ab
X = — oo
lim.y = J
Hm.y-f,
\j croît
y décroît
y==-+-oo
«/ = 4-oo
y croît
y décroit
jr=:-j-oo
,. a lim.y = -,
Et, quel que soit un nombre donné N, positif ou négatif, autre que ->» la fraction passe une fois, et une fois seulement, par cette
valeur numérique ; quant au nombre — ,♦ c'est la limite dont s approche y quand x augmente indéfiniment en valeur absolue.
ISt. BepréiMiitatloB ^éométplqae de la fonetlon. — Traçons deux axes rectangulaires X'OX, Y'OY, portons sur Taxe dest/ à partir du point et dans le sens indiqué par son signe une longueur égale
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h -,f soit 01, et traçons par le point I la droite L'IL parallèle à X'X
(fig. 53 et 34).
Quand la valeur absolue de x croît indéHniment, soit dans le sens négatif, soit dans le sens positif, la courbe s'approche indéfiniment de cette droite L'L. C'est ce qu'on appelle une asymptote de la courbe.
Portons aussi sur X'X à partir de et dans le sens indiqué par son
signe une distance égale à >» sort OH, et par le point II traçons
7/HZ parallèle à Y'Y; c'est une autre asymptote. Dans le 1" cas, celui où ab* — ba'^0. Tare de courbe AMB,
zilc
Fig. 33.
Fig. 34.
d'abord très voisin de IL', mais au-dessus de cette droite, s'élève
constamment et indéfiniment quand x tend vers — — > la distance
MK d'un point de celte courbe à la droite Z'Z tend vers zéro quand le point M s'éloigne indéfiniment de X'X. Puis il y a solution de continuité, la fonction passant subitement de -f- oo à — oo , une autre brandie de courbe CD d'abord très voisine de l'asymptote Z'Z à droite de cette ligne et du cété des y négatifs s'élève constamment en s'approchanl indéfiniment de l'asymptote IL quand x croît indéfiniment
Dans le 2^ cas, ab* — ba' étant négatif, la courbe a la disposition de la figure (oi) : la première branche AMB ayant toujours pour asymptotes les droites L'L et Z'Z, mais située au-dessous de IL' et descendant constamment et indéfiniment de manière que la distance
YARUTION DES FONCTIONS. 05
MK tende vers zéro quand x tend vers . ;. la deuxième branche
CD à droite de Fasymptote Z'Z et au-dessus de I asymptote ID. Dans Tun et Tautre cas cette courbe est une hyperbole.
La fonction devient nulle pour la valeur x = » représentée sur
chaque figure par la distance OE.
Si on suppose -7 = 01 positif comme dans les figures 55 et 54,
le nombre est supérieur ou inférieur à ; suivant que
nb' — ba' est positif ou négatif.
ISS. 5« cas, où ab' — ba' = 0.
L'équation
ax-^-b
peut s'écrire sous forme entière
[1 ] (a'.r -j- b')y ^ (a:c -j- fe) = 0.
Or par hypotlièse a' n'est pas nul ; si b' n'est pas nul non plus, Tégalité
ab'--ba' = (S peut s'écrire
a b a' b' d'où
a — ma\ b = mb';
réquation entre la variable x et la fonction y devient donc
(a'x -h b')y — m[a'x -f- i') ^ ou
qui se décompose en deux équations
a'jr -+- 1' = ou x=z >
M — m = ou ii-zm=z^
COHPLÉHE^'TS D'ALGÈBRE.
La première est représentée par la droite Z'Z ; pour chacun de ses
points on a en elTet x = ^ quelle que soit la valeur de y. La
seconde est représentée par la droite L'L; la fonction y devient en effet constante et égale à
-7 ou 01 quel que soit x (fig. 35).
Chacune des hyperboles précédentes se X réduit à ses asymptotes.
Enfin si h' =0, comme a' n'est pas nul, il faut que fc = 0.
L*équation [1] se réduit à
a'xy — ax = ou x{a*y — a) =
jz
Fig. 35.
qui donne
x= représentée par la droite
iS4. Étode d'une fimetloii rationnelle du denzIéuM degré. iVoiions théoriqves. — Une fraction rationnelle du deuuème -degré est de la forme suivante :
ax*
■bx-
les polynômes U et V étant du 2« degré au plus, et l'un d'eux au moins étant du 2<^ degré.
Pour étudier une pareille fraction, il est bon de chercher d*abord les racines du numérateur et du dénominateur, ce qui montre pour quelles valeurs de x la fraction devient nulle ou infinie. Gela permet en outre de reconnaître si la fraction est irréductible.
On sait que, si les deux équations
ax*-^bx-hc = 0, a'x* -hb'x-\-c' =
ont une seule racine commune a, cette racine est réelle, et l'équation donnée peut alors ^tre écrite ainsi :
VARIATION DES FONCTIONS
Elle se décompose dans les deux équations
X — a = et i/= // û/v
La fonction y se réduit donc à une fraction rationnelle du !«' degré.
Si les deux équations ont deux racines communes a et p, réelles ou imaginaires conjuguées, la fraction donnée peut encore se réduire. Dans ce cas, on a
ou (x — a)(:r — p)(a'î/ — a) =
c'est-à-dire
^•-P = et y=:-,
La fonction y se réduit alors à une constante. Supposons la fraction donnée irréductible et prenons-en la dérivée
, (2flj: -h h) [alx^ -f- h'x -h cQ — (2a^.g -h h')[ax^ -h ^x H- c)
ou
^ [aV ^a^)j:i ^ 2(0^/ gg/)^ 4- (^^^ M) Z
On voit que cette dérivée a pour numérateur un polynôme du 2' degré au plus et pour dénominateur le carré du dénominateur de la fraction donnée. Le signe de if est donc le même que celui de Z, pourvu que les polynômes Z et V n'aient aucun facteur commun.
Ceci conduit à distinguer trois cas, d'après la nature des racines du trinôme Z. En posant
ah' — ha! = k, ac' — ca' = B, bc' — cb' = C,
ces racines sont imaginaires, réelles et égales, ou réelles et inégales, suivant que l'on a B* — AC < 0, B« — AC = 0, B* — AC > 0.
Lemme. — Quand B* — AC ne$t pas nuly les polynômes 1 el\ nont de facteur commun que si le polynôme V est un carré parfait.
Soient en effet les deux équations
Z = ou .ir«-4-î2Rr-i-C = et
V = ou aV-Hfr'x-4-c' =
LAVHAT. — COM?l.. d'aLU. 7
08 COMPLÉMENTS D'ALGËDRE.
La condition pour qu'elles aient une racine commune est
(X& — Ca')« -h iXb' — 2Da') {Œ — 2Bc') = ou
( Ac' 4- Ca')« — 4ACa V -h AC^'» — 2BCa'i^' — 2ABfr V -f- 48 Vc' =
ou, en ajoutant et retranchant B'fc'*,
(Ac' -4- Ca')« -4- B»fc'« — 2BCa'ft' — 2ABftV -h XCb'* — B*(6'* — 4aV) — 4ACaV = ou
(Ac' -i- CaJ -h B'6'« — 2Bft'(Ca' 4- Ac') -f- AC(6'« — 4fl'c') — B»(ft'* — 4a'c')==0 ou
( Ac' -h Ca')» -h B«6'« — 2B*'(Ca' + Ac') -4- (AC — B*) (ft'« — 4a'c') =
ou enfîn
( Ac' H- Ca' — Wy — (B« — AC) (ft'» — 4a'c') =
f A =: ab' — ba' ( Ac' .= abY — ba'&
Or I C = bc' — cb' donc | Ca' = bcW — cfc'a'
( B = ac' — ca' ( — B^^' = ca'b' — Me'
ï)ar suite
Ac'4-Ca' — Bfr' = 0.
\a\ condition se réduit donc à
(B« — AC)(fr'«— 4a'c') = 0.
Donc Si B* — AC n'est pas nul, Z et V n'ont de racine commune que si fr'* — 4a'c' = 0, c'est-à-dire si l'équation V = a une racine double, c'est-à-dire que V est de la forme q!(x — or')'. Cela posé, examinons successivement les trois cas indiqués.
1^"^ ca%. B* — AC <C 0. — Les racines du trinôme Z sont imaginaires, donc ce trinôme reste constamment de même signe que A. D'ailleui*s,
d'après le lemmé la fraction rrj est irréductible. Donc y' conserve aussi
constamment le signe de A sans s'annuler.
Donc !• si A > ou ab* — ba! > 0, la dérivée y' restant constamment positive, la fonction y est constamment croissante.
VARIATION DES FONCTIONS. OU
2<» Si A<0 OU aV — fta'<0, la dérivée y' reste constamment négative, donc la fonction y est constamment décroissante.
On ne peut pas avoir A = 0, car alors B* — AC se réduirait à B* et serait par conséquent positif.
Donc, quand B' — AG<CO, la fonction y na ni maximum ni minimum,
2" cas. B* — AC = 0. — Le trinôme Z ayant alors une racine double ne change pas de signe en passant par zéro.
Si on remplace les lettres A, B, C par leurs valeui^ respectives, la condition B* — AC = devient
{ac' — cay — (ab' — ba') (b<f — cb') = 0.
C'est la condition pour que les deux équations ao;' -j- 6^ -f- c = et aV 4- t'a: + c' = aient une racine commune. La fraction donnée peut donc se réduire et s'abaisser au 1^' degré et nous savons qu'elle n a alors ni maximum ni minimum.
3< CAS. B* — AC> 0. — Le trinôme Z a deux racines réelles et inégales. La dérivée y' peut alors changer de signe, et la fonction y peut être tantôt croissante, tantôt décroissante.
C'est le seul cas où la fonction donnée poise soit par un maximum, soit par un minimum.
Il faudra distinguer suivant que le dénominateur de y peut ou ne peut pas s'annuler, puisque suivant ces conditions la fraction devient infinie et discontinue, ou bien reste finie et continue.
La discussion théorique complète étant un peu longue, nous nous bornerons à étudier sur des exemples numériques les diiîérentes particularités que peut présenter la fonction.
iSS. Remarque. — Calcul de la valeur du maximum ou du minimum. — Quand on a trouvé une valeur x^ de la variable x pour laquelle la dérivée y' s'annule et change de signe, la valeur ï/i du maximum ou du minimum correspondant s'obtiendrait en substituant le nombre x^ \x x dans l'expression de y; on peut abréger ce calcul de la manière suivante :
L'équation entre y et x peut s'écrire sous la forme
(a'x* -+- i'x -h c') j/ — {ax^ 4- 1^ + c) =: 0.
Prenons la dérivée du premier membre; en considérant y comme une fonction de x^ cette dérivée doit être nulle, donc
[ia'x -h b') y + (a V -h Vx + c') y' — (âoa: -h *) =
or Xp substitué â x, annule y\ donc il reste
(2a'arj -4- b') y, — (âox^ -f- fr) = d'où
2aa:| -4- h
pourvu toutefois que ^a'x^ -f- V ne soit pas nul.
ISS. Exemple I. — Frsetlon ratlomielle dlseontimne el coneroisMuite. — Soit la fraction
Si on résout les équations
on trouve
elles n*ont aucune racine commune, la fraction est donc irréductible ; elle devient nulle pour a: = | et a: = | et infinie pour a? = et .r = a. On doit donc Tétudier dans les trois intervalles suivants :
i« de — 00 à — i
2« de -+-6 à s — e
3« deç-f-6 à -+-«»
Prenons la dérivée
ce qui se réduit à
Le numérateur de y' a ses racines imaginaires (c'est le premier cas indiqué, celui où B* — AC<;0): ce numérateur est donc constamment positif; il en est de même de jfy donc la fonction y est constamment croissante.
VARIATION DES FONCTIONS
iOl
D*ailleurs, en divisant les deux termes par ^*, la fonction prend la forme
X xr
On voit ainsi que, quand x croît indéfiniment en valeur absolue,
8 2 limite de y = j^ = i^
Enfin on suit les changements de signe de la fraction en ti^ansformant ses deux termes en produits et en récrivant sous la forme
Les variations de la fraction donnée sont résumées dans les tableaux suivants, qui correspondent aux trois intervalles où elle reste continue :
1" IRTERVALLR
2° IlfTERVALLE
