PM HD OP^OH

Hais

Fig. Itô.

DM = DE

^' HD' = OHxHA

et puisque

HA=IlP = ^PA = i(a — x)

donc

ou enfin

OH = l(OA + OP)=|(aH-x)

y«^ OHxHA AH^ a — a:

X* "~ off OH "" a -H X

Nous reconnaissons Téquation [S]. Le lieu cherché est donc une strophoïde qui a pour point double le point et pour sommet le point A.

L*étude géométrique du problème met d*ailleurs en évidence les propriétés connues de cette courbe.

tôt. Homogénéité des équations en géométrie analytique* —

On sait qu*un polynAme entier est dit homogène quand tou$ ses termes sont du même degré, le degré d'un monôme entier et rationnel étant la somme des exposants de toutes les lettres qui le composent.

Quand on traite par le calcul un problème de géométrie, si on laisse Vunité arbitraire, la longueur de chaque ligne de la figure, con-

stante ou variable, connue ou inconnue, est représentée par une lettre, a, 6, x, j/ ... ; toute équation établie entre ces différentes lignes doit être homogène par rapport à toutes les lettres. Cela résulte de ce qu'on ne peut additionner ou soustraire que des quantités de même nature : on ajoute une longueur à une longueur, une aire à une aire, un volume à un volume. D'ailleurs le produit de deux longueurs représente une aire, le produit de trois longueurs représente un volume; par suite une lettre unique S, qui exprime une aire, doit être comptée comme étant du deuxième degré, une lettre V, qui exprime un volume, est considérée comme du troisième degré (très souvent en effet Taire d'une figure est exprimée par &', son volume par A-*). Mais toute lettre, telle que ^, qui exprime simplement un rapport, est considérée comme un coefficient numérique et ne doit pas compter dans l'évaluation de l'homogénéité : son degré est zéro ; il en est encore ainsi des différentes lignes trigonométriques, qui ne sont autre chose que les rapports de certaines longueurs au rayon.

Nous nous bornerons à cette simple notion, que l'on peut ensuite généraliser.

Si Ton se reporte aux relations établies en géométrie élémentaire et en trigonométrie, on reconnaît qu'elles sont en effet toutes homogènes.

Ainsi, entre les trois côtés d'un triangle rectangle, on a

a* = fc* -h^* homogène et du 2* degré.

Entre les trois côtés d'un triangle quelconque,

a^ = b*-hc* — 2(ccosA homogène et du 2« degré.

Le théorème de Ptolémée donne entre les diagonales et les côtés a, t, c, d d'un quadrilatère inscriptible la relation homogène

88' = ac + M

La formule qui donne l'aire d'un triangle en fonction des côtés, étant rendue rationnelle, est

elle es! homogène cl du 4« degré, en tenant compte du degré de S.

De même les équations des différentes courbes que nous avons déduites de leur définition géométrique :

Circonférence.

Ellipse. . . .

Hyperbole. .

Parabole.. .

Cissoïde. . .

Strophoïde. .

y* = Ipx yt(2r — x)=a^ y^(a -H x)=x^(a — x)

sont toutes homogènes, parce qu*on a laissé Tunité arbitraire dans l'évaluation des longueurs des lignes dont dépendent ces figures.

Dans tout calcul où Tunité de longueur reste arbitraire, toutes les équations doivent être homogènes; il est utile d*en vérifier Thomogénéité : on évite ainsi de grossières erreurs.

Hais si on a choisi comme unité de longueur une des lignes de la figure, les calculs cessent d'être homogènes ; si, par exemple, on mesure les côtés d'un triangle rectangle en prenant pour unité l'hypoténuse, on a entre les côtés la relation

dont le premier membre est du deuxième degré et le second membre du degré zéro.

De même si on donne une équation non homogène, c'est que, dans le tracé de la courbe qu*elle représente, on doit choisir comme unité une ligne particulière de la figure. Ainsi, dans les exemples traités précédemment pour l'étude des fonctions (chapitre IV, n«* tas et suiv.), nous avons construit des courbes ayant des équations non homogènes, telles que :

î^=-^^7Z7j^ ou (\ix^ — 4x)y = Sx'—6x'hi

y=^^^ ou (2a; — 3)y = 5a: — i.

C'est qu'en effet pour le tracé de ces courbes nous avons pris sur

chacun des axes de coordonnées (fig. 36, 57 et suivantes) une

longueur particulière représentant l'unité de longueur.

Si on désignait par une lettre a cette longueur particulière, en

remplaçant x par - et y par -» les équations proposées deviendraient

homogènes; on aurait en effet

/i^iA I =^'- ^+ i ou (12a:«-4aa:)y =8(u:'-6a«a-4.a» ^^3^ 1 = ^ — 1 ou(2x — 3a) y^Zax-^aK

t&9, CoBStractloA d*vBe coarbe domiée «alqncaicBt par son é^oaUoB. — Dans les exemples précédents, nous avons défini une courbe par une de ses propriétés géométriques, d*oii nous avons déduit Téquation. Prenons maintenant une équation algébrique entre les deux coordonnées x et y d*un point mobile et une longueur constante a, et proposons-nous de construire la courbe qu elle représente. Soit

[i] x* — 4ar'y-|-ày' = 0.

Cette équation est homogène, Tunité de longueur est donc laissée arbitraire.

Si on écrit cette équation sous la forme

le premier membre étant positif quel que soit x, le second doitTétre aussi, et comme a est positif, il faut que le produit y (y -f- 2a:) (y — 2x) soit négatif.

Or si, prenant une abscisse quelconque OA (fig. 146), soit (x = 2a), on prend des ordonnées AB et — AB' ayantchacune une valeur absoluedouble de OA, on a vu, en étudiant la fonction du premier degré (u^ fis), que pour tout point de la droite Z'OZ

y — 2x = et pour tout point de V'OV

yH-2a: = 0, tandis que pour tout point de X'X

Fig. 116.

D ailleurs, pour tout point situé dans l'angle XOZ, lordonnée est positive et moindre que Tabscisse, les facteurs y, y H- 2a:, sont positifs et y — 2a: < ; il peut doncexister des points de la courbe dans cette région.

Si on traverse OZ dans Tangle ZOV, la valeur absolue de y g&i supérïeure à celle de 2ar; par suite, y>0,y-|-2j:>0el y — 2j:>0t le produit de ces trois facteurs est positif; donc il n*y a aucun point de la courbe dans cette région.

Dans Tangle VOX' x est négatif, y est positif et inférieur à la valêur absolue de 2jr; donc on a

le produit étant négatif, il peut exister des points de la courbe dans cet angle.

De même dans Tangle X'OZ' on a

y<0 y-f-2.r<:;0 y — 2x>0 donc aucun point.

Dans Tangle Z'OV,

il peut y avoir un arc de courbe.

Et enfin dans Tangle VOX

y<0 y-f-2x>0 y — 2a;<0 aucun point.

Nous connaissons ainsi les régions du plau dans lesquelles la courbe doit passer. , ^

L'équation [1] étant du troisième degré en y, on ne peut pas exprimer y en fonction explicite de x. On peut résoudre Téquation bicarrée par rapport à x\ pour une valeur donnée de y on obtient quatre valeurs de x égales deux à deux et de signés contraires : ce qui montre que la courbe est symétrique par rapport à OY.

La discussion des racines de cette équation bicarrée montre que les racines ne peuvent être réelles que si

c*e8t-à«dire si

4a«y« — ay'^0

ay«(4a — y)^0

Donc, en traçant la droite L'L parallèle à X'X par le point I dont l'ordonnée = 4a, toute la courbe est au-dessous de cette droite, et pour

points N et N'.

Le produit des racines de Téquation en z, obtenue en posant x* = z, est

z'z" = af

et leur somme

Donc, quand < y < 4a, les racines z' et »" sont positives.

On a donc quatre valeurs réelles de a;, donc quatre points réels de la courbe, deux dans la région XOZ, et deux dans la région X'OY.

Et quand y < 0, une seule des valeurs de z est positive ; donc on a seulement deux valeurs réelles de x, donc deux branches de courbe dans Tangle Z'OV.

Mais l'expression de x en fonction de y est compliquée de radicaux superposés. Il est commode de prendre une variable auxiliaire. Soit (o l'angle que fait avec Taxe positif OX le rayon OH qui joint Torigine à un point quelconque de la courbe.

On a toujours en grandeur et en signe

y = x tang o) ;

réquation [1] devient alors

ar* — ^na^ tang <o -h aa^ tang* w = ou

a^[x — 4a tang tù-^a tang^ o)) = 0.

Cette équation est d'abord vérifiée, quel que soit o), par x^ = 0, c'est-à-dire par trois valeurs nulles de x; ceci montre qu'une sécante de direction quelconque menée par le point coupe 1# courbe en trois points confondus en ; l'origine des coordonnées est donc un point triple où passent trois arcs distincts.

Laissons à part ce facteur or, on déduit ensuite de Fèquation précédente •

[2] x = a tang » (4 — lang^w)

et par suite

[3] y = o, tang* 0) (4 — tang* <d) .

Les coordonnées d*un point M de la courbe sont ainsi exprimées en fonction de Tangle co. En faisant varier «> on peut suivre les variations de X et de y.

Cherchons le maximum de x, prenons la dérivée de x par rapport à (i>,

, Aa — 5atang*(i) a (4 — 5 Un^;* <o)

COS'u) COS'o)

(tang.4.^)(tang<o-A^

COS'w

Cette dérivée s*annule et change de signe pour tang û) = —

v/3f , . i6av/5 32a

2 [ alors^ = ±-^ y = -^

tang (0 = -H —

ce qui donne les points D' et D correspondant au minimum et au maximum de x.

De même, en prenant la dérivée de y par rapport à o), on a

, Satango) — 4atang^a) — 4 a tang a> (tang* co — 2)

^ COS*(D cos*<o

qui s'annule et change de signe pour

tang 0) = — v^2 tang w = tang w = V^

Pour tang <o = 0, y passe par un minimum qui est zéro, arc D'Œ). Pour tang «d = — \/î on tang co = -|-y^, y passe par un maximum qui est y = 4a, déjà trouvé précédemment et correspondant à

x=±.ia}/^*

ÉQUAnONS DE QUELQUES COURBES SIMPLES. 101

Et quand co tend vers ^* en mettant en facteur la plus haute puissance de tang &>, on a

ce qui montre que les valeurs absolues de a: et de y augmentent indéfiniment; on a ainsi les arcs OC, OC".

La courbe présente donc la disposition de la figure 146.

EXERCICES ET PROBLÈMES

Fig. Ii7.

i. On donne une circonférence et un diamètre fixe AB; un diamètre CD tourne autour du centre ; on trace la corde AD et du point C on abaisse la perpendiculaire CM sur le diamètre AB» jusqu*à la rencontre de AD en M. Trouver le lieu du point M (fig. 147). — Solution géométrique et solution analytique.

2. On donne deux circonférences tangentes extérieurement en un point fixe A ; l'une, 0, a un rayon constant; Tautre, ta, un rayon variable : on leur mène une tangente commune extérieure. Trouver le Heu géométrique du point de contact M de cette droite avec la circonférence w. — Solution géométrique et équation du lieu.

• 3. On donne deux axes rectangulaires et un point A situé sur OX' à une distance a du point 0; on mène par A une sécante quelconque qui rencontre Y'Y en B, parB la perpendiculaire à AB, jusqu'à la rencontre de X'X au point G ; enfin par B et G on trace les parallèles aux axes. Lieu géo- ^'^8- <W.

métrique du point M où se coupent ces deniières droites (fig. 148).

4. On donne une circonférence et deux diamètres rectangulaires A' A, B'B; on trace une corde A'D qui coupe BB' en un point G; par G on mène à A'D la perpendiculaire PQ, puis on trace les tangentes en P et Q; elles se coupent en M, lieu de M quand A'D tourne autour de A (fig. 149).

Calculer Tabscisse des points de rencontre de cette courbe avec la circonférence 0.

Fig. 100.

5. Soit un compas dont les deux branches AO = AB = a sont articulées en A; une pointe est fixe en et Tautre B est mobile sur X'X; un point M est marqué sur cette branche à une distance b du point A. Trouver le lieu géométrique du point M (fig. 150). (Ce lieu est une ellipse.) Déduire de là un moyen de construire une ellipse par points; construire les foyers.

6. On donne deux circonférences égales dont le rayon est r, et la distance des centres est 2d; trouver le lieu des points M tels, que la somme des tangentes menées à ces deux circonférences à partir de H soit égale à une longueur donnée 2a.

Discuter et voir comment varie le lieu suivant que a < f/, a = rf, a > </. (Examens oraux.)

7. Démontrer que le lieu du foyer d'une parabole mobile ayant son sommet fixe en 0, et passant par un point fixe A, est une cissotde.

8. On trace dans un cercle deux diamètres rectangulaires AA', BB', et par le point A' une sécante qui coupe le diamètre BB' au point D et la circonférence au point E; on porte sur cette sécante à partir de A', et dans le même isens que DE, une longueur A'M = DE.

Trouver le lieu géométrique du point M. — Solution géométrique et solution analytique (fig. 151).

9. On donne une droite D'D et un point dont la distance à cette droite est d; par ce point on mène une sécante sur laquelle on porte, à partir du point E où elle rencontre la droite donnée, et de part et d*autre de ce point, une longueur donnée a, soit EU = EN = a. Trouver le lieu géométrique des points M et N quand la sécante tourne autour du point 0. -- Ëtude géométrique et analytique de cette courbe, qu*on appelle conchoïde de liicomède, — Dispositions que présente la courbe suivant que a<.d, a = d,a'>'d,

iO. On donne une circonférence dont le rayon est r et un point A sur cette circonférence ; par ce point A on trace une sécante quelconque AE,

sur laquelle on porte à partir du point E où elle coupe la circonférence, et de part et d*autre de ce point une longueur donnée a, soit EH = EN = a. — Lieu géométrique des points M et N quand la sécante tourne autour. du point A. — Étude géométrique et équation de cette courbe» qu'on appelle canchaide de cercU ou limaçon de PoMcaL — Disposition qu'elle présente suivant que Ton a

fl<2r,

11. On donne une circonférence G et un point fîxe P; lieu géométrique des projections du point P sur toutes les tangentes menées à la circonférence. — Ëtude géométrique ; montrer que la courbe est un limaçon de Ptucal. — Placer le point P successivement hors de la circonférence, sur cette ligne ou à l'intérieur. — Construction géométrique de la tangente en un point quelconque du lieu.

12. On donne deux axes rectangulaires sur lesquels glissent respectivement les extrémités d'une droite AB de longueur constante 2a. Du point G où se coupent les axes on abaisse sur AB la perpendiculaire OM, lieu géométrique du point M.

Trouver l'équation en coordonnées polaires, puis en coordonnées cartésiennes, et tracer la courbe (rosace à quatre feuilles),

13. On donne deux droites rectangulaires X'X, Y'Y et un point fixe A

sur X'X, un angle droit ABC dont un côté passe par le point fixe A; l'autre a une longueur constante BG = OA = a et dont l'extrémité G est mobile sur Y'Y (fig. 152). Démontrer :

1* Que le point B décrit une strophoîde;

2* Que le milieu M de BG décrit une cissoïde;

Z* Trouver le lieu du milieu N de AB.

Fig. 155.

14. On donne une circonférence et un diamètre X'X; on trace deux rayons rectangulaires OA, OB, et de l'extrémité de l'un on mène la perpendiculaire à X'X jusqu'à la rencontre de l'autre en M; trouver le lieu géométrique du point M. Déterminer les coordonnées des points où cette courbe coupe la circonférence donnée {ûg. 153).

LAVWAT. — GOMrL. D'aLG. 13

\U <ÏÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

i5. On donne deaz axes rectangulaires et^eux points fixes À' etÀéqiii- (Hstants du point sur X'X; par l'un de ces points A' on trace une sécante quelconque A'Z' qui coupe Taxe Y'Y en un point G; on trace CA et la per- - pendiculaire en A à CA. Trouver le lieu

1^ / , géométrique du point M où elle rencontre

m/^ ^ la sécante AT (fig. i5f).

16, Deux droites mobiles AZ, AT tournent autour des deux points fixes A et A' d'un mouvement uniforme avec la même vitesse angulaire, mais en sens contraire: dans y leurs positions initiales AZ est dirigée sui-

p. ^jjj vaut AX et A'Z' est parallèle à OY. Trouver le

lieu géométrique de leur point de rencontre M. — Montrer que cette question se ramène à la précédente (fig. 154).

17. On donne une droite X'X et un point A sur cette droite; une circonférence de rayon r roule sur cet axe : on lui mène du point A une tangente; trouver le lieu géométrique du point de contact H. — Démontrer géométriquement que ce lieu est une strophoîde qui a pour sommet le point A et pour asymptote la tangente menée à la circonférence mobile parallèlement à X'X. — Quels axes de coordonnées faut-il choisir pour trouver réquation de la courbe sous sa forme ordinaire?

18. On donne un triangle ABC rectangle en A et dont l'angle B est variable : par le milieu de AB.on mène des parallèles aux bissectrices de l'angle intérieur et de l'angle extérieur ayant pour sommet C ; ces droites rencontrent l'hypoténuse BC en des points M et N. Trouver le lieu géométrique de ces points (strophoîde).

19. On donne deux axes rectangulaires et un point A dont les coordonnées sont a et b; par ce point on trace une sécante quelconque qui coupe X'X en B et Y'Y en G. Lieu géométrique du point H où se coupent les parallèles aux axes menées par les points B et C.

— Asymptotes.

20. On donne une circonférence 0, un diamètre PA et la tangente en A; par le point P on mène une sécante quelconque PCD que l'on prolonge au delà du point D d'une longueur DM = CD. Trouver le lieu géométrique du point H (fig. lâ5U Vérifier que les coordonnées du point P satisfont h réquation du lieu; existe-t-il un arc de courbe réel passant par P? — Calculer l'ordonnée du point de la courbe dont

Tabscisse est égale à r et tracer la tangente en ce point ; marquer le pied

de cette tangente sur X'X.

"li. On donne une circonférence et un point fixe A sur cette courbe, un triangle ABC est inscrit dans la circonférence et tourne autour du point A,

Tangle A restant constant et égal à 2 a. Trouver le lieu géométrique des centres des cercles inscrit et ezinscrità ce triangle (limaçon de Pascal).

22. On donne une circonférence et un diamètre fixe OA. Par le point on trace une sécante quelconque OC, et la corde AG qu*on prolonge jusqu'à sa rencontre en B avec la tangente OY; on prend sur OG de part et d'autre du point G les longueurs CM = CN = CB (fig. 156). Trouver le lieu géométrique du point BI et celui du point N. — Equations en coordonnées polaires et en coordonnées cartésiennes. — Quelle disposition Tune des courbes présente-t-elle par rapporta l'autre? Maximum et minimum de l'ordonnée.

Fig. 156.

25. On donne une circonférence et un diamètre iïxe X' X, on trace un rayon quelconque OG et la tangente à son extrémité jusqu'à la rencontre de X'.V au point T, puis on élève en T la perpendiculaire à X'X jusqu'à la rencontre du rayon OC en P. "Y

Trouver le lieu géométrique du point P. — La courbe passe-t-elle par le point OT — Montrer géométriquement que ce n'est pas une hyperbole (fig. 157). (Examens oraux.)

24. Les données étant les mêmes que dans le problème précédent, on porte sur le rayon OG, de part et d'autre du point G, les longueurs CM = CN = CT ; lieu du point M et lieu du point N? Quelle disposition l'une de ces courbes présente-t-elle par rapport à l'autre? Trouver les tangentes aux points 0, A et A'.

— Asymptotes.

25. Lieu géométrique des points tels, que le produit des distances de chacun d'eux à une droite fixe et à un point fixe soit constant et égal à k*. Désignant par d la dislance du point donné à la droite donnée, on cherchera dans quelles régions du plan se trouve la courbe, suivant que l'on a

Fig. 157.

26. On donne deux points fixes F et F dont la distance est 2c : trouver le lieu géométrique des points M du plan tels, que le produit des distances MF et MF' soit égal à <?•. — Prenant pour origine le milieu de FF' et pour axe des x la droite FF', on cherchera dans quel intervalle peut varier l'abscisse du point M pour que son ordonnée soit réelle. Maximum de cette ordonnée. — Cette courbe est connue en géométrie sous le nom de lemnUcate,