FM

ou, en désignant par X la distance va- "^ i riable CM qui est égale â CO,

Fig. lU.

[1] y^—2Xy^x^ = 0.

D'ailleurs de la similitude des triangles APM et AOC il résulte

ce qui donne

PM AP y a--/

OC~"AO ^^ X~" a

Kn substituant cette expression de X dans réquation [i ], on a une équation entre x, y eia

y^{a'hx)=x*(a — x) , x^{a — X)

Si, au lieu de prendre le point M, on considère le point N, le triangle ONE donne

X« = (y-X)»-f.x* ou

j/« — 2Xy-f.a:« =

c'est encore l'équation [1].

La similitude des triangles AQN et AOC donne

y kQ kO-hOQ a — x X~AO"~ Ok ^ a

On arrive donc finalement à la même équation

qui convient à Tun quelconque des points de la itrophoxde,

2<» Cherchons une équation entre la distance donnée a et les coordonnées p et (0 du point H. Dans le triangle AOM on a

sin A sin OMA

Mais

inA===cosO(Li = cos{it— 2C0M)=cosU — 2^^ — wj | = cos2to>

sm et

sin OMA = sin OMC = sin COM = cos «o

cos 2(0 COSO)

ou enfin

a (cos* û) — sin' w)

^ COSW

Pour le point N,

p = ON, co = AON.

Dans AON

sin A sin OiNA

inA=cosOCA = cos2N = cos2f o)— |j=cos(2a)— 7c)=— cos2c = sin NOC = sin f CD — ô) = — ®*^ ( ô — «»>) = — cos w

sinONA

donc

cos2oD coso)

on a bien encore la même équation.

Et si dans Téquation [2] on fait cos o) = -» sin o) r= ^ et p'= jr'-hy",

on retrouve Téquation [S] en coordonnées cartésiennes.

!••. Propriétés générales résnltant de l*éqiuitlo« de 1* cowrfce. — L*équation [S] écrite sous la forme

montre que :

\^ y nest réel que pour — a^x^a\ la courbe est donc comprise entre les deux parallèles L'L et Z'Z équidistantes de y' y.

2<> Pour j: = a, y devient nul, ce qui donne le point A (fig. 143).

3« Quand x tend vers — a, la valeur absolue de y croit indéfiniment, ce qui montre que la droite L'IL est une asymptote.

4*» A toute valeur de x, a: =0P, comprise entre — a et -4- a, correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires; Taxe X'X est donc un axe de symétrie.

5» Si on se reporte à l'étude déjà faite (n<» iSi) de la fonction

— • nous avons vu que la seule valeur de x com-

prise entre — a et H- a, pour laquelle la dérivée de y s'annule, est

X = ^^ : ; donc le maximum de y correspond à l'abscisse du

point qui partage OA en moyenne et extrême raison.

!••• Problème. — Courbe recomine * Talde de son éqnation.

— Si, en traitant par le calcul une question géométrique, on trouve pour l'équation du lieu cherché une équation déjà étudiée, telle que l'une des équations [E], [11], [P], [C], [S] établies précédemment, on en conclut immédiatement que ce lieu est la courbe correspondante, ellipse, hyperbole, etc.

Par exemple : On donne une circonférence, on trace un diamètre OA, la tangente en A et par le point une sécante quelconque ODE, sur laquelle on porte à partir du point D une longueur DM égale et de sens contraire à DE ; trouvent le lieu géométrique du point M i^^?^ 145).

M GÉOVÉTRIB ANALYTIQUE

Prenons pour axe des x le diamètre OA dirigé dans le sens des Y

abscisses positives et pour axe des y ^ là tangente en 0; soit a la longueur

du diamètre.

La similitude des triangles OPH et OHD donne