I. — ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ. — COEFFICIENT ANGUUÏRE
tt8« lilgiiie repréiieiitée par l'éqvatlon j^énérate du i^ degré êk deux ▼arlables. — THÉORÈME I. — Toute équation du \^^ degré représente une ligne droite.
I/équation générale du 1" degré entre les deux variables x ci y est de h forme
Nous avons déjà indiqué (n^ tt4) que la ligne représentée par celte équation, ne pouvant être coupée par une droite en plus d'un point, doit être une droite; démontrons-le directement. — Etudions d'abord les cas où l'équation est incomplète, l'un au moins des coefncients> des variables n'est pas nul.
1" ca^. A = 0, B ^ 0. - - Une équation du i" degré oit ne figure pas la variable X représente une droite parallèle à X'X. L'équation se réduit à
jM"
By + C =
ou
¥lg. 171.
la lettre b représente une longueur positive,
négative on nulle.
Prenons à partir du point sur Taxe Y' Y, et dans le sens indique par son signe, une longueur OB (fig. ^7^), égale à la valeur absolue de i, et traçons par le point B ainsi déterminé la droite D' D paral-
ÉQUATION DU PUEMIER DEGIIÉ. — LIGNE DROITE. 2t7'
lèle à X'X. — Toutpainl M de cette droite a une ordonaée PM égale à b en grandeur et en signe, donc satisfaisant à Téquation y^=b quel que soit x; et tout point M', M", non situé sur D'D, a une ordonnée différente de b. La droite D'D est donc le. lieu géométrique dos points dont les coordonnées saiisfoot à l'équation.
Si avec A = on suppose aussi C = 0, l'équation, se réduisant à V = 0, représente Taxe X'X lui-même, qui est le lieu des points dont Tordonnée est nulle.
2« ccLê. B = 0, A^fcO. — Toute équation du i^ degré ou ne figure pas la variable Y, représente une droite parallèle à Vaxe Y' Y.
L'équation se réduit en effet à
Aa:-f-C = ou x=^ — T=fl-
Portons alors, à partir du point sur X'X (fig. 172), et dans le sens indiqué par son signe, une longueur OA égale à la valeur absolue de a, et traçons par le point A la parallèle Z'Z à l'axe des y. On voit, de même que précédemment, que celte droiltî est le lieu géométrique des points dont l'abscisse est égale à a, x* ô'
Si on suppose A = et C = 0, l'équation se réduit à jr = et représente l'axe des y.
3« c(M. C = 0, A ijt 0, n ^é: 0. — Toute équation du !«' degir: en x et y qui ne contient ^^^' "*' ;>fl« de tei*me constant, représente une droite passant par Vorigine des coordonnées.
En effet, Téquation est alors
Ax-^B?/ =
ou, en divisant par B qui n'est pas nul et désignant par m le quotient
— jT qui est un nombre positif ou négatif mais fini,
A 2/ ^ — T. jr ou y = w.r.
L*équation est vérifiée par ar=:0, y = 0, coordonnées du point 0; donc la ligne représentée par l'équation donnée passe par l'origine. Je dis que cette ligne est droite.
En effet : 1° soit m>0, le rapport - étant positif, y et x sont de
même signe, donc tous les points du lieu sont dans Tangle XOY ou
dans l'angle opposé X'OY' (fig. 173).
Prenons différentes abscisses . . .
et les ordonnées correspondantes.
