Ëqaatloii d'iuie tlfiie. — Thëohème. — Une ligne plane
petit être représentée par une équation entre les coordonnées de chacun de ses points.
En effet, soit une ligne plane AM6 (fig. 128), x et 2^ les coordonnées OP et PH d*un point M quelconque de cette ligne, pour une position donnée du point M. Ces coordonnées sont déterminées, et quand le point H se déplace sur la ligne AB, ses deux coordonnées varient simultanément, mais non d une façon arbitraire, car si Ton donne à l'abscisse x une valeur particulière, la valeur correspondante de Tordonnée ij en dépend. Donc y est fonction de x et la nature de cette fonction dépend de la nature de la ligne AHB.
Quand cette ligne est définie géométriquement, en écrivant algébriquement les conditions qui permettent d'en construire un point quelconque, on déduit de ces relations une équation entre les coordonnées x et y d un point quelconque de la ligne et les données constantes qui la définissent : c'est ce qu'on appelle Véquation de la ligne,
f 8t. Réciproque. — Une équation entre deux variables xety représente généralement une ligne.
En effet, 1® si Téquation donnée est résolue par rapport à y, c'està-dire de la forme
y étant une fonction explicite de x, on a vu précédemment (n^ »•) que, si cette fonction est continue, à chaque valeur de x correspond généralement une valeur de y et Ton peut tracer une courbe continue AMNM'N'B représentant les variations de la fonction (fig. 129).
S'il arrive que y soit discontinue pour certaine valeur particulière de X, la courbe présente une solution de continuité, se compose d'arcs distincts, AB, CD, et l'ordonnée y peut passer subitement de — 00 à H- 00 .
Par exemple.
ox
^ x — i devient discontinue pour x = l (fig. 150).
Si la fonction y cesse d*étre réelle quand x varie dans un certain intervalle, il n'y a aucun arc de courbe correspondant à ces valeurs
dex.
Ainsi soit
^"^(ar— l)(a: — 2)
y reste imaginaire pour toute valeur de X comprise entre 1 et 2.
2<» Si Téquation n'est pas résolue par rapport à y, c est-à-dire est de la forme
y est alors une fonction implicite de x.
Cliaque couple de valeurs réelles de j: et de y satisfaisant à cette équation détermine un point du plan. Et l'équation est généralement vérifiée par une infinité de systèmes de valeurs réelles de x et dey.
Donnons à x une valeur particulière x=ia = OK (fig. 151), l'équation [1] étant par exemple du 3« degré par rapport à y devient
/ (a » y) = et donne les solutions
de même
pour
on aura
y = — AM |y = -hAP
et ainsi de suite. Si on fait varier x d'une manière continue, chaque valeur de y varie aussi d'une manière continue et les points MM'M^ PPT", QQ'lT se déplacent sur le plan et décrivent chacun un arc continu de courbe.
Si, pourx= a" = OA", l'équation f(a", y) = a une racine nulle, la courbe a un point M" situé sur X'X.
Si, pour a: = a, = 0A„ l'équation /*(fli, y) = a une racine double, les points M et P viennent se confondre en M4 ; en ce point la tangente à la courbe est parallèle à OY.
Fig. 131.
Si, pour x = a^ = 0A„ Téquation /*(a, , y) = a deux racines imaginaires, les points H et P disparaissent : il n*y a plus qu*un point réel Q, situé sur la courbe.
iM. Remarque I. — Cas où. «ae éqmiaoa n*est vérlllée q«e par certaines valeurs |»ar(icall«res de X et de y. — Quelquefois il n existe qu'un seul point réel du plan dont les coordonnées vérifient Téquation donnée.
Ainsi, Téquation
n*e$t satisfaite que quand on y fait
la ligne qu*elle représente se réduit au point 0. De même
n*est vériflée que par
Jî-
Fig. 132.
Soit encore
{x« — a^y 4- m* (y« — fc*)« =
Cette somme de carrés ne peut s*annuler que si les deux carrés deviennent nuls simultanément ; Téquation se ramène aux systèmes
suivants
(y + t)«(»-fc)* =
dont les solutions communes sont les quatre «suivantes :
L*équation représente donc les quatre points ainsi déterminés M, N, P, Q (fig. 132).
f 9-i« Remarque II. — Cas où. réqaatlom B*est Tértllée par les eoordomiées d*aaeaa point réel. — Certaines équations ne sont
satisfaites par aucun système de valeurs réelles de x et de y. Ainsi
On dit alors que la ligne qu*clle représente est imaginaire,
IM. Éqiiatloiiii en coordonnées polaires. — Les raisonnements que nous venons de faire à l'aide des coordonnées rectilignes x ^iy s'appliquent également aux coordonnées polaires. Quand un point M décrit dans le plan une ligne donnée AB (fig. 153), son rayon vecteur p varie avec Tangle w dont il dépend, et la ligne est représentée par une équation
Fig. 133.
Réciproquement, une équation entre w et p représente généralement une ligne.
i86. Coneinslon* — Prlnel|iau3K problèmes que la géométrie analytique permet de résoudre. — On voit par ce qui précède que par l'emploi d'un système de coordonnées on peut ramener l'étude d'une figure géométrique à une question d*algébre. La géométrie analytique comporte donc trois questions fondamentales :
1° Une figure étant définie géométriquement, trouver son équation ;
2<» Une équation étant donnée, construire la figure qu'elle représente ;
5** Étudier les propriétés géométriques des figures à l'aide des propriétés algébriques de leurs équations.
