Exemple. — Soit Téquation

Les coordonnées étant rectangulaires, cette équation représente une circonférence; divisons tous les termes par 4, on a

x' -+. y« Sx H- 2y -f- j =:^ complétons les carrés

(— |)* + (yH-i)'-|-i-f-|=o.

Le centre a donc pour abscisse ^ et pour

Fig- 213. ordonnée — i ; on a d ailleurs

donc la circonférence est tangente en A à X'X (fig. 215).

t8S. Points Intérlcars et points extérieurs. — Soit Téquatlon

d*un cercle, on peut toujours la ramener à la forme

Le centre C ayant pour coordonnées a et b, prenons un point intérieur I (a?! y,) et un point extérieur E (.r, y,) ; on a

donc et

Ci*<r* et CÈ*>r«

C'est-à-dire que le premier membre de Tëquation, qui est nul pour tout point M de la courbe, devient négatif si on y remplace .r et y par les coordonnées d*un point intérieur, et positif si on remplace x et y par les coordonnées d'un point extérieur ; la fonction

ar» -h yî H- 2Dz -+- 2Ey -h F

change donc de signe (du signe — au signe -j-) quand on passe de la région intérieure à la région extérieure à la courbe.

Par exemple la substitution des cooixlQfinées de Torigine j: =± 0» tj=zO dans.cettc fonction donne pour résultat F ; suivant que F est négatif, nul ou positif, Forigine est à l*intérieur, sur la circonférence, ou à Textérieur. C'est ce qu'on a vu en construisant le rayon (ii* t83).

9M. Pelssance €l*iiii point par rapport * vu ccrelc. — Théorème. — Si l'on a soin de réduire à Vunité les coefficients de i* et de y*, la puissance d'un point ?par rapport à un cercle^ C = 0, est égale à la valeur algébrique du premier membre C de Véquation du cercle où Von remplace xet y par les coordonnées du point P.

En effet, on sait qu en désignant par d la distance du point F au centre du cercle et par r le rayon, la puissance du point F est toujours égale à d' — r* (voir Géométrie); soient X, Y les coordonnées de V et a, b celles du centre, .

donc

puisse de F:== (X — a)«-f- (Y— fr)'— r»;

c'est bien le premier membre de Téquation du cercle. — La puissance de F est négative, nulle ou positive suivant que ce point est intérieur, sur la courbe, ou extérieur.

989. Axe mdteal fie ilewc cercles. -- On sait qu*on appelle axe radical de deux cercles le lieu des points d'égale puissance par rapport à ces deux cercles.

Règle. — Si Ton réduit à Tunité le coefficient de .r* dans les équa* lions dos deux cercles, Véquation de Vaxe radical s'obtient en retranchant membre à membre les équations de ces deux cercles,

Enelîot, les équations de deux cercles peuvent toujours être écrites sous la forme

[1] x^-hy^-h^dx -hiey -^[ = ou Cr=0

[2] x»-+-y«-4-2(/'x-4-2e'^-hf ^0 ou C'^0

Soient XY les coordonnées d*un point H d'égale puissance

Fuiss«^ de M par rapport à C == X« + Y» 4- 2dX -h 2eY 4- / Fuiss'î de M par rapport à C = X» -h Y« -+- 2rf'X -h 2<^Y -h r

les deux puissances étant égales, leur différence est nulle, et en. retranchant il reste

[:>] 2(d — rf')X-h2(^ — e')Y4-/— /'^O

UC.XAT. — COMPL. d'àLG. 18

iU GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

qui est Téquation du lieu. Ce lieu est donc une droite» qui passe par les points communs aux deux circonrérences données.

M8. Remarque L — Cette droite est d'ailleurs perpendiculaire à la ligne des centres, car, en prenant cette dernière ligne pour axe des X, les équations des cercles deviennent

x^-+-y*-h2dx+f=0

j:« + y«4-2rf'x4-/' =

et celle de Taxe radical se réduit à

tM. Remarque II. — Si dans les équations des circonférences f et f sont égaux, Téquation de Taxe radical se réduit à

2{d — d')x = et comme

L*axe radical coïncide alors avec Taxe des y. Ainsi les équations de deux circonférences rapportées à la ligne des centres prise pour axe des x et à Taxe radical pour axe des y sont

«' -+- y* -h 2ix H- f= x^']-y^-h2d'X'+-f=0

Ce choix d*axes est commode dans beaucoup de problèmes.

EXERaCES ET PROBLÈMES

i . Construire les droites représentées par les équations suivantes

4kt« — 5ax — 6a« = ar» + oc» — a»x =

4jc« — 2(Lr h- 25a» = a;* - 5a« r» + 4a* =r 0.