Usage des dérivées successives.

Si on prend les dérivées successives de la fonction bicarrée

y' =4eLc*-f-2frx = 4aa:f j:*-f-^j y" =12ax»-h2ft

y'^=24a on voit !• que pour ^ = 0, y" = 26.

Donc quand fr > la fonction admet un minimum pour x^==z{S quand fr < la fonction admet un maximum pour a: =

minimum maximum

quand fc = y"=0 «'" = y" =25aS^Î">S ""*" ^ "^ ^ ^ (sia<0 max

Oâ COMPLÉMENTS D'ALGÈBRE

2o Quand 5- < pour x* = — ^, if=z — ih

donc si fc < pour x = ±ik/ — ^ on a un minimum

— fc>-0 — — maximum

On obtient ainsi très rapidement tous les résultats de la discussion précédente.

ISl. Étude de la firaetlon rationnelle dv premier degré. —

On appelle fraction rationnelle du premier degré une fraction algébrique dont le dénominateur est un binôme du \^^ degré, le numérateur étant au plus du i^* degré, et pouvant se réduire à une constante. C'est donc une fonction de la forme

avec la condition a'^Q

(si a' était nul, on serait ramené à Tétude d'une fonction du l*' degré qui a été faite précédemment).

La dérivée de cette fraction est

, a(a'x + V) — a'(ax -^b) aV — ha' y — (a'x 4- h' Y "" {a'x -h h'Y

La fonction est continue sauf pour la valeur x=: > qui annule

le dénominateur. On doit donc faire varier .rde— 00 à — -7 — s

et de 7-4-6 à -4-00 .

D'ailleurs, si on divise les deux termes de la fraction par x^ cette fraction prend la forme

11 en résulte que quand x croit indéfiniment en valeur absolue, on a

lim. y = -.

VARIATION DES FONCTIONS

Le signe de la dérivée dépend uniquement du signe de son numérateur, puisque son dénominateur est toujours positif. On est donc conduit à distinguer, suivant que

ab' — ba'>0, aV — ha' < 0, aV — W = 0.

1* Si aV — fta';>0, la fonction est constamment croissante;

2*» Si ab' — fca'<0, la fonction est constamment décroissante;

3* Si aV — ha' = 0, la fonction, ayant sa dérivée nulle, reste constante.

La suite des variations de y dans les deux premiers cas est résumée dans les deux tableaux suivants :

L aV

— ia'>0