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Des relations polaires qui lient entre elles 4 courbes polaires situées sur une surface

du second ordre.

46. En se rappelant l"" que n droites , situées dans un plan P^ ont par rapporta une surface du second ordre, n polaires réciproques qui se coupent en un point p, pàUAvL plan polaire P, et2* que 3 courbes planes situées sur une surface du second ordre, peuvent, en général, être enveloppées deux à deux par 6 cônes , dont les sommets seront distribués 3 à 3 sur 4 droites situées dans un plan unique , et que le point , intersection des plans des 3 courbes est le pôle du plan qui contient les sommets; il est facile de vérifier Texistenoe des propriétés suivantes :

Si Ton a A courbes planes G', CyC" et C^ tracées sur une surface du second ordre 2, on pourra les unir 2 ù 2 par des surfaces coniques , qui seront, en gé« néral , au nombre de 12, et dont les somnoets seront distribuésS à 3 sur i6 droites.

Les i2 sommets seront 6 à 6 et les 16 droites seront 4 à 4 sur 9 plans.

47. Pour mettre en évidence les résultats énoncés , je -suppose que les 4 courbes puissent être enveloppées 2 à 2 par un cône intérieur et un cône extérieur. La figure (5®) est dès lors composée de la manière suivante :

La notation z\,j par exemple, indique que ce point est le sommet du cône extérieur enveloppant les deux courbes C et C".

La notation J'^,, par exemple, indique que ce point est le sommet du cône intérieur enveloppant les deux courbes G' et G".

Les parties de la figure oii se trouvent les indices ( ', ", ^ ) et ( ", "', ^ ) et ( V', '" ) et (', '", ^) sont sur des plans ayant pour pd/es respectifs les points intersections des plans des groupes de courbes (G', G",G4) et (G", G'", G^) et (G', G", G"') et (G', G'", G*) .

[Chacun de ces plans polaires ayant tourné respectivement autour de la droite ( e'„J'„)et(e"„,J"^,,) et ( e,J',„) , axe commun aux deux cônes intérieur et extérieur, enveloppant deux à deux les courbes (G', G") et (G", G'") et (G', G"') pour se recoucher sur le plan où les sommets sont annotés ( ', '", '" ). ]

48. Parmi les 9 plans (dits plans des sommets), il y en aura en général : 4 qui contiendront chacun 3 sommets extérieurs et 3 intérieurs ;

4 qui contiendront chacun 4 sommets intérieurs et 2 extérieurs; Et 1 qui contiendra tous les sommets extérieurs.