EXEMPLES DE FONCTIONS CONTINUES

Si. Exemple I. — Binôme du premier deyré. — Le binôme du {^ degré ax -h h e»t une fonction continue pour toute valeur finie de X.

En effet, donnons à a: une valeur finie quelconque, .r^,

f(x^) == CLTo H- fr

Ce nombre est toujours fini et déterminé.

Puis donnons à a: un accroissement positif ou négatif h ; pour

f(Xo -+- A) = a(:ro-t- A) H- b donc

k = f(Xo'hh)—f(xo) = ah.

Or a est constant, A tend vers zéro, donc le produit ah tend vers zéro, en même temps que A {n? iO). C'est-à-dire qu'on peut prendre la valeur absolue de h assez petite pour que la valeur absolue de /. devienne et reste ensuite constamment inférieure à tout nombre donné aussi petit que l'on voudra.

tG COMPLÉMENTS D'ALGÈBRE.

St. Exemple H. — Trinôme dn second degré. — Le trinâme du second Je^re ax' + bx + c est une fonction continue pour toute valeur finie de x.

En effet, donnons à x une valeur finie quelconque x^,

f{x^) = ax^ -h ftjTo -4- c

nombre fini et déterminé.

Puis donnons à ^ un accroissement positif ou négatif hy

f(xo -h A) = a(x^ -4- A)* H- b(x^ 4. fc) -+- c.

L'accroissement correspondant de la fonction est

* = f(x, + h) ^f(x,) = a [(x, -h h)* — x,^] -h bh

k = 2ax^h -4- W 4- aA« = h(iaXf^ -H 6 4- ah).

Or, quels que soient les signes des nombres a, b, Xf^ et A, le facteur entre parenthèses est toujours fini ; donc quand on fait tendre Tautre facteur, A, vers zéro, le produit k tend lui-même vers zéro (n* 10).

«S. Exemple 111. — Fonetlon sin x. — La fonction sin x est continue pour toute valeur de x.

En effet, soit x^ une valeur quelconque de l'arc x,

f (x^) = sin Xo

Donnons à a; un accroissement h,

L'accroissement correspondant de la fonction est

k = sin (j^o 4- ^) — sin Xq = 2 sin ^ cos (^0 + 9 )

Quels que soient jto ^^ ^» ^^ facteur cos (^0 + 0) ^^t toujours en valeur absolue inférieur ou au plus égal à 1 ; d'ailleurs, puisque h est voisin de zéro, la valeur absolue de sin ^ est toujours moindre

DE l\ CONTINUITÉ. 17

que celle de ^> dooc la valeur absolue de k est toujours moindre que

celle de 2Xô. ou h; donc pour toute valeur de h comprise entre

— a et H- «9 l'accroissement k de la fonction sin x est aussi compris entre — a et -ha, quel que petit que soit a, et quel que soit l'arc x^.

%4, CoatlBBlcé d'one somme. — Théorème I. — Si pltuieur» fonctions d'une même variable x en nombre fini sont toutes continuesy leur somme algébrique est aussi une fonction continue de cette variable.

Car, toutes les fonctions étantcontinuespoura: = :ro, les accroissements qu'elles éprouvent quand on donne à la variable un accroissement A, ont chacun pour limite zéro quand h tend vers zéro; donc, puisqu'ils sont en nombre fini, leur somme algébrique a aussi pour limite zéro (n^^ il).

SS. CoBiiiivlCé d'us produit. — THÉORÈME II. — Si deUX OU

plusieurs fonctions de x sont continues, leur produit est aussi une fonction continue de cette variable.

Soit y un produit de deux fonctions qui, pour une certaine valeur de X, prennent respectivement les valeurs u, v,

Soit Ix l'accroissement donné à la variable x, il en résulte pour les fonctions u, v, y des accroissements Ati, Av, Ay, donc

i/-f-Ay = (ii-hAii) (v-hAv) et par suite

Ay = ttAî;-f- « AmH- Att.Ar.

Puisque les fonctions u et v sont continues. Au et \v tendent vers zéro en même temps que Ax; u et v sont des nombres finis, donc les trois termes de Ay ont chacun pour limite zéro, \y tend donc aussi vers zéro en même temps que Ax. On étend le théorème au produit d'un nombre fini quelconque de fonctions continues, en raisonnant comme nous Tavons fait au n® is.

nm. HoBôme eaUer. — Théorème III. — Un monôme entier en x, de la forme ax*, est une fonction continue pour toute valeur finie de x.

LAV7IAT. — COMPL. D ALG.

C'est la conséquence du théorème précédent, car ar" est le produit du nombre constant a par m facteurs égaux a x,

sir. FaaetloB eaUére de X. — THÉoaèME IV. — Une fonction entiti^e de x prend une valeur numérique finie et reste continue pour toute valeur finie de la variable.

Car le polynôme

A^*-f-A,x"-*-i- A^r*-» -+-A«iA-H-A,,

est la somme algébrique de m + 1 termes, dont chacun prend une valeur finie, et est une fonction continue pour toute valeur finie de^.

M. Quotient. — Théorème V. — Si les deux tei'mes d'une fraction itont deux fonctions continues d'une même variable x, cette fraction est une fonction continue de cette variable, sauf pour les valeurs de x fjui annulent le dénominateur.

Soit la fraction

Donnons à x une valeur qui n'annule pas le dénominateur, la

fraction - prend une valeur finie.

A un accroissement \x de la variable correspondent pour t/, v et y des accroissements Aw, Av, Ay, tels que

donc

Puisque u et v sont des fonctions continues, les accroissements Ai/, Aï' tendent vers zéro en môme temps que Ao:, donc le numérateur de A*/ tend vers zéro, et le dénominateur a pour limite r* qui par hypothèse n'est pas nul pour la valeur attribuée à .r, donc l'accroissement Ay de la fraction tend vers zéro en même temps que \x.

t.». Exemple I. — La fraclion