De ce qui précède on doit donc conclure que

Lorsque Can considère trois droites A , B , G divergeant d'un point d , il doit exister, dans le cas où elles sont situées dans un même plan , une relation de position entre les six points a', a", et b', b", et c', c", pour que les six points de contours obtenus en corn-binant deux à deux les côtés et les diagonales de t hexagone , soient situés sur une droite unique.

Cherchons maintenant cette relation :

6. Si dans l'espace on prend un point arbitraire /, par lequel on mène six droites A', A", B', B", C, C passant respectivement par les six points a, a", b', b'\ c\ c"y arbitrairement placés sur les trois droites A ^ B, G situées dans un même plan R et divergeant d'un point d] si ensuite l'on mène par le point d trois droites arbitraires, savoir : A'" dans le plan (A,/), B'" dans le plan (B,/), et C" dans le plan (C , /) , Ton aura six points : ces trois droites A'", B'", C" couperont les six droites A', A", B', B", C, C", chacune en un point , et l'on aura ainsi six points ; savoir :

a\ sur la droite A' a", sur la droite A"

c . sur la droite C c", sur la droite C"

b\ sur la droite B' b", sur la droite B"

et ces six points a\, a",, b\ , b'\ , c',, c\ seront les sommets d'un tronc pyramidal d'une pyramide triangulaire ayant le point / pour sommet.

H faudra donc , en vertu de ce qui a été dit plus haut , que le plan des six points de concours obtenus par l'intersection deux à deux des droites unissant deux à

deux les sommets du trQnc pyramidal (sommets que nous avons désignés ci-dessus par«, s' 9 s'\ 0, o\ o'') passe par le point /(qui était ci-dessus désigné par t), pour que les six points de concours obtenus par T intersection deux à deux des côtés et des diagonales de l'hexagone plan a'a!'b'b"cc" soient sur une droite unique.

Et c'est ce qui aura lieu si les six points situés sur les droites A , B, G sont sur une section conique a, car alors les six droites A', A", B\ B", G', G" divergeant du point / seront les génératrices droites d'un cône S , qui sera coupé par un plan déterminé par les trois points a\ , b\ , c\ (choisi^ arbitrairement parmi les six points situés sur les trois droites A"', B"', *C" ) suivant une section conique, et par suite sera aussi coupé par Je plan des trois points restants a",, b'\ , c'\ suivant une autre section conique.

7. Il es( facile de voir que si les trois points a\ b\ c sont en ligne droite ainsi que les trois points a!\ b"y c\ et qu'ainsi on n'ait que deux droites D' et D" contenant chacune trois des six points , l'on n'aura plus que quatre points de concours , lesquels seront forcément en ligne droite, parce que les deux droites D' et D" jouent ensemble le rôle d'une courbe du second ordre.

8. Au lieu de ne considérer qu'un cône du second ordre passant par les six sommets du tronc pyramidal , on pourrait considérer une surface du second ordre 2; ce qui serait plus général.

Par six points on peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre , mais il n'y aura que certaines de ces surfaces qui jouiront de la propriété , savoir : que les sections a , a^ a\ faites dans la surface par les faces F, F', F" de l'angle trièdre, seront enveloppées deux à deux par six cônes dont trois auront leurs sommets situés sur la droite L ^ intersection des faces triangulaires {db'd) et {ab"c") du tronc pyramidal.

Gonstruisons donc une surface du second ordre ;s jouissant de cette propriété.

Pour cela , inscrivons au quadrilatère plan db'a!*b"j situé dans la face F, une section conique arbitraire a. Prenons le point s en lequel se coupent sur la droite L les côtés ad et ac'\ pour le sommet d'un cône S' ayant la courbe a pour base.

Goupons le cône S' parla face F" de l'angle trièdre, nous aurons une section conique a circonscrite au quadrilatère b'cb"d^ situé dans la face F".

Gonsidérons le point b^\ en lequel se croisent sur la droite L les côtés prolongés b^c' et V^c^j comme le sommet d'un cône S'' ayant la courbe a pour base ; ce cône sera coupé par la face F' de l'angle trièdre suivant une section conique ol\ circonscrite au quadrilatère a!da"c" situé dans cette face F\

Gela posé :

Par les trois courbes a » « , d' nous pourrons toujours faire passer une surface du second ordre 2 » parce que ces trois courbes seront enveloppées deux à deux

par trois cônes ayant leurs sommets situés en ligne droite, et en effet : par construction on a déjà les deux cônes S' et S" enveloppant deux à deux ces trois courbes et dont les sommets s' et s" sont sur la droite L ; les courbes a et a" ayant une corde commune e'c'\ pourront être enveloppées deux à deux par deux cônes^ dont Fun S aura nécessairement pour plan tangent le plan mené tangentiellement aux cônes S' et S" par la droite L qui contient leurs sommets. Le cône S aura donc son sommet $ situé sur la droite L; de plus, il est évident que ce sommet $ sera le point en lequel se croisent sur la droite L les côtés opposés ab\ a"b" du quadrilatère situé sur la face F.

Cela posé :

Nous pourrons appliquer à la surface du second ordre 2 tout ce que nous avons dit ci-dessus, lorsque nous ne considérions qu'un cône passant par .les six sommets du tronc pyramidal.

9. J'ai supposé , dans tout ce qui précède , que les six points situés dans Tespace étaient les sommets <f un tronc de pyramide triangulaire; mais cette relation de position ne donne qu'un cas particulier du théorème général , qui peut être énoncé ainsi qu'il suit :