THÉORÈME GÉNÉRAL

Étant données les trois arêtes A, B, G d*un angle trièdre , de quelque manière que l'on choisisse sur chacune délies deux points : a' et a" sur la droite A , b' 61 b" sur ta droite By c' et c" sur la droite G , le plan déterminé par trois de ces six points (le choix étant arbitraire , ô condition que sur les trois points employés , il ny en aura pas deux appartenant à la même arête ) coupera le plan déterminé par les trois points restants , suivant une droOe î)\et les combinaisons possiMes^ trois àtràis^ des mx points , seront au nombre de quatre. On obtiendra donc quatre droites D, D', D", D'", qid seront toutes les quatre situées dans un plan unique*

10. La démonstration que j'ai donnée pour le tronc de pyramide triangulaire s'applique mot à mot à ce théorème général, et il est facile de reconnaître quels seront les divers polyèdres à six sommets qui naîtront de la différence de relation de position que l'on établira entre les six points situés, deux à deux , sur les trois arêtes de l'angle trièdre.

il. J'ai énoncé au commencement de ce mémoire un théorème relatif au trian* gle, lequel n'était évidemment qu'un cas particulier de celui qui existait pour six points distribués deux à deux sur trois droites situées sur un plan et concourant en un même point.

Mais lorsque l'on suppose que les trois droites sont les arêtes d'un angle trièdre,

Ton ne trouve aucun cas particulier qui corresponde dans Y espace , à ce qui est sur le plan par rapport au triangle.

Ce h*est que lorsque l'on considère quatre droites concourant en un point et situées deux à deux dans six plans, que l'on obtient dans V espace ^ le théorème analogue à celui énoncé sur le plan pour le triangle.

Ce théorème peut être énoncé ainsi qu'il suit :

Sait un tétraèdre A dont les sommets m , n , p^ q , seront opposés respectivement aux faces triangulaires VL^ N, P, Q.

Soit un point r dans C espace , et duquel partent quatre droites mr, nr, pr, qr, conunant chacune un des quatre sommets du tétraèdre.

Chacune de ces quatre droites percera en un point la face du tétraèdre opposée ausommet par lequel elle passe , ainsi :

La droite mr percera la face U enun point m'

— nr — N — n'

— pr — P — p'

— qr — Q — q'

Le plan déterminé par les trois points m\ ïk\ p' coupera la face Q suivant une droite

Q'', de même :

Le pktn Tûf^'if coupera te plan N suivant une droite N^^

Les quatre droites P'^ Q", M'', N'' seront toutes situées sur un plan unique R.

Et le théorème que je viens d'énoncer n'est qu'un cas particulier du théorème plus général et que l'on peut énoncer ainsi qu'il suit :