On peut conclure de tout ce qui précède
Que si Ton a un tétraèdre arbitrairement situé dans l'espace par rapport à une surface du second ordre 2 , les 6 arêtes prolongées étant supposées couper chacune la surface en deux points, donneront 12 points situés sur la surface 2, qui, unis3 à 3, détermineront 8 faces triangulaires qui se couperont 2 à 2 suivant 4 droites qui seront toutes situées sur un plan unique, qui sera celui qui contient les 6 sommets des cônes extérieurs enveloppant 2 à 2 les 4 courbes , sections de la surface du second ordre, par les plans des 4 faces du tétraèdre. Et nous nommerons /aces apposées, dans le polyèdre qui a pour sommets les 12 points précédents, deux faces dont les plans coupent la surface 1 suivant deux courbes qui seront enveloppées par deux cônes dont l'un aura son sommet en l'un des 4 sommets du tétraèdre.
Dans ce polyèdre , il existe encore d'autres faces que les 8 que nous avons déterminées ; ces faces restantes donneront encore des couples de faces apposées , mais ces nouvelles faces apposées ne satisferont pas à la condition précédemment trouvée ; seulement leurs plans se couperont sur le plan unique qui contient les
4 droites des sommets des 6 cônes extérieurs.
67. En opérant sur un cas particulier, je ferai mieux concevoir qu'il existe en effet, dans le polyèdre précédent, deux espèces de faces apposées : V celles dont les plans se coupent sur le plan qui contient les sommets des cônes extérieurs, et dont les plans coupent la surface du second ordre suivant des courbes enveloppées par un cône ayant pour sommet l'un des 4 sommets du tétraèdre ; et 2* celles dont les plans se coupent seulement sur le plan qui contient les sommets des cônes extérieurs.
Je suppose que la surface du second ordre soit un ellipsoïde , et que les 4 sommets du tétraèdre soient situés dans l'intérieur de cette surfece (fig. 6 ).
Soient p, p\ p", p'" les sommets du tétraèdre.
Les 8 triangles trouvés précédemment et donnant Aes faces apposées du premier genre seront :
AA'A"— BB'B"; AgY-Bgg'i
An K A ¥>// / ff rr — ^99'
68 . Examinons les groupes de points tels que MM'g^y et cherchons à déterminer de quelle manière ils doivent être liés entre eux pour achever le polyèdre inscrit.
Ces 4 points ne peuvent être dans un même plan qu'autant que le plan de la face p p V" ^^ tétraèdre passera par la droite » intersection des plans des triangles opposés AA'A" et BB'B", et que les côtés opposés de l'hexagone gg*g*g"*g^g^ se couperont sur cette droite.
Et lorsque cette condition sera satisfaite pour ce groupe de points^ les autres groupes analogues de 4 points détermineront aussi des quadrilatères-plans.
Mais, en général^ les groupes de 4 points, tels que k'k^gg^y déterminent des quadrilatères-gauches.
Ainsi j en général, nous pourrons former avec les 4 points k'k"gg^ deux triangles ayant pour côté commun, ou la droite A'^^ ou la droite A"^. Dans le cas où le côté commun est A^, les 4 points B", g\ g\ B', qui formeront le groupe opposé, détermineront aussi deux triangles qui auront pour côté commun la droite ^"B', parce qu'alors les plans des triangles A'A'y et B'B'y, k'gg^ et Byy se couperont sur le plan M contenant les sommets des cônes extérieurs, puisque les côtés prolongés A" A' et B"B', A"^* et B'9'' se coupent sur ce plan.
Si le côté commun était ÈL*g^ alors les 4 points B", g\ g'" y B' donneront deux triangles ayant pour base commune la droite g'"l^".
69. En faisant pour les 5 autres groupes la même remarque, Ton voit que Ion pourra composer le polyèdre inscrit, d'abord des 8 faces triangulaires trouvées précédemment et qui seront invariables, et de 12 autres faces triangulaires qui seront deux à deux opposées, et dont le tableau sera :
ou
Mg^ opposé de
B'jrV"
A"Ay -
kg' g" opposé de
AAy
BBy
Ap'V opposé de
A"Aj^ -
ou
^ W opposé de
À.'g'g"' opposé de
AAy
BBy
A."g"Y opposé de
BV
OU
70. On pourra donc varier le polyèdre inscrit, suivant le choix que l'on fera parmi les triangles opposés, dans le tableau précédent, pour le fermer, pour l'achever.
Les triangles précédents détermineront des faces opposées du second genre.
71. J'ai supposé dans ce qui précède que les sommets du tétraèdre étaient inté^
rieurs; l'on obtiendrait des résultats analogues, s^ils étaient tous extérieurs ou partie Intérieurs et partie extérieurs.
C'est- à-dira que le polyèdre inscrit aura toujours 12 sommets, chaque arête perçant la surface en deux points.
72. Nous pouvons supposer, chaque arête perçant la surfaceen deux points, que l'un des sommets du tétraèdre, ou deux, ou trois, ou tous les quatre, soient situés sur la surface du second ordre :
i*" L'un des sommets étant sur la surface (le sommet p par exemple), le polyèdre inscrit aura 10 sommets, et sera terminé par 10 faces -triangles et 3 faces-quadrilatères-plans {fig. 7) , ou 10 faces-triangles et 3 faces-quadrilatères-gauches.
Il est évident que si , iMe plan tangent à la surface au sommet p ; 2"" le plan delà base pVV du tétraèdre, et 3"" le plan du triangle déterminé par les 3 points intersections de la surface et des 3 arêtes du tétraèdre qui se croisent au point p ; si ces 3 plans , dis-jé , se coupent suivant une même droite, les 3 quadrilatères 6' W6"', yy^ééj dab"b' seront plans. Mais cette condition peut n'être pas remplie , et dès lors ces 3 quadrilatères sont gauches.
Ce polyèdre nous présente un cas remarquable. La face b'b"b'" a pour opposée le point p. Lorsque le pointp n'était pas sur la surface du second ordre, les 3 arêtes qui s'y croisent coupaient cette surface suivant 3 points âad'\ dont le plan coupait celui de la face b'b"b'"y suivant une droite située sur le plan M. Il est évident que le plan da'ôf^ lorsque le point p arrive sur la surface et que par conséquent les 3 points a'd'a!" se confonâent en un seul point p, ne devient autre que le plan tangent à la surface du second ordre , au point p. Par conséquent, le plan du triangle b'b"b"' coupe le plan tangent au point p , suivant une droite située sur le plan M*
2"* Si l'on suppose que le tétraèdre a deux sommets p et p' situés sur la surface du second ordre {fig. 8).
On obtiendra un polyèdre ayaïit 8 sommets et terminé par 10 fistces-triangles , et un quadrilatère-plan ou un quadrilatère-gauche ad'bb".
Le quadrilatère od^W^ sera plan^ si les 3 arêtes du polyèdre W\ pp, ad'f prolongées , se coupent en un point unique.
9" Si Ton suppose que le tétraèdre a 3 sommets p, p', p'^ situés sur la surface du second ordre, alors on obtiendra un tronc de pyramide triangulaire , si le 4' sommet p"' est extérieur^ par rapporta la surface, et un octaèd^, si ce A' sommet est intérieur.
Â"" Enfin, si l'on suppose que les 4 sommets du tétraèdre sont situés sur la surfiaice du second ordre, l'on aura le tétraèdre inscrit; et Ton déduit de ce qui précède la propriété suivante , qui est remarquable.
Le plan tangeot & la surface du second ordre en Tun des sommets du tétraèdre inscrit, coupe le plan de la face opposée, suivant une droite située sur le plan M qui contient les 6 sommets des cônes extérieurs enveloppant 2 à 2 les 4 courbes, sections faites dans la surface par les plans des 4 faces du tétraèdre inscrit.
Par conséquent , les 4 droites intersections des 4 plans tangents aux 4 sommets du tétraèdre inscrit, avec les plans des 4 faces respectivement opposées, sont situés sur un plan unique.
