CHAPITRE II

DÉFINITIONS

!•. Accrolaaeinciit d'ime fonction, correspondant * nn accroissement de la variable Indépendante.

Soit y = f(x) une fonction de x; par hypothèse, à chaque valeur de la variable x correspond une valeur déterminée de y.

Pour x = Xq la fonction prend une valeur y^ = f(x^)

Pour x = x^ la fonction prend une autre valeur y^ = f{x^)

La dilTérence x^ — x^, positive ou négative, est dite Vaccrovs^meni de la variable, et la différence positive ou négative f{x^) — f(xç,) est ce que Ton appelle V accroissement correspondant de la fonction.

Si nous désignons Taccroisseraent de la variable par A, celui de ia fonction par k, nous écrirons donc

h = .Tj — .Tq d'où ^j = ^Q 4- A et

^ = A^i)— A^o) ou k=zf{x^-^h)—f(x^)

On désigne souvent aussi Taccroissement de x par A.r, et celui de y par Ay.

SO. Fonction continue. — On dit qu'unc fonction est continue pour toute valeur de x comprise entre deux nombres donnés a et t si, à chaque valeur x^ de la variable comprise dans cet intervalle correspond pour la fonction une valeur finie et bien déterminée, et si en outre on peut donnei h cette variable à partir de la valeur .?„

DE LA COÎSTINUITÉ. K»

un accroissement positif OU négatif A, assez petit en valeur absolue pour que Taccroissement correspondant de la fonction devienne en valeur absolue plus petit que tout nombre positif donné p, quelque petit que soit p, et reste ensuite constamment moindre que p, c'està-dire tende vers zéro, à mesure que h tend vers zéro suivant une loi quelconque.

Ceci peut s'exprimer algébriquement par la double inégalité suivante. On peut déterminer un nombre positif a assez petit pour que pour toute valeur de h comprise entre — a et H- a on ait constamment

quelque petit que soit p, les deux nombres x^ et x^ ■+- h étant compris l'un et l'autre dans l'intervalle où l'on fait varier x, c'est-à-dire entre a et b.

Si lesconditions précédentes sont constamment satisfaites quand x varie entre — A et-f-A, quelque grand que soit A, on dit que la fonction est continue pour toute valeur finie de x.