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Quel est le polyèdre inscrii à une mrface du second ordre , qui est dans Tespace C analogue de C hexagone inscrit à une section conique ?

55. Étant donnés une surface du second ordre 2, et un tétraèdre arbitrairement placé dans l'espace par rapport à cette surface > si Ton prolonge les 6 côtés de ce tétraèdre, chacun d'eux rencontrera la surface 2, en général, en deux points; Ton aura, dès lors, 12 points, qui seront les sommets d'un polyèdre inscrit à la surface 2, et ayant 20 faces triangulaires.

Il pourra arriver que le polyèdre inscrit, au lieu d'avoir 20 faces triangulaires, soit terminé par 14 &ces dont 8 seront des triangles et Odes quadrilatères-plans.

50. Tel est le polyèdre qui dans Cespace jouit des propriétés énoncées dans le pldoty pour l'hexagone inscrit , puisque :

Les plans des faces opposées de ce polyèdre se couperont suivant des droites qui seront toutes situées sur un plan unique,

57. Pour démontrer ce théorème , nous nous appuierons sur les propriétés polaires démontrées précédemment, et en même temps nous expliquerons ce que nous entendons par faces opposées ; explication indispensable pour comprepdre l'énoncé du théorème précédent , et qui ne peut être donnée tout d'abord, parce que ce n'est que la j|émonstration elle-même de ce théorème , qui fera voir clairement ce que l'on doit entendre par faces opposées du polyèdre inscrit.

Je désigne par p, p\ p'', p"' les quatre sommets du tétraèdre.

Je suppose que les 3 côtés pp', pp", pp'" qui se croisent au sommet p, étant prolongés, coupent chacun en deux points la surface 2-

Je désigne par n'^ m' les points de rencontre de la surikce 2 par le côté pp'

- n'S m" - - pf

— «"Vm"' — — pp'\ Ces 6 points déterminent un tronc de pyramide triangulaire , inscrit à la surface 2, le sommet de la pyramide étant le point p.

Leplandéterminépar les arêtes pp' et pp" coupe lasurface2suivantunecourbea

pp'elpp'" - 6

- PP"etpp"' - y

Ainsi à h section conique a se trouve inscrit le quadrilatère n\ m\ n" tti!' •

et I in ni

— Il) iR ) n f tw

— y — ft y fil y H y tu •

Je désigne par A le quadrilatère inscrit dans la courbe «

Les côtés opposés du quadrilatère A se couperont au point p, et en un second point que je désigne par a, et les deux diagonales se croisent en un point que je désigne par a!.

Les côtés opposés du quadrilatère B se couperont au point p, et en un second point que je désigne par b , et les deux diagonales se croiseront en un point que je désigne par b'.-

Les côtés opposés du quadrilatère G se couperont au point p, et en un second point que je désigne par 9, et les deux diagonales se croiseront en un point que je désigne par g.

Les deux courbes a et 6 seront enveloppées par deux cônes dont les sommets seront situés sur la droite intersection des deux plans tangents à la surface 2, l'un au point n\ Tautre au point m\

Les deux courbes a et y seront enveloppées par deux cônes dont les sommets seront situés sur la droite intersection des deux plans tangents à la suriace 2, Tun au point n'\ Tautre au point m".

Enfin, les deux courbes 6 et y seront enveloppées par deux cônes dont les sommets seront situés sur la droite intersection des deux plans tangents à la surface 1 y l'un au point n'^ l'autre au point m'".

Et les 6 sommets des cônes enveloppes seront tous situés sur un plan unique , plan polaire de la surface 1 et ayant le point p pour pâh. Je désigne ce plan par P.

58. Les 6 points m\ m", m'", n\ n\ n"\ sommets du iroWt pyramidal, peuvent être unis 3 à 3 , de 8 manières différentes , et donner par conséquent 4 groupes de combinaisons ; ainsi :

qui se coupent suivant une droite \>.t

nt , tu

déterminent un

plan

tu y n

59. Il est évident que la droite jit contient les 3 points a, 6 et 9

/i, — b\ g' et a

p, . — a', g' et b

|st, — • a\ b' et. g.

60. Les 6 points a, b, g, et a', b', g, sont situés dans le plan P ; car la droite aa' est polaire de la courbe a par rapport au pôle p

bb' — 6 — p

6i. Les deux courbes intersections de la surface 2 par les plans M, et N. seront enveloppées par deux cônes dont l'un aura pour sommet le point p. II en sera de même pour les courbes intersections de 1 par les couples de plans

M. et N, M, et N,

'M^ et N^

Ainsi les 8 courbes intersections de la surface 1 par les 8 plans combinant 3 à 3 les 6 sommets du tronc pyramidal , seront 2 à 2 sur 3 cônes dont 4 auront pour sommet commun le point p.

62. On peut mener 8 courbes tangentes à la fois aux 3 courbes a, 6 et y. Mais il est facile de vérifier que parmi les plans de ces 8 courbes tangentes, il n'y en aura que deux qui se couperont suivant Tune des 4 droites fi,, ft,, /x., /x^. Je suppose que ce soit la droite [i, , elle contiendra dès lors 2 des sommets des 6 .cônes enve-loppant 2 à 2 les 3 courbes ccy Seiy.

63. Si l'on répète tout ce qui précède, en examinant les 3 arêtes pp', p'p', p'"p\ qui se croisent au point p' (désignant par 3 la courbe intersection de la surface 1 * par le plan p'pY')^ parmi les 8 plans déterminés par les combinaisons 3 à 3 des 6 points de rencontre de la surface 1 par les 3 arêtes , Ton aura deux plans qui passeront par l'une des 4 droites qui contiennent 3 à 3 les 6 sommets des cônes enveloppant 2 à 2 les 3 courbes a, 6 et d.

Même chose aura Keu en considérant les deux sommets p" et p'" du tétraèdre arbitrairement situé dans l'espace.

641 On peut supposer que le sommet p du tétraèdre soit intérieur ou extérieur par rapport à la surface 2.

Le point p sera dit intérieur , si les 3 arêtes qui s'y croisent coupent la surface 2 y chacune en deux points placés l'un à droite et l'autre h, gauche du point p.

Et le point p sera dit extérieur , si chacune des arêtes coupe la sur&ce en deux points placés d'un même côté par rapport au point p. (Dans ce qui précède , j'ai supposé que le point p était extérieur.)

65. Que le point p soiCintérieur ou extérieur par rapport à la surface 2 , il est facile de se convaincre que la droite jli, , que nous avons supposée être celle qui contenait 3 des 6 sommets enveloppant 2 à 2 les 3 courbes a , € et y , contient précisément les 3 sommets que Ton nomme extérieurs, lorsque l'on suppose que les

3 courbes a, 6 et y, n'ont 2 à 2 aucun point commun.

11 suffit de construire la figure , et de se rappeler les propriétés polaires du quadrilatère inscrit à une section conique, et celles du triangle polaire d'une courbe du second degré, pour voir sur-le-champ que le fait énoncé est vrai.