S MI
CmstrucUon éua éuâème potnf de ta twfaee tfii tectmi ordre déterminée par 0 poi'iiK titués, dans CestMce , de teUe manière que 3 «f entre eux, pris arbitrairement, détet-
mineni un plan qui ne pagse far aucun des 6 autres joints.
29. La construction du dixième point devient facile, en vertu de ce qui précède. En effet :
Je désigne par 1 , 2 , 3 , et i\ 2', 3', et a\ a", a"\ les 9 points donnés.
Je regarde le triangle 123 comme la base commune i 3 tétraèdres ayant respectiveinent pour sonmet Tun des points a', a\ a'".
Dès lors, par chacun des côtés du triangle 123, passeront 3 plans contenant chacun un des points a', a", a*'.
Les 9 plans que Ton obtient ainsi se couperont 3 à 3 suivant 9 points qui seront divisés en 3 groupes d^ 3 points ckaeun.
Ainsi les 3 plans i2a' , 23a^, 13a''' se couperont en un point que je désigne par 9' ,
rrr 12fll" , 23a'", 13fl' -^ — g\
T- 12a"', 23a' , 13ii" ~ — g"\
Les 3 pfans 12a' , 'l3a", 23 a'" se couperont en un point que je désigne par 9' ,
^es 3 groupes de points intersections des 9 plans combinés 3 à 3 seront donc :
i* les 3 points o', a", a'"; 2* les 3 points g', g", g'"; 3" les 3 points 9', q", q""-
Les 3 points g\ y'[j g'" déterminent pin plan Q, et cbacuQ de ces points est le jf>âle d'un plan poudre de la surface 2 du second ordre, et déterminée par les 9 points donnés.
"Ainsi , le point ^' sera le pôle d'un plan polaire \',
Les trois plans V, V", V" se couperont en un point q^ qui sera le piAe du p&m pçkttre Q. ' '
De même, le poipt ^'seralejkfied'unptoipofatreU',
Les 3 points q\ ç", <y'" détermineront un plan P qui aura pour pôle le point p, intersection des 3 plans 13', U", U'"-
30. Je regarde les 3 points y, g\ g' comme sommets respectifs de 3 pyramides triangulaires ayant pour base commune le triangle l'2'3'.
On aura donc encore 9 plans qui se couperoQt 3 à 3 suivant 9 points , dont 3 seront évidemment les points g^ g", g"\
Les 6 autres seront obtenus de la manière suivante :
Les 3 plans \'^'g\ l'sy, 2'3y^ se couperonten un point que je désigne par 6'
— 2'3'jy', l'2V; l'S'/' — — b"
Les 3 plans l'2V, 2'3y', X'Z'g" — — b*
Les 6 points 6', b", 6'", 6^, b\ b^ sont les conjugués des 6 points a', a", a'\ q\ q\ q"\ Mais les 3 points a' y a!\ a" sont situés sur la surface 2 et les 3 points q\ q"f q" ne sont pas sur cette surface.
Des 6 points b\ 6", 6'", etc., 3 seront donc placés sur la surface 2, et 3 n'y seront pas placés. Reste donc à déterminer à quel signe Ton reconnaîtra les 3 points situés sur la surface 2.
31. Je puis regarder les 3 côtés du triangle 4 2 3, comme les polairement conjugués des 3 côtés du triangle l'2'3' , de 6 manières différentes, savoir :
i"" 12 conjugués de i'2'
ou k" 42 conjugués de 1 '2 23 — l'3'
tr%i
OU 2* 12 conjugués de 2'3 23 — 4 '3'
fO/
OU 5' 12 conjugués de 2'3 23 — l'2'
ou 3* 12 conjugués de l'3' 23 — l'2'
ou G"* 1 2 conjugués de 1 '3' 23 — 2'3'
Dans le premier cas , le tétraèdre 123.a aura pour conjugué celui dont les faces de l'angle trièdre qui de coupent au sommet de cet angle seront les 3 plans :
que noift avons supposé se couper au point V.
Mais en même temps le tétraèdre 12 3.a'' aura pour conjugué celui dont les faces de Tangle trièdre qui se coupent au sommet de cet angle seront les 3 plans :
que noue avons supposé se couper au point 6".
Et dans ce mémo mode de conjugaison ^ le iélraèdre 123.a"aura pour conjugué celui dont les faces de Tangle trièdre qui se coupent au sommet de cet angle seront les trois plans :
Sg, S2g , I2g ,
^ue nous avons supposé se couper au point b'".
Dans le deuxième cas, Ton trouvera que le sommet conjugué
de a sera 6", ,de a" sera b"\ de a"' sera b'. Dans le troisième cas , Ton trouvera que le sommet conjugué
de a sera 6'", de a ' sera b\ de a'" sera b". Dans le quatrième cas , Ton trouvera :
a' conjugué de b\ a" de 6% a" de *^ Dans le cinquième cas , Fon trouvera :
a conjugué de b\ a" de 6^ à" de 6^. Dans le sixième cas j l'on trouvera :
a conjugué de *S a" de b\ a'" de A^.
Ainsi les 3 points a', a", a" ont pour conjugués les 3 points b\ b", b"\ ou bien les trois points b^, b^^ b^ ; et quand l'un de ces deux groupes est le conjugué de a y d\ çl'\ Taulre est le conjugué du groupe 7 , 9", </'".
32. La construction des 6 points 6', é", é'",é^, b^^ 6^ étant exécutée, Ton pourra reconnaître facilement quel est le groupe de 3 points choisis parmi eux qui est le polairement conjugué du groupe â\ d'^ a 'y et par conséquent quels sont les 3 points qui sont situés sur la surface 1.
En effet :
On n'aura qu'à construire la droite intersection du plan aW" et du plan Q , lequel est déterminé par les 3 points g y g" y g'".
Et les 3 points d'entre les 6 points 6', é", b'"yb\b\ b% qui détermineront un plan passant par cette droite , seront ceux cherchés , seront ceux qui sont situés sur la surface 1.
S IV
Parmi les hexagones inscrits à une section conique , lequel sera l* analogue dt^polyèdre inscrit à une surface du second ordre y et dont tes 42 sommets sont liés entre eux par les relations polaires précédentes ?
•33. En examinant la construction précédente, l'^n voit que l'on peut obtenir séparément chacun des 6 points 6', b'\ V^\ M, 6S b^ ; mais pour reconnaître si le
point construit est un dixième point de la surface 1 , Ton est obligé de construire en même temps les 6 points 6', 6", b"\ 6"', b\ b\ b^^ pour chercher ensuite quels sont les 3 d'entre eux qui sont sur la surface 1.
On voit aussi que la construction des 3 dixièmes points n*est autre chose que la solution du problème suivant :
Étant donnés 3 trétraèdres inscrits à une surface dn second ordre 1 et ayant une base commune , construire sur un triangle , dont les sommets sont situés sur la surface 1 , 3 tétraèdres inscrits à cette surface et polairement conjugués avec les 3 premiers tétraèdres.
34. Si Ton examine ce qui doit être , dans le plan y Tanalogue de ce problème de V espace f l'enverra évidemment que ^ 5 points déterminant une section conique, Ton devra construire un sixième point par la solution du problème suivant :
Trois des cinq points formant un triangle inscrit, construire sur le côté qui unit les deux autres points et considéré comme base , un triangle inscrit, polairement conjugué avec le premier.
35. Ainsi , désignant par i , 2, 3, 4, 5 les 5 points donnés (Jig. 4) , l'on regardera les 3 points i y 2 , 3 comme formant un triangle inscrit. Les 4 points 1,294,5 détermineront un quadrilatère inscrit, dont les deux diagonales 44 et 25 se croiseront en un point p. Les deux côtés opposés
12 et 45 se couperont en un point q.
15 et 24 - q\
La droite q'q" sera la polaire de la section conique déterminée par les 5 points donnés , et aura pour pôle le point p.
Par les points 3 et p\ je mènerai une droite qui contiendra le sommet du triangle cherché. .
Si je prolonge le côté 23 , il coupera la droite q'q" ^a un point p ; et le côté 13 prolongé coupera la droite </Y' en un point p".
Les trois droites 5p', 4p" et 3p se couperont en un point 6, qui sera le sixième point cherché.
Les deux triangles 123 et 456 seront évidemment polairement conjugués entre eux par la polaire q'q" et son pâle p.
36. Le polyèdre à 12 sommets et inscrit , que j'ai construit précédemment , ne jouit pas, dans t espace j d'une propriété analogue à celle qui existe, dans le plan, pour l'hexagone inscrit, propriété énoncée au commencement de ce^'mémoîre, et trouvée par Pascal.
37. Si l'on examine attentivement le théorème de Pascal , l'on verra qu'il peut être présenté sous un autre point de vue , et énoncé de la manière suivante :
Ëlant donnés une section conique et 3 points pris arbitrairement sur son plan , ces 3 points déterminent un triangle, dont chacun des côtés , prolongé, coupe en général la section conique en deux points.
Les 6 points d'intersection. déterminent, 4 à 4, 3 quadrilatères inscrits (en ayant soin déconsidérer, dans chacune des combinaisons de 4 points, ceux qui appartiennent à deux côtés du triangle), chaque quadrilatère donnant 3 points de concours, Ton aura en tout 9 points de concours, dont 3 seront en ligne droite.
38. Par analogie, le théorème qui devrait être dans l'espace l'analogue de celui que je viens d'énoncer , pour le plan , serait celui-ci :
Étant donnés une surface du second ordre ^ et un tétraèdre arbitrairement situé dans l'espace, chacune des 6 arêtes de ce tétraèdre, étant prolongée, coupera en général la surface en deux points.
Les douze points d'intersection déterminent , 6 à 6, quatre troncs de pyramides triangulaires, inscrits à la surface du second ordre (en ayant soin de considérer, dans chacune des combinaisons de 6 points, ceux qui appartiennent à 3 arêtes du tétraèdre )« Dans chaque tronc pyramidal , les 6 sommets , combinés 3 à 3 , déter-
mineront 8 plans qui se couperont 2 à 2 suivant 4 droites situées dans un plan unique qui sera plan polaire de la surface du second ordre, et aura pour pôle le sommet de la pyramide à laquelle appartient le tronc considéré. Et il existera toujours un plan M , qui coupera chacun des 4 plans polaires , ayant respectivement pour pôles les sommets du tétraèdre, suivant Tune des 4 droites qu'il contient. En sorte que le plan M passera par 4 des 46 droites d'intersection.
39. La démonstration de ce théorème exige l'examen de deux questions préliminaires.
1"* Des relations qui' existent entre les tétraèdres polairement réciproques d'une
surface du second ordre.
2"" Des relations polaires qui lient entre elles 4 sections planes faites arbitrairement dans une surface du second ordre.
Des tétraèdres polairetnent réciproques dtune surface du second ordre.
/40. i^Étant donnée une surface du second ordre 2, je suppose un plan P coupant cette surface suivant une courbe y; je suppose ensuite, dans le plan P, une droite arbitraire D, qui î^o\i polaire de la courbe y, par rapport à un pôle rf; et je sup-
pose encore que le plan P soil plan polaire de la surface I par rapport à un pâle p. L'on sait que les deux droites D etpd seront polaires réciproques de la surface 2. C'est-à-dire que tout cône , ayant son sommet sur la droite D , sera tangent à la surface 2 suivant une courbe dont le plan passera par la droite pd. Et réciproquement, tout cône ayant son sommet sur la droite pd sera langent à la surface 1 suivant une courbe dont le plan passera par la droite D.
Par le point d et dans le plan P je mène une droite arbitraire D', qui coupera la courbe y en deux points df", d"'', et la droite D en un point d'. L'on sait que les deux tangentes à la courbe y, aux points d'" et d"", se couperont en un point d" situé sur la droite D. Je mène la droite dd".
Il est évident que les deux droites dd" et D' sont deux polaires réciproques de la courbe y, chacune d'elles contenant le pôle de l'autre.
Les 4 points d, d'^ d" eip sont les sommets d'un tétraèdre, que je désigne par le nom de tétraèdre polaire de la surface du second ordre 2, parce que chacun de ses sommets est pôle de la surface 2, la face de ce tétraèdre opposée au sommet considéré comme pôlcj étant plan polaire de cette même surface 2.
4i. 2"* Étant donnée une surface du second ordre 1 , je prends dans l'espace 4 points arbitraires, p, p\ p", p'\ formant un tétraèdre que je désigne par T^ Chacun de ces points sera le pôle de la surface 2 par rapport à un plan polaire.
Je désigne par P le plan polaire de 2 ayant p pour pôle.
Les 4 plans P, P', P", P'" se couperont 3 à 3 en 4 points que je désigne par 9i q'f 9"t 9 '9 m^^ seront les sommets d'un tétraèdre que je nomme T'. Les deux tétraèdres T et T' seront dits tétraèdres polairement réciproques de la surface du second ordre 2 , parce que évidemment les sommets de l'un sont respectivement pôles des faces de l'autre et réciproquement.
42. 11 est encore facile dereconnaitre la propriété suivante dans les deux tétraèdres T et T'.
Les 3 arêtes qui se réunissent en un sommet quelconque p du tétraèdre T , sont respectivement les polaires réciproques des 3 arêtes du tétraèdre T', contenus dans le plan P (plan polaire ayant p pour pôle), et déterminant par leui;^s intersections deux à deux , une des faces triangulaires de ce tétraèdre T'.
Et réciproquement les 3 arêtes qui se croisent en un quelconque 9 des sommets du tétraèdre T\ sont respectivement les polaires réciproques .des 3 arêtes du tétraèdre T, qui forment la face triangulaire dont le'plan est plan polaire de la surface 2 ayant le point q pour pôle.
Jf
43. 3"" D'dprèsce qui précède , je forme le tableau suivant : Les sommets du tétraèdre T seront :
p, Tpôle du Tplan polaire P qpi détermine une des faces du tétraèdre T'.
Les plans des faces du tétraèdre T seront :
Q ayant pour pôle le sommet q du tétraèdre T . Q' - 7'
q sera l'intersection des 3 plans : P\ P" P' q' — P, P", P'
p sera l'intersection des 3 plans : Q', Q", Q'
Les sommets tels que p et </, ou p' et ç', etc., seront dits : sommets polairetnent opposés j ou pôles opposés.
Et les faces telles que P et Q ( désignant les faces triangulaires des tétraèdres T et T', par les plans qui les contiennent) , seront dites : faces poUdrement opposées ou plans polaires opposés.
AA. 4" Étant donnés une surface du second ordre 1 , deux tétraèdres T et T' polairemeni réciproques de cette surface , et 4 courbes planes a, 6, y, d, situées sur cette même surface.
Le plan de la courbe a coupant la face P du tétraèdre T' suivant une droite A
Si Ton, suppose que la courbe a est la base d'un cône ayant le point p pour sommet (ce point p étant le pôle de la surface 2 par rapport au plan polaire P) , ce cône coupera la surface 2 suivant une seconde courbe plane a-
L'on sait que les deux courbes a et a! pourront être enveloppées par. un second cône dont je désigne le sommet par r, ce point sera situé sur le plan P et sera le pôle d'un plan polaire de la surface 2 que je désigne par R.
^nt
Les deux plans P el R se couperont suivant la droite A. Opérant de même pour les courbes 6, y, iy Ton aura , pour résultats ceux présentés dans le tableau suivant :
, I situés sur ( G, ayant pour sommet le point p pôle du plan Pcontenant k pointr jdeuzcônesi C, —
Les 4 points r, r\ r", r'" déterminent un tétraèdre que je désigne par t.
Les 4 plans R, R', R", R"' déterminent aussi un tétraèdre que je désigne par t\
Les deux tétraèdres l et l' seront des tétraèdres po/atremmf réciproques de la surface 1.
Les quatre tétraèdres T, T', i et l'seront'liés entre eux parles relations suivantes.
Le tétraèdre î ayant ses sommets situés sur les plans des faces du tétraèdre T', sera inscrite ce tétraèdre.
Et par la même raison , le tétraèdre T sera inscrit dans le tétraèdre i'.
45. Si les plans des 4 courbes a, 6» y, d, passent respectivement par les 4 sommets du tétraèdre T', alors les deux tétraèdres T et T' seront inscrits dans le tétraèdre t'.
En sorte que le plan de chaque face du tétraèdre t! contiendra l'un des sommets soit du tétraèdre T, soit du tétraèdre T'.
Et chaque sommet du tétraèdre t sera sur la droite iatersection des plans de la face du tétraèdre T' et de celle du tétraèdre T, qui ont pour pôles respectifs les sommets de ces mêmes tétraèdres T et T', par lesquels passe la face du tétraèdre i\ ayant pour pôle le sommet considéré et appartenant au tétraèdre i.
