COS

2r sin' cosco

Mais nous avons vu (n« laio) qu'on a toujours

cosa)=- sînû> = - et o* = .r'-hv'

réquation [2] devient donc

f«j:==2rj/*

LACXAT. — COXPL. D ALG.

et l'on retrouve l'équalion [C]

È9é. INsposltloB ^Bérale de la eonrbe déd«ltc de aoB. — L'équation [C] écrite sous la forme

montre que :

1« y n'est réel que quand x varie de à 2r; la courbe est donc comprise entre les deux parallèles Y' Y et T'T.

2* Pour x = Oj les deux valeurs y se réduisent à zéro, la courbe part du point 0.

5** A une valeur de ;r, x = OP, comprise entre et 2 r, correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ; la courbe a donc pour axe de symétrie OX .

4^^ Quand x tend vers 2r, la valeur absolue de y croit indéfiniment; donc les deux branches de courbe» s'éloignant indéfiniment de OX, ont la droite T'T pour asymptote.

5" Cherchons la direction de la tangente en un point quelconque. Pour cela, considérons seulement la valeur positive de y, qui correspond à la branche supérieure de la courbe.

et prenons la dérivée de y par rapport à x.

, 5x«(2r— jr)^-3:» v/2r— 3; grx» — .r»

(2r—x)\Jx(2r—x) ou enfin

, (Zr — .r)y/.r

X croissant de à 2r, y' reste positif, y croit constamment.

Pour

ÉQUAnONS DE QUELQUES COURBES SIMPLES.

Donc la tangente en fait avec OX un angle dont la tangente est nulle (n"" 4t). La tangente en à la courbe est donc Taxe OX luimême.

Pour

Donc si on joint le point B au point V, milieu de OC, la droite VB est la tangente en B» puisque dans le triangle VBC (fig. 141) on a

r = {r tango ou tango = 2.

La symétrie de la courbe montre que VB' est la tangente en B'.

iMf.. Stropholde droite. — DéOnltion et étade géométrique de Itt eonrfce. — On donne deux droites rectangulaires X'X, Y'Y et un point Xsur\'\;de ce point A on mène une sécante AC sur laquelle on porte, de part et d'autre du point C, les longueurs CM = CN égales chacune à OC; le lieu géométrique des points UetJi est une courbe nommA strophoîde (fig. 145).

De la définition même il résulte que :

1® La courbe est symétrique par rapport à X'X.

2® Quand la sécante AC vient s'appliquer sur X'X, la distance OC tendant vers zéro, les deux points M et N viennent l'un et l'autre en 0; donc deux arcs de la courbe, décrits respectivement par ces points, passent par le point 0. Ce point est ce qu'on appelle un point double.

3"» Quand la sécante AC tournant autour du point A tend à devenir parallèle à 0^, le point H tend vers le point A, car le point M est constamment à l'intersection de la circonférence dont le rayon est CO avec la droite AC. Quand AC tend à devenir parallèle à Oy, le point C s'éloigne indéfiniment du point 0, le rayon CO augmente indéfiniment et la circonférence qui a pour centre C et qui passe par a pour limite la droite X'X elle-même, dont l'intersection avec AZ est le point A.

180 GÉOMÉTRfE A^ÀLTTIQTJE.

4° La tangente en A est la droite AZ, car, A et M étant deux points de la courbe, le point H tend vers le point A quand la sécante AHC tend vers la position limite AZ.

5<» Le point N «'éloigne de plus en plus du point A et décrit une branche infinie. Cette branche a pour asymptote la parallèle L'IL menée à Taxe Oy, à la même distance que AZ.

Car, si on prolonge la sécante AC jusqu'à la droite L'L en E et si de M et de N on abaisse sur AZ et IL les perpendiculaires MK, NH, le point C est le milieu de AE et, comme CM = CN, on a aussi MA = NE ; donc les triangles rectangles MAK, NEH sont égaux et par suite MK = NU. Quand la droite ACE tend vers la direction AZ, MK tend vers zéro; il en est donc de même de NH.

Là branche do courbe OB, décrite par N, s'approche donc indéfiniment de IL à mesure qu'elle s'éloigne de l'axe X'X. — Il en est de même pour la branche symétrique OB' décrite par le point N'.

6<^ Déterminons les tangentes aux deux arcs qui passent par le point : ces tangentes sont les positions limites des sécantes OM et ON quand les points H et N viennent se confondre avec le point 0.

Or l'angle Y'CN, extérieur au triangle isocèle COM, est égal au /\ double de l'angle à la base, COM, et par suite

COM = |Y'GN de même

Or, quand la droite ACE vient s'appliquer sur AOI, les angles Y'CN,

Y'CM deviennent respectivement Y'OX', Y'OX, c'est-à-dire ont chacun pour limite un angle droit; donc

limite COM == I droit

limite CON = { droit

Les tangentes en 0, OTet OT', sont donc les bissectrices des angles formés par les axes ; les deux arcs qui passent en se coupent orthogonalement.

La courbe a donc la disposition de la figure 143.