CHAPITRE VI

191. Objet de la i^éométrie amalyUqae. — La géométrie analytique a pour but l'étude des figures par les procédés du calcul ou de Vancdyse algébrique.

Descartes (1637) agrandit considérablement le domaine de laigèbre par lusage des exposants pour la notation des puissances, rinterprétation des racines négatives des équations, et enfin par la représentation des figures à laide des symboles algébriques, montrant comment toute courbe peut être représentée analytiquement par une équation à deux variables et 1 étude de ses propriétés géométriques ramenée à Tétude algébrique de cette équation.

fyt. CoordoDiiées d*im point. — On détermine la position d'un point dans un plan au moyen de deux quantités que l'on nomme les coordonnées de ce point.

Un point étant l'intersection de deux lignes, un ensemble de deux lignes données et bien définies qui doivent se couper en M constitue un système de coordonnées. Il existe une infinité de systèmes de coordonnées; nous nous bornerons à indiquer les plus simples et les plus usuels.

i9S. Coordonnées reetillKne». — Tont point d*nn plan m deux coordonnées rcetilt|^efi. — On sait déjà que la position d'un point A sur une droite X'X est dèter-

^1 ■ • < — ' — > 3j minée quand, après avoir marqué sur cet

p.^, ^22 axe un point de repère fixe appelé ori-

ginCf .on donne en grandeur et en signe

la distance OA comptée à partir de l'origine positivement dans le

sens OX, négativement dans le sens OX'. Celte distance algébrique,

DES COORDO^INKES. 150

quon appelle Vabêciae du point et que nous désignons par x, peut donc varier de — oo à -H <» (fig. 122).

Ainsi l*abscîsse de A est a: = -h OA et cclîodc A' est x = — OA'

Quel que soit le point A pris sur X'X, on a donc toujours x = ÔÂ.

Prenons mainlcnant deux axes de coordonnées X'OX, Y'OY qui se coupent en et choisissons sur ciiacun d'eux uii sens positif et un sens négatif (fig. 123). Soit )l un point du plan ; si par M on trace des pnr.i1ièles aux axes, la parallèle à Y' Y coupe X'X en un point A dont l'abscisse prise avec son signe détermine la ligne Tl. C'est Yahscme de tout point M pris sur cette droite.

On a donc x = OA

La parallèle à X'X coupe Y' Y en B, le segment OB pris avec son signe, positivement dans le sens OY, négativement dans le sens OY', détermine la position de la droite V'V : c'est V ordonnée de tout point M situé sur cette droite; nous la désignons par y, et Ton a

y = ÛB.

Vabscme et Yordonnée x = OA, y =0B sont les deux coordonnées rectilignes du point M.

Tout point tel que A donné sur Taxe X'X aune ordonnée nulle; ses coordonnées sont donc

x = Ok j/ = 0.

De même tout point B situé sur Taxe Y'Y a une abscisse nulle, ses coordonnées sont

Pour le point les deux coordonnées sont nulles

Ainsi tout point du plan a deux coordonnées bien déterminées en grandeur et en signe.

Ces coordonnées» inventées par Descartes, sont appelées aussi coordonnées cartéûenneè.

194* Béclproquement, (ont •jmtèwa^ de ^alcara de* deux coordoMiiée* détermiM mm polat da plan» et ma seal.

En effet prenons une abscisse ;r = OA et une ordonnée y = OB. Ces deux quantités algébriques déterminent Tune un seul point A sur X'X, Tautre un seul point B sur Y' Y; les deux parallèles aux axes Z'Z et V'Y menées respectivement par A et par B sont donc bien déterminées et se coupent en un point unique M du plan. Celui-ci est donc déterminé par ses deux coordonnées rectilignes. Et si Ton fait variei' X et 1/ de — 00 à -h 00 , on peut obtenir successivement tous les points du plan.

i9S. Remarqce I. - Si Ton n'avait pris soin d'attribuer un signe à chaque coordonnée, à leurs valeurs numériques correspondraient quatre points du plan -^ M, N, P, Q, entre lesquels il y aurait confusion, '/ puisqu'une même longueur donnée peut être / portée soit sur OX, soit sur OX' et de même sur f l*axe des y\ mais les quatre points M, N, P, Q se

distinguent nettement les uns des autres par les signes de leurs coordonnées. Ainsi, en supposant les longueurs OA et OA' égales à deux F'g. 12*. unités, OB et OB' valant trois unités (fig. 124),

lies coordonnées de M sont

— de N sont

— de P sont

— de Q sont

i9S. Remarque U. — L*abscisse x d*un point M est en grandeur et en signe la projection de OM sur Taxe X'X, projection faite parallèlement û OY et Tordonnée y du point est en grandeur et en signe la projection faite parallèlement à X'X de OM sur Taxe Y' Y.

199* Contour des coordonnées d*nn point* — Résultante de

ee contour. — Si dans la figure (123) on considère les deux stigments OB et AM, ces deux segments sont égaux, parallèles et de même signe; on peut donc remplacer l'un par Tautre et dire que Tordonnée du point M est égale en grandeur et en signe au segment AM. Cela dispense de tracer la droite V'Y.

La ligne brisée ÔA 4- ÂM est ce qu*on appelle le contour des coordonnées du point H, sa résultante est OH (fig. 125). De raômeÔA'-l-A'M' est le contour des coordonnées du point M'.

Donc^ quel que soit Vaxe sur lequel on jn*ojetie le contour des coordonnées d*un pointf cette projection est toujours égale à celle du segment de droite qui va de Vorigine à ce point.

i9S. C?oordofluiées recUuisnIaIrea. —

Les définitions précédentes permettent de

prendre pour axes de coordonnées deux axes ^^^' *^-

tels, que Tangle XOY formé par leurs parties positives soit un angle quelconque aigu ou obtus, compris entre et tc; les coordonnées

sont alors obliques. Si Tangle XOY est droit, on dit que les coordonnées sont rectangulaires.

Les calculs qui en résultent sont généralement plus simples, et c'est le système que nous ua y \

emploierons désormais. Les coordonnées d*un ^ — -^^ ^^

point M sont alors les projections orthogonales

de la droite OH sur les deux axes, et leurs .

valeurs absolues sont égales aux distances de

ce point à chacun des axes (fig. 126). ^'^' *^-

IM. Nottoa des coordonnées polaires. — On peut aussi déterminer très simplement la position d*un point de la manière suivante : Soit un point fixe appelé pôle, OX un axe fixe appelé axe polaire (fig. 127). Si on donne la longueur p du rayon vecteur OH et Tangle (o que fait ce rayon avec Taxe, la position du point U est déterminée, pourvu que Ton convienne du sens dans lequel on compte l'angle co à partir deOX.

On peut dire que le point H est Tintersection de la circonférence décrite du point avec le rayon p, et de la demidroite OZ qui fait avec OX l'angle a>.

L'angle a> et le rayon p sont les deux coordonnées polaires du point H. Il suffirait de faire croître co de à 2?^ et p deO à + <3o pour obtenir tous les points du plan.

Pour plus de généralité, on est conduit à attribuer des signes à

LAUXiT. — C03IPL. D*AI-C. 11

l*angle ta et au rayon p ; Tangle o> peut alors varier, comme en trigonamétrie, de — x> à + oo et le rayon p, considéré comme négatif si la longueur est portée en sens contraire de la direction OZ indiquée par la valeur de a>, pourra aussi croître de — oo à + <3o .

i80« Mojem de passer des eoordouiées cartésieanes reeUui- Ifalalres aax eoordoiinées polaires, et réetproqueatent* —

1^ L*abscisse x d*un point M étant la projection orthogonale de OH sur X'X et lordonnée y étant celle de OM sur OY, il en résulte (n® 190) que, quelle que soit la position du point M dans Fun quelconque des angles formés par les axes X'X et Y' Y, on a toujoui*s (fig. 126)

[1] a: = pcos<D

[2] y=pcosû)i

et comme Tangle a)| de OM avec Oy est égal, au signe prés, au complément de u>, la relation [2] revient à

2^ == p sin u>.

2? Inversement, si on donne les coordonnées polaires co et p d'un point M, des relations

[1] X=pCOSa)

[2] y = p sin ft)

on déduit en faisant la somme des carrés

x*-f.y«=:p«, d'où p=r4-Y/j:»-4-y'.

Les valeurs de cos (o et sinus ai sont alors

cosa) = - sin<D = -

les signes de cos a> et de sin a> étant respectivement les mêmes que ceux de x et de y, puisque Ton ne prend que la valeur absolue du rayon p. Gela détermine donc une direction de OH, et une seule.

L'emploi des coordonnées polaires est surtout commode pour l'étude des figures dont Tune des génératrices tourne autour d'un point fixe.