THÉORÈME GÉNÉRAL

Si sur chacune des quatre droites A, B, C, D, concourant en un point unique f , et situées deux à deux dans des plans différents , on prend deux points arbitraires ^ savoir : a' et a'' sur la droHe k,y et b" sur la droite B, c' el c'' «tir la drcite C , A' et A" sur la droite Df les diagonales et les côtés des quadrilatères plans j ayant pour sommets quatre des huit points donnés j et ces quatre points étant situés sur deux quelconques des quatre droites données , se couperont , deux à deux , en des points qui seront distribués sur un plan unique R.

Ou en d'autres termes :

Six des hidt points donnés et appartenant à trois quelconques des quatre droites données , détermineront huit plans qui se couperont deux à deux suivant quatre droites qui seront situées sur un plan unique R. Et quel que soit le quadrilatère plan considéré^ ou les six pwnts employés ^ le plan obtenu sera toujours le même plan B.

Les huit points pris, deux à deux, sur les quatre droites données et concourant en un point/, peuvent être situés sur chaque droite, ou d'un même côté du point/, ou l'un à droite et l'autre à gauche de ce point/; et cela peut avoir lieu pour les deux points d'une droite ou de deux droites, ou de trois droites ou des quatre droites.

Et quelle que soit la relation de position entre les huit points, ils jouiront toujours des propriétés polaires coniques ci-dessus.

11 est facile de reconnaître combien il y a de polyèdres différents et à huit sommets, qui naissent de la variété que l'on peut établir dans la relation de position des huit points.

12. Le tronc de pyramide quadrangulaire est un cas particulier du théorème général précédent, et il jouit des propriétés polaires suivantes :

1"* Il est la partie commune à trois pyramides quadrangulaires dont je désigne les sommets par «^ s", s"'.

S"" Les quatre diagonales de ce tronc se croisent en un point que je désigne par s.

3"" Par les huit commets du tronc pyramidal on peut farre passer une infmité de surfaces du second ordre ; je désigne l'une d'elles par 2.

4^ Les quatre points «, s'^ s", s'", seront les sommets d'un tétraèdre A dont je désigne les faces par S , S', S"'^ S'"'; la face S étant opposée au sommet s , la face S' au sommet s', ainsi de suite; le tétraèdre A sera tel que chacune de ses feces

S, S^ sera un plan polaire de la surface I par rapport au sommet opposé s,

#', qui sera le pôle de cette même surface 2.

Il suffît de se rappeler ce que nous avons dit au sujet des huit sections coniques tangentes à trois sections coniques d'une surface du second ordre, pour voir sur-lechamp que tout ce que je viens dédire n'est qu'une conséquence ou déduction des diverses propriétés polaires qui ont été alors reconnues exister et démontrées.

13. Nous pouvons encore énoncer un théorème plus général et de la manière suivante :