ÉNONCÉS DE DIVERS THÉORÈMES SUR LES POLAIRES
D*après tout ce qui a été dit dans les mémoires précédents, on peut énoncer les
théorèmes suivants.
1" THÉORÈME (connu).
Étant donnés une surface du second ordre 1 et un plan arbitraire M, les plans des courbes de contact des cônes tangents à la sur/ace 1 et ayant leurs sommets situés sur le plan M , passeront tous par un même point m.
On énonce cette propriété polaire , en disant :
Le point m est le pôle de la surface 1 par rapport au plan polaire M.
Le point m est dit intérieur par rapport à la surface 2, s'il ne peut être le sommet d'un cône tangent à cette surface ; il est dit extérieur par rapport à la surface 2, s'il peut, au contraire, être le sommet d'un cône tangent à cette surface.
Si le plan M est tangent à la surlace 2, le pôle m est alors le point de contact
du plan M et de la surface 2.
2< THÉORÈME (connu).
Étant données ane. surface du 2' ordre 2 et une droite arbitraire D, les plans
(') Extrait du Bulletin des sciences mathématiques , publie par H. Férussac , n« 1 ; janvier 1829. — tes dirers théorèmes ont éfé donnés à la Société philomatique , en décembre 1835.
des courbes de contact des cônes tangents à la surface 1 et ayant leurs sommets situés sur la droite D , passeront tous par une même droite D".
Et réciproquement : les plans des courbes de contact des cônes tangents à la surface 1 et dont les sommets sont situés sur la droite D', passeront tous par la droite D.
On énonce cette propriété polaire en disant :
Les deux droites D ei D' sont polaires réciproques de la surface 1 du 2'' ordre.
Une droite D est dite intérieure par rapport à la surface 2, lorsqu'on ne peut mener par cette droite deux plans tangents à cette surface 1 ; elle est dite extérieure par rapport à la surface 2, si Ton peut au contraire mener par cette droite deux plans tangents à la surface 1.
Si par le centre de la surface I Ton fait passer une droite B , s'appuyant à la fois sur les deux polaires réciproques D et D' de la surface 1 et coupant cette surface 1 en deux points b et b'y les plans tangents à la surface 1 en ces deux points 6 et b' seront parallèles entre eux et aux droites D et.D".
Si au point b ou au point b' l'on mène deux droites Q et 9' respectivement parallèles aux polaires réciproques D et D', ces droites 9 et 0' seront précisément les droites que Monge a désignées par le nom de. tangentes conjuguées.
3' THÉORÈME (énoncé pour la première fois dans le tome IIl de la Correspondance
de P École polytechnique).
Trois courbes planes, situées sur une surface du 2' ordre, peuvent ext général être enveloppées deux à deux par six cônes dont les sommets sont tous situés sur un plan unique M et distribués 3 à 3 sur quatre droites.
Le point m, intersection des plans des trois courbes, est le pôle de la surface du second ordre 2, le plan M en étant le pUm polaire.
Si le point m est extérieur par rapport à la surface 2 , l'on aura trois sommets extérieurs et trois sommets intérieurs , pour les six cônes enveloppant deux à deux les trois sections coniques données.
Si le point m est intérieur^ l'on aura nx sommets tous extérieurs.
Enûn y si le point m est sur la surface 2 , il n'existera que trois cônes enveloppant deux à deux les ^rot« sections coniques données, et les trois sommets seront extérieurs par rapport à la surface 1.
Les 4 polaires réciproques des 4 droites sur lesquelles sont distribués Si à 3 les sommets des & cônes enveloppant 2 à 2 les trois sections coniques données , passeront toutes par le point m.
A* THÉORÈME (nouveau).
A sections coniques 9 situées sur une surface du second ordre , peuvent en général être enveloppées 2 à 2 par i2 cônes^ dont les sommets sont distribués 3 à 3 sur 16 droites.
Les 12 sommets seront 6 à 6 et les 16 droites seront AkA situés sur 9 plans.
Les plans dos 4 sections coniques se couperont 3 à 3 en 4 points et détermineront un tétraèdre T.
Si les 4 sommets du tétraèdre T sont tous extérieurs par rapport à la surface du second ordre , il y aura 6 cônes intérieurs et 6 cônes extérieurs enveloppant deux à deux les quatre sections coniques, et les 9 plans se composeront de :
4 plans contenant 3 sommets intérieurs et 3 sommets extérieurs.
4 plans contenant 4 sommets intérieurs et 2 sommets extérieurs.
Et 1 plan contenant les 6 sommets extérieurs.
Si les 4 sommets du tétraèdre T sont intérieurs par rapport à la surface du second ordre, les 12 sommets des cônes seront extérieurs, etc., etc.
Les 16 polaires réciproques dés 16 droites qui contiennent 3 à 3 les'sommets des 12 cônes , se couperont 4 à 4 en 9 points qui seront les pôles respectifs des 9 plans dont il a été parlé ci-dessus.
4 de ces 9 pôles seront précisément les sommets du tétraèdre T.
5' THÉORÈME (nouveau).
Étant données une surface du second ordre 1 et trois droites A , B, C arbitraires de direction, mais concourant en un point p, et chacune de ces trois droites perçant la surface 1 en deux points, Ton aura 6 points d'intersection qui détermineront :
1* Un tronc de pyramide triangulaire , inscrit à la surface du second ordre , si le point p est extérieur à celte surface 2.
2"" Un octaèdre inscrit à cette surface 2, si le point p est intérieur par rapport à cette même surface 2.
3"" Un tétraèdre inscrit à la Surface du second ordre 1 , si le point p est situé sur cette surface 1.
Dans te premier cas.
Le^ trois courbes sections de la surface 2 par les plans des faces de l'angle trièdre ayant le point p pour sommet , pourront être enveloppées deux à deux par
6 cônes , dont les sommets seront 3 intérieurs et 3 extérieurs par rapport à la surface 2 et situés tous les six sur un plan unique M.
Ce plan M sera plan polaire , le point p étant pôle par rapport à la surface 1.
Les plans des deux faces triangulaires du tronc pyramidal se couperont suivant une droite L contenant les sommets des 3 cônes extérieurs enveloppant deux à deux les trois sections coniques situées sur la surface du second ordre 2.
Les plans de ces deux faces triangulaires couperont la surface 2 suivant deux courbes qui pourront être enveloppées par deux cônes ayant leurs sommets situés, Tun au point p et Tautre en un point q , qui sera sur le plan M.
Le point q sera pôle de la surface 1 par rapport à un plan Q passant par le point p et la droite L , lequel sera plan polaire.
Les deux plans M et Q sont dits : plans polaires corgugués.
Les points p et 9 sont dits : pôles conjugués.
Les 6 sommets du tronc pyramidal pourront être unis 3 à 3 par 6 plans qui se couperont tous au point p.
La droite qui unira les deux sommets p et 9 des deux cônes enveloppant les deux sections faites dans la surface 1 par les plans des faces triangulaires du tronc pyramidal, sera la po^re réciproque de la droite L, suivant laquelle les plans de ces faces triangulaires se coupent.
Cette dernière propriété polaire s'énonce, en disant :
Les deux faces trianguUdres sont polaircment opposées. Dans le tronc pyramidal que nous venons de déterminer, il n'y a que deux faces qui soient polairenient opposées.
Dans le deuxième cas.
Les 6 sommets de Voctaèdre inscrit pourront être unis 3 à 3 par 8 plans qui donneront quatre couples de faces polairement opposées.
Les 4 droites intersections de chaque couple ne seront autres que les À droites sur lesquelles seront distribués 3 à 3 les 6 sommets des cônes enveloppant deux à deux les trois sections faites dans la surface du second ordre par les. plans des trois faces de l'angle trièdre.
Dans le troisième cas.
Il n'existe pas, évidemment, de couple de faces polairement opposées.
6' THÉORÈME (nouneau).
Si l'on construit :
V 3 plans G , G\ G" tangents à la surfoce du second ordre 2 aux trois sommets
d'une des faces triangulaires du tronc pyramidal à 6 sommets inscrit à la surface ^, ces trois plans se couperont en un point g.
2° 3 plans H , H', H" tangents à la même surface I en les 3 sommets de la seconde face triangulaire du tronc pyramidal , ces trois plans se couperont en un point h.
Les deux points g et h seront sur la droite passant par les points désignés dans le 5' théorème par peiq.
Les 6 plans Ungents G, G-, G", U, H', H'' se couperont 4 à 4 en 3 poinis qui seront les pôles respectifs des 3 faces quadrilatères du tronc pyramidal inscrit.
El les points 9 et A seront les pôles respectifs des deux faces triangulaires du même tronc pyramidal.
Si Ton construit 6 plans tangents à la surface du second ordre 1 , les points de contact étant les 6 sommets de V octaèdre inscrit (tel qu'il a été désigné dans le 5' théorème) , ces 6 plans se coupent 3 à 3 en 8 points qui seront les pôles respec* tifs des 8 faces triangulaires de Toctaèdre inscrit , et ces S points formeront A couples de sommets polairement opposés.
T THÉORÈME {nouveau).
Étant donnés une surface du second ordre 1 et un tétraèdre T dont les six arêtes coupent chacune la surface 2 en deux points, l'on aura i2 points d'intersection, déterminant les sommets d'un polyèdre P Inscrit à la surface 2.
1* Si les 4 sommets du tétraèdre T sont extérieurs à la surface 2, le polyèdre inscrit P aura 4 couples de faces polairement opposées et se coupant suivant 4 droites situées dans un même plan.
Ces 4 droites ne seront autres que celles qui contiennent 3 à 3 les 6 sommets extérieurs des cônes enveloppant deux à deux les i sections faites dans la surface 2 par les plans des faces du tétraèdre T.
2* Si les 4 sommets du tétraèdre T sont intérieurs à la surface 2, le polyèdre inscrit P aura 16 couples de faces polairement opposées et se coupant suivant 16 droites situées 4 à 4 dans 4 plans.
Ces 16 droites ne sont autres que celles qui unissent 3 à 3 les sommets des 12 cônes extérieurs enveloppant deux à deux les quatre sections faites dans la surface 1 par les plans des faces du tétraèdre T.
Et il sera facile d'énoncer dans chaque cas les résultats polaires qui doivent avoir lieu, si le tétraèdre T a tin ou dkux ou trois sommets intérieurs par rapport à la surface 2 , ou si ce tétraèdre T a tm ou deux ou trois sommets situés sur cette surface 2.
8' THÉORÈME {nouveau).
Si FoD construit 12 plans tangents à une surface du second ordre 1 , les points de contact étant les 12 sommets du polyèdre P inscrite cette surfece ( et tel qu'il a été désigné dans le 7* théorème), l'on formera un polyèdre circonscrit P, , qui jouira des propriétés polaires suivantes :
1"" Si les 4 sommets du tétraèdre T sont extérieurs par rapport à la surface 2 , le polyèdre circonscrit P. aura 4 couples de sommets polairement opposés , et ces 8 sommets seront unis deux à deux par 4 droites se coupant en un point unique qui sera le pôle de la surface 1 par rapport à un plan polaire qui ne sera autre que celui qui contiendra les 6 sommets des cônes extérieurs enveloppant deux à deux les 4 sections faites dans la surface 1 par les 4 faces du tétraèdre T.
2" Si les 4 sommets du tétraèdre T sont intérieurs par rapport à la surface 1 , le polyèdre circonscrit P, aura 16 couples de sommets polairement opposés ^ et ces 32 sommets seront unis deux à deux par 16 droites se coupant 4 à 4 en 4 points qui seront les pâles respectifs des 4 plans contenant «û; àsix les 12 sommets des cônes enveloppant deux à deux les 4 sections faites dans la surface 1 par les faces du tétraèdre T.
D'après ce qui précède, il sera facile d'énoncer les divers résultats polaires qui auront lieu, suivant que le tétraèdre T aura l"" un ou deux ou trois sommets intérieurs par rapport à la surface 2 , et 2"" un ou deux ou trois sommets situés sur celte surface 2.9 ^Ic., etc.
Si de V espace on descend sur le plan , on pourra déduire très-facilement les deux théorèmes suivants {*).
V' THÉORÈME PLAN {nouvel énoncé et plus complet du théorème de Pascal
conuu sous le nom cf hexagramme ).
Étant donnés une section conique a et un triangle arbitraire A, dont chacun des côtés coupe la courbe a en deux points, l'on aura 6 points d'intersection déterminant un hexagone inscrit à la courbe a et qui jouira des propriétés polaires suivantes :
Les 3 sommets du triangle A. étant l"" tous extérieurs ou 2"" tous intérieurs on 31" en partie intérieurs et en partie extérieurs à la courbe a , les 6 «ommets de l'hexagone sont unis deux à deux par 12 droites formant 6 couples de côtés polaire^ ment opposés.
Chacun de ces 6 couples donnera un point de concours ; on aura donc 6 points de concours , lesquels seront distribués 3 à 3 sur 4 droites.
(*) Nous aurons roccanon de rereair sur les théortaies 7* et S* dans le mémoire snivant (n* 10).
2* THÉORÈME 9Lkîf (nouvel énoncé et plus complet du théorime de M. Brianchor).
ff •
Si Ton construit 6 tangentes à la section conique a , les points de contact étant les sommets de Thexagone inscrit précédent , Ton formera un hexagone circonscrit à la courbe oc et qui jouira des propriétés polaires suivantes.
Les 6 côtés de l'hexagone circonscrit se couperont deux à deux en i2 pointe qui seront les pôles respectifs des 12 droites unissant deux à deux les sommets de l'hexagone inscrit , ces 42 droites formant 6 couples de côtés polmrement opposés.
Ces 42 pœnts formeront 6 couples de sommets poUàtement opposés et seront unis deux à deux par 6 droUes qui se couperont 3 à 3 en 4 pointe qui seront les pôUs respectifs des 4 droites contenant 3 à 3 les 6 points de concours des côtés polairement opposés de l'hexagone inscrit.
1 . ÊUmi donnés 9 points, construire un iO* point de la surface du second ordre déterminée par les 9 pointe donnés.
2. Étant donnés 9 pkms , construire im 10* plan tangent à la surface du second ordre qui a les 9 plans donnés pour plans tangents (^).
II fmt apprendre à se représenter, en idée» des surùioef et des eoorbes, dont les formes, d'âne complioetlon pins on moins grtnde, sont Ttriées i llnflni. Il fiut les voir par les yens de l'esprit, se eoaper, se toncher, s'envelopper, sniyant des conditions données.
0UFiai — Cùmtidérûtiont prUimùurire$ $wr U$ appiieaUon$ d$ fo géométrie.
Je me propose, dans ce mémoire , de chercher quels sont les polyèdres inscrits et circonscrits à une surface du second ordre , qui jouissent dans C espace de propriétés polaires analogues à celles qui existent, dans le plan, pour les hexagones inscrit et circonscrit à une section conique.
Pascal a démontré /le premier, que dans tout hexagone inscrite une section
(*) Ce mémoire a été adreiw à TAcadémie royale dei tciences de Bmzellef , a||octobre 1827, et nn extrait a été publié en atril 1831 , dan* le BnUetin des sciencee mathématiques de Férussoe.
conique, les 3 points de eoncours des c6t^ opposés étaient sur une droite.
Ce théorème a conduite la solution du problème suivant :
Construire un sixième point, d'une section conique déterminée par la condition de passer par cinq points donnés.
Depuis, M. Brianchon, ancien élève de l'école' polytechnique et capitaine d'artîHerie, a démontré : que, dans tout hexagone circonscrit à une section conique, les 3 droites qui unissaient les sommets opposés se coupaient en un point.
Et ce théorème a donné la solution du problème suivant :
Construire une sixième tangente à la section conique déterminée par la condi* tion d*ètre tangenteà cinq droites données.
Il est évident que les problèmes analogues dans C espace ^ et dont on doit chercher la solution , sont :
i"" Construire un dixième point de la surface du second ordre , déterminée par neuf points donnés.
2* Construire un dixième plan tangent à la surface du second ordre déterminée par la condition d'être tangente à neuf plans donnés.
SI
Des tétraèdres polairem^t conjugués et inscrits à une surface du second ordre.
Première partie. Je suppose 6 points i, 2, 3 et 4', 2^, 3\ situés sur une surface du second ordriB ^.
i . Je regarde le triangle 423 comme la base commune à 3 tétraèdres inscrits è i, savoir T^ T'', T'".
le désigne ie sommet du tétraèdre T' par a' — — T" — a''
Je regarde aussi le triangle i'2'3' comme la base commune de 3 tétraèdres inscrits à ta surface 2, savoir i', i", i"'. Je désigne le sommet du tétraèdre i* par 6'
— — fil — y"
Je désigne par a! la section frite dans la surface 2 par le pbn 12a'
r— par «'. ï- — ■ — — 126'
Chacune des 3^ courbes aî^ S\ y', sera enveloppée avec Tune des 3 courbes «', , 6'. > 7^ > paï* deux cônes.
Amsi les 6. courbes « , 6', y', « , , 6', , y', , seront enveloppées deux à deux par 18 cônes.
2. Je désigBé par le nom At faces polairement opposées celles dont les courbes de sections sent enveloppées par un même c6ne.
Les 6 courbes de sections donneront 3 combinaisons on relations polaires,
savoir :
a polairement opposée de a,
€ — &\ \ i^ combinaison,
6' — y', J 2* combinaison.
oL — y^
6' — a\ \ 3* combinaison.
Pour chaque relation polaire l'on aura les 6 sommets des cônes enveloppes , situés* trois à trois sur 8 plans ( ayant soin dans chaque combinaison trois à trois db n'employer qu'un des sommets des deux cônes enveloppant à la fois deux courbes polairement opposées ).
Ainsi les 18 sommets, donnés par Teidsemble des 3 combinaisons polaires, détermineront trois à trois 24 plans.
. 3. Les plans de deux courbes polairement opposées se couperoÂt suivant une droite qui sera la polaire réciproque de celle qui unit les deux sommets des cônes enveloppant ces deux courbes;
Nous aurons donc pour la l'* combinaison les 3 droites G\ G", G'" — pour la 2* combinaison ~ H', H'\ H"'
pour la 3* combinaison — K', K'', K'^'
Chacun des 8 plans contenant trois à trois les 6 sommets de la 1'* combinaison, coupera en un point chacune des trois droites G'^ G", G'".
Je désigne par g\ g'\ g^" les 3 points de section de ces 3 droites, par Tun des 8 plans.
On aura donc', dans la 1" combinaison ,
8 groupes, de 3 points qui seront les anatogues du groupe de points g\ g\ g^^^ et distribués 4e la manière suivante , savoir :
8 sur la droite G', 8 sur G^', et 8 sur G"'^
Même ciiose aura lieu pour les V et 3* oombÎDaiaoos.
Je désigne pour la 2' combinaison, F un des 8 groupes de 3 points par /l^7i'^ h"\ et pour la 3^ combinaison par k!, &'^ k!".
4. Tout ce <|ue je ^iens de dire par rapport aux den tétraèdres T' et l' existera par rapport aux deux tétraèdres T'^ et t^\ et aussi pour T"' et £'".
5. Les 18 sommets que Ton obtiendra pour T^' et t" seront distincts des i8 obtenus pour T' et t\ et des 18 que donneront T'" et t''^
6. Mais, si Tun des8 groupes de3 points, tels que gg^g\ ou \iU'ti^\ ou kWii'\ ' se confond avec Tun des groupes de poiots analogues, donnés soit par la coit^ugaxifm polaire des tétraèdres T" et ^\ «oit par celle de T'" et if'\ alors :
3 des 18 sommets trouvés pour T' et f' seront dans un même plan, que je désigne par Q , avec 3 des 18 sommets donnés pour T'' et t", et 3 des 18 sommets dennés pour T'" et i'".
Je suppose que ce soit le groupe g^gg' qui soit commun aux 3 couples de tétraèdres conjugués.
Dés lors les 3 faces de l'angle trièdre dont le sonunet est en a' passeront Tune par le point g\ l'autre par le point 9'' et la troisième par le point g"\
Il en sera de même pour les 3 faces des angles trièdres dont les sommets sont respectivement en a", d'\ b\ b'\ b'"; de sorte que chacun des six tétraèdres T', T'', T'^^ (", fj i"y aura Tune de ses 3 faces, réunies au sommet, passant pas^', Tautre par g" et la troisième par 9'".
Si Ton a 3 tétraèdres T', T", T'", inscrits à une surface du second ordre Z et ayant une base commune , et que sur un triangle dont les sommets seront 3 points pris arbitrairement sur cette surface 2, l'on construise 3 tétraèdres i\ ï\. t"\ qui satisfassent avec T', T", T'', aux diverses conditions précédentes, l'on pourra affirmer qu'ils ont leurs sommets situés sur la surface ;&, en d'autres termes, qu'ils sont aussi inscrits à 2.
Deuxième partie. Je suppose sur la surface du second ordre 2^ deux coui&bes planes y et y*'.
'7. Je prends sur la courbe y' les trois points arbitraires a , a', a'
— y, — OfbfO
Les deux sections coniques y et y' seront enveloppées par deux cônes dont je désigne les sommets par 9 et r.
Les plans des deux eourbes / et y'^ se coupent suivant une droite D ; par la • droite D et le point r passe un plan Q, et par la droite D et le point q passç unpkm R .
Le plan 0 est plan polaire de la surface 2 par rapport au pâte q — R — — — — r.
r jfi
8. On sait que lout pUm polaire de la surface 2 , doatJe pôle sera situé sur ie plan Q , passçra par le potnt^ , pâlcdu plan Q.
Dès lors , si je prends arbitrairement sur le plan Q , 3 points p\ p'\ p'" chacun d'eux sera le pâte d*un certain pbn polaire de la surfece 2, lequel plan passera par le point q.
Je désigne par P' le plan polaire de la surface 2 ayant p pour pôle
Les 3 plans P^ P'", P'" se couperont au point q.
9. Je puis regarder le point p eomme le sommet d'un cônequi couperait la surface 2 suivant deux courbes planes, dont les plans se couperaient sur le plan B' et qui passeraient Tun par le point a! et Tautre par le point b\
En effet , je puis mener les deux droites j J «i «o«ï«»»^«"rf»«e ^au point a', j
iO. Les quatre points a% b\ a\, b\^ déterminent un quadrilatère-plan.
i 1 . Supposant que le point p' soit celui où les diagonales se croisent , Ton sait
,-..,, ( m', des côtés opposés db' et a'Jif\ i - .
que les 2 peints de concours \ , ^^ ,., ^ /., I détermineront
^ s ^ \n\ — ab\ et a\b \
' avec le point q^ le plan PV
. 42. Je puis par le point m' mener dans le plan P' une droite arbitraire G', faire
passer par cette droite et le point a' un plan coupant 2 suivant une courbe a\ faire
passer par cette droite et le point b' un plan coupant 2 suivant une courbe S^.
13. Les deux courbes dt et 8' seront enveloppées par un cône dont le seul sommet sera le point p\ car Ton sait que les plans de deux courbes situées sur une surface du second ordre et enveloppées par un cône, se coupent suivant une droite située sur le plan polaire de la surface qui a pour pôle le sommet du cône enveloppe.
14. Dans le plan P" j'aurai une droite arbitraire G" analogue de G'
Les droites G' couperont le plan Q au point 9'
Si maintenant je prends sur te {.lan^}, 3 autres points arbitraires y,, p"., p"'., et que j'opère par rapport à eux et aux deux points a" et fr", comme je viens de le faire par rapport aux points p', p'\ p'" et a', b\ j'aurai :
i6. Les 3 plans P'., plan polairede 2 par rapport au pdlep\ \ fit .ces 3 plans se
— P", , — p\ > couperont au point
'9 ^^ P ri 9-
— eo —
Dans le plan P', j'aurai -la droite G'^
Le pkiD Q sera coupé par la droite G', en dd point ^'.
G ut m "•
\%. EnGoi si je prends sur le plan Q encore 3 points arbitraires p\t p"., Tp"\ :
On aura par les mêmes considérations que ct-dessus , eii les combinant avec les points al" et b"\ les 3 plans
P', ptan, polaire de 2 par rapport au pd/e p\ \ Ces 3 j^lans se P". — p\ > couperoBt aussi au
P"'. - p'". ) point q.
Et Ton aura dans le plan P'. la droite G'. -. p'^ g",
Le plan Q sera ooupé par la droite G', en un point g\
Git n
Gin tn
17. Maintenant je puis supposer que les 9 points g^ g" g" g\ g",g"\g\g\fi'\ se réduisent aux 3 points g' g' g"'.
Alors par les points g et g passeront (es 3 plans P', P'., P', ~ jr" et q - P", P'., P".
- g'" et ç -^ P'", P"'„ P'".
Et par le point g passeront les trois droites G', G',, G'.
J' r»" r»" r*" g -^ i» » vr „ u ,
III r%nt g^ni fyifi
18. L*angle trièdre dont le sommet est en a'^ et qui est déterminé par les3 plans qG\ a G',, a'G'. sera le polairement conjugué de l'angle trièdrè, dont le sommet est en b\ et qui est déterminé par les 3 plans b*(j\ 6'G'., 6'G',, ainsi que cela avait lieu pour les deux tétraèdres T' et {.
Il en sera de même pour les deux angles trièdres ayant leur sommet : L'un en a et déterminé par les 3 plans aO", a"G". , a"G".
- L'autre en 6" — A"G", 6"G", , 6"G",
ainsi que cela avait lieu pour les deux tétraèdres T" et t'\ Et de même pour les deux angles trièdres ayant leur sommet : L'un en ci" et déterminé par les 3 plans a'"G ', a'"G'"., à"Ù"\
♦ l-'autre en b"' - 6"'G'", 6 "G/", b"'Q"\
aipsi que cela avait lieu pour les deux tétraèdres T"' et t!".
19. On peutdonc conclure de tout ce qui précède : V que les six soromets des 3 couples de tétraèdres polairement conjugués T' et t' — T" et T — T"' et £'" sont situés sur une surface conique dont le sommet est le pôle du plan Q ; 2'' que cette surface conique coupe la surface 2 suivant deux courbes planes, le plan de l'une de ces courbes étant déterminé par les 3 sommets a\ a'\ a" des tétraèdres T', T", T'", et le plan de l'autre courbe étant déterminé par Tes 3 sommets b\ b'\ 6'" des tétraèdres i', i", i"'; 3* que Jes deux plans aWa'" et b'b"b'" se coupent suivant une droite située sur le plan Q. *
Des relations polaires qui existent entre les parties communes à 3 groupes composés chacun de 8 sections coùiques {ces courbes 'étant situées sur une surface du second ordre , et polairement conjuguées entre elles) , et les parties communes aux 3 systèmes polaires conjuguant ces 3 groupes.
20. On sait que par une courbe plane située sur une surface du second ordre et 3 points, situés aussi sur la même surface , Ton peut toujours faire passer deux surfaces coniques, et que l'on ne peut en faire passer que deux.
2i . Si j'ai 6 points a , a", a"' et b\ b'\ b'" situés sur une surface du second ordre 1 et un plan polaire Q de la surface 1 ayant pour pôle un point q ; je dirai que les 6 points donnés sont polairement conjugués entre eux par le plan Q et le point 9, ou sont conjugués entre eux sur la surface 1 par le système polaire composé du plan polcdre Q et de son pôle 9, si : 1* les deux courbes intersections de la surfece 2 par les deux plans aW et b'b%"' sont enveloppées par un cône ayant le f)oint q pour sommet , et si 2* les deux plans aa"a" et bVb'" se coupent suivant une droite située sur le plan Q.
22. Je suppose maintenant les 6 points 1, 2, 3 et «r', a", a"' situés sur la surface 2. Les 3 plans 12a', '23a", 13a"' se couperont en un point 9'
Le point g sera le pôle d*un plan polaire V
Les 3 points g y g\ 9'" détermineront un plan Q qui sera ptoi polaire de la sur* face 2 et aura pour pôle le point q intersection des 3 plans V', V", V"'.
23. Ensuite, je prends sur la surface 2, 3 points arbitraires 1', ^, 3\ et je construis sur le triangle l'2'S', comme base commune , 3 tétraèdres f', l", t"\ qui seront les polairement conjugués des tétraèdres 123a', 123a", 123a"\
Nous avons VU qu'alors Tune des faces de chacun dfi ces tétraèdres passait par le point g\ Tautre par g" et la 3* par g".
24. On sak que 3 courbes planes sHuées sur une surface du second ordre 2» peuvent être enveloppées 2 à 2 par 6 cônes dont tes sommets sont dirtribués 3 à 3 sur quatredroites situées dans un plan uniquequi estf>(an po^ra de la surface 2, et que ce plana pour pâle le point d'intersection des plans des 3 courbes; nous aurons donc «
Le plan V' plan polaire de la surface 2 et ayant pour pôle le point g conjuguant les 3 sections faites dans la surface 2 , par les plans :
Le plan V" plan polaire de la surface 2 et ayant pour pôU le point g^' conjuguant les 3 sections faites dans la surface 2, p^r les pl^ans :
Le plan V"' plan pdaire de la surface 2 et ayant pour pôle le point g'" conjuguant les trois sections faites dans la sur^ce -2 par les plans :
25. Les 3 points a , a", a"' serontchacun Tinterseciion de 3 courbes appartenant Tune au système polaire V et g\ l'autre au système polaire V'' et g\ et la troisième au système polaire V"' et g".
26. Les 3 sommets b\ b", b'" des tétraèdres r',i", t'" serom aussi chaciio Tintersection de 3 courbes appartenant l'une au sy^ttème polaire V et g^ l'autre au système polaire V"et 9", et la troisième au système polaire V"' et g"'. Et comme nous avons démontré que les six points a', a", a"' et b\ b", è"'sont situ^ sur un cône ayant lé point q pour sommet, et que les deux plans aWa" et b'b"b"' se coupent suivant une droite située sur le plan Q ,
Dès lors nous pourrons énoncer le tbéorème suivant :
27. Si l'on a i8 coprbes planes situées sur uncsurface dusecond ordre, formant 6 groupes de 3 couibes chacune, dans chaque groupe les 3 courbes ayant un point commun ; si ces 6 groupes sont divisés en,3 S3'slèmes de 2 groupes chacun , tels que les 6 courbes qui composent chaque système peuvent être enveloppées 2 à 2 par des cônes dont les sommets seront tous distribués sur un plan unique , ou en d'autres termes , tels que les plans des 6 courbes qui composent chaque système passent tous par un même point ; alors les six points communs seront polairenient conjugués entre eux par le point intersection des 3 plans uniques, qui sont chacun le plan polaire d'un des 3 systèmes.
28. Nous pourroi^ dire encore plus brièvement, que le groupe des tétraèdres T\ T", T"' est polairement conjugué avec le groupe des tétraèdres i\ 1", t'" par le système polaire , composé du plan polaire Q et de son pôle q.
