M'F' — M'F' =FP''~F'P

2a(M'FH-M'F') = (x — c)» — (t + c)«

2c r M'F-hM'F' = — — a

M'F = a — - et M'F' = — a— ~ a a

Donc, en remplaçant M'F et FF dans Tégalité [1], on a

et par conséquent on arrive encore, en posant c* — a* = b*, à l'équation

Cette équation, qui convient au point M' comme au point H, est V équation de V hyperbole, rapportée aux axes que nous avons choisis.

191. DliipositioB générale de la courbe déduite de sou équation. — L'équation [H] résolue par rapport à y donne

ce qui montre que y n*est réel pour aucune valeur de x comprise

entre a et -+- a. 11 n'existe donc aucun point de la courbe dans la

région du plan comprise entre les parallèles AZ, A'Z' à Taxe des y.

Pour a: = d: a on a y = 0. Ce qui donne le point A et le point A' sur Taxe X'X (fîg. 138). Mais à chaque valeur de x, telle que a: = OP, comprise dans Tun des intervalles de — oo à — a, ou de + a à -h 00 , correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires : ce qui donne deux points tels que M et M'; Taxe X'X est donc un axe de symétrie.

Quand x croît en valeur absolue, la valeur absolue de y croît

aussi au delà de toute grandeur; la courbe se compose ainsi de deux branches séparées et s'écartant chacune indéfiniment des axes de coordonnées.

174 GÉOMÉTRIE ANAUTIQUE.

De même, en résolvant par rapport à jr, ce qui donne

on voit qu*à toute valeur de y correspondent deux valeurs de x égales et de signes contraires; Taxe Y' Y est donc aussi un axe de symétrie.

IM. Parafcolr. — Équation de Im conrfcr. — La parabole esi le lieu des points du plan également distants d'un point fixe appelé foyer et d'une droite fixe appelée directrice.

Soient F le foyer et D'D la directrice. Prenons pour axe X'X la perpendiculaire menée du foyer sur la directrice, pour origine le milieu de la distance FI; désignons cette dislance par /?, elle détermine la parabole : c*est ce qu'on nomme le paramètre. Convenons en outre de prendre le sens OF pour lo sens des x positifs.

Soit H un point quelconque du lieu, x et y ses coordonnées (fig. 159). Traçons MF, la perpendiculaire HH sur la directrice, et Tordonnée MP du point M. On doit avoir [1] MF = MH

Or le triangle MPF donne

MF = v^MP"-hFP*

MP* est toujours égal à y*. FP est en grandeur et en signe la projection de FM, qui est la résultante du contour FO-hOM; donc

FP = proj«»" (FO) -h proj<« (OM) = — | -f- r.

D'autre part, MH = PI = OP -h 01 = x 4- §•

Donc, en élevant l'égalité [1] au carré et remplaçant MP, FP et Mil par leurs expressions, on a

»'-('-ij'=('-0"

ou enfin

[PJ y^ = ^P^

c'est Y équation de la parabole rapportée au système de coordonnées choisi. L'élévation au carré de réalité MF = MH ne donne pas une équation plus générale qu'il ne convient, puisque dans la définition les distances MF et MH sont des distances absolues et non des segments affectés de signes.

i9S. lNsp<MiltloB générale de la eonrbe déduite de son équation. — Si on résout Téquation [P] par rapport à y, on a •

ce qui montre que y n'est réelle pour aucune valeur négative dex; la courbe n'a donc aucun point situé dans la région des x négatifs (fig. 140). Pour ;r = 0, y=0, c'est le point 0, et à toute valeur de a:, x = OP, correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires, donc deux points tels pig. lio.

que M et M' ; la droite OX est donc un

axe de symétrie. D'ailleurs, quand x croît indéfiniment, la valeur absolue de y croît aussi indéfiniment. La courbe se compose donc d'un seul arc s'écartant indéfiniment de OX et de l'axe des y.

194. Clsiiolde de Dloelés. — Déflnltlon et étude gétHuétrlque de la eourfce. — On donne une circonférence C, un diamètre OA et la tangente en k-, on trace par le point une sécante quelconque sur laquelle on porte à partir du point une longueur OM égale à la portion de sécante DE interceptée entre la circonférence et la tangente en X et dans le même sens que DE.

Le lieu du point M ainsi défini est une courbe appelée cissoïde, que le géomètre Diodes a étudiée ef appliquée h la résolution de certains problèmes.

De celte définition géométrique résultent les propriétés suivantes : !• La courbe est par définition du même côté que la circonférence C, par rapport à la tangente OY.

2« La courbe est symétrique par rapport au diamètre OA, car à toute sécante ODE correspond une droite symétrique par rapport à OA, soit 00' E', sur laquelle on obtient le point M', symétrique de H (fig. 141).

3« Chacun des arcs de courbe OMK, OM'K' est tangent en à Taxe OA. — Car si la sécante ODE tourne autour du point et tend vers la direction OA, le segment DE tend vers zéro, le segment égal OM tend donc aussi vers zéro et, le point H de la courbe venant à la limite se confondre avec le point 0, la direction limite de la sécante devient la tangente en (n^ 4t).

Les deux arcs OMK, OM'K' ayant en la même tangente, et s*arrôtant l'un et Tautre en 0, ce point est ce qu'on appelle un point de reWoussement.

, 4» Quand la sécante est inclinée de 45®

Fig. 141. sur OA, le point B où elle coupe la circon-

férence est précisément le milieu de ÔE|, donc OB = BE|, B est donc un point de la courbe. — Il en est de même pour le point B'.

5« La droite T'AT est une asymptote. Car traçons une sécante OGF, et prenons ON = GF; il en résulte que NF = OG, par suite les deux triangles FNH et OGI sont égaux, donc NH = GI.

Or, la sécante tournant autour du point de OX vei's OY, on peut prendre Tangle AOF assez voisin d'un angle droit pour que la distance GI devienne et reste à partir de là plus petite que toute longueur donnée; donc il en est de même pour la distance NH.

i9S. Équation de la coarfce en coordonnées cartésiennes et en coordonnées polaires. — i"* Prenons OA pour axe des x et la perpendiculaire en pour axe des y; soit r le rayon du cercle donné (fig. 142). Les triangles OMP, ODQ étant semblables, il en résulte

MP DQ OF""00

jÉQUATIONS DE QUELQUES COURBES SIMPLES.

Mr W OQXQA QA

Mais

ÔP

ÔQ" OQ*

MP = y

OP = a;

QA=:DR = OP=x

donc ou enfin

^'^Sr-x

C'est l'équation de la cissoïde en coordonnées rectangulaires.

2» En coordonnées polaires, on a

p = OM = DE = OE — OD