S VIII
Des propriétés polaires dont jouissent les polygones inscrits à une section conique,
73. Dans l'examen des propriétés polaires des polyèdres précédents, je n'ai point employé les propriétés connues des polygones inscrits à une section conique, et ayant plus de 4 sommets.
Je ne me suis appuyé que sur les propriétés polaires du quadrilatère inscrit.
Je puis donc descendre de Vespace sur le p&m, et déduire des propriétés polaires des polyèdres examinés précédemment , celles des polygones analogues et inscrits à une section conique.
74. Le théorème qui sur le plan sera Tanalogue de celui que je viens de démontrer dans f espace , par rapport au tétraèdre arbitraire , sera évidemment le suivant :
. Étant donné sur le plan d'une section conique, un triangle arbitrairement situé, ses côtés prolongés couperont en général la courbe en 6 points.
€es 6 points formeront 3 grouppes de 4 points chaque , et <kns chaque groupe les 4 points seront unis 2 à 2 par 6 droites, se coupant 2 à 2 en 3 points.
On aura par conséquent, pour les 3 groupes, 18 droites se coupant 2 à 2 en
9 points, dont 3 seront les sommets du triangle arbitraire, et les 6 autres seront distribuées 2 à 2 sur les polaires de la section conique, ayant pour pôles respectifs les 3 sommets du triangle arbitraire.
l"* Si aucun des sommets do triangle arbitraire n'est situé sur la section conique, l'on aura l'hexagone inscrit^ pour polygone déterminé par les 6 points intersections de la courbe et des 3 côtés du triangle arbitraire.
L'hexagone inscrit sera dans le plan l'analogue du polyèdre à 12 sommets.
2"* Si l'un des sommets du triangle est sur la section conique, le polygone que l'on obtiendra sera le pentagone qui dans le plan sera l'analogue du polyèdre à
10 sommets.
S'^Sideux des sommets du triaDgle sont situés sur la section conique, le polygone obtenu sera le quadrilatère qui dans le plan sera l'analogue du tronc de pyramide
triangulaire ou de l'octaèdre , ou plus simplement , du polyèdre à 6 sommets.
4" Si les 3 sommets du triangle sont situés sur la section conique, Ton a le triangle inscrit, qui sera dans le plan, l'analogue du tétraèdre inscrit.
75. J'ai montré précédemment que le polyèdre à 12 sommets pouvait être de deux espèces, suivant que les quadrilatères tels que MM'gg* {fig. 6) étaient gauches ou plans.
Il existera aussi deux espèces d'hexagones inscrits, qui seront les analogues de ces deux espèces de polyèdres.
Supposant que pp'p" est le triangle arbitraire , si les côtés opposés b^b"' et bb' se coupent sur pp' (supposé prolongé) , au point m {fig. 9) ; si en même temps les côtés opposés b'^b"' et bb* se coupent sur p'p" (prolongé) en m'; alors les côtés opposés b^b et b'b" se couperont sur pp" (prolongé) en un point m\ et tel que les 3 points m, m et m" seront en ligne droite.
Ce polygone sera 4'analogue du polyèdre à 12 sommets dans lequel les quadrilatères tels que h!A''gg* sont plans.
Mais si les côtés opposés b^b'" et bb' ne se coupent pas sur pp' prolongé, alors l'hexagone sera l'analogue du polyèdre à 12 sommets, dans lequel les quadrilatères tels que k!h!'gg* sont gauches.
76. Des propriélésdu polyèdre à 10 sommets, l'on déduit une propriété remarquable du pentagone inscrit {fig. 7), et qui fournit un procédé très-simple pour construire une tangente en un point cf , d'une section conique donnée p^r json tracé.
Étant donnés 5 points arbitraires p, 6, b\ b'\ b"\ j'unis p et 6, p et b\ 6" et<6'", par des droites : les deux droites
b*'b'" et p6 se coupent en p' 0 fr et p6 — p
Je regarde pp'p'' comme le triangle arbitraire; dès lors
b'b" et pb"* prolongés se couperont en w! Afr"'etp6" — m
La droite mw! coupera bb' prolongé en m'^
La droite pw!' sera tangente au point p , à la section conique déterminée par les 5 points donnés {*).
(*) Ban; le poljèclTe à 10 sommets , |^ quadrilatères tels ({ue àa^b'b" ( fig. 7 ) pouTaient être plaas on gauches, un. peut ainsi aroir deux espèees de pentagones qui seront les analogues des deux espèces de polyèdres à 10 sommets. Si la droite h''b'" prolongée passe par le point m", le pentagone sera Tanalogue du polyèdre à 10 sommets dans lequel les quadrilatères tels que a^a^t'h" sont plans. Si la droite 6''6"' prolongée ne passe pas par Iç point m", alors le pentagone sera Tanalogue du polyèdre dans Jle^ quel les quadrilatères tels'que a'a"6'd'' sont gaudies.
77. Des propriétés du tétraèdre inscrit, Ton déduit aussi la propriété suivante pour le triangle inscrit {fig. iA ).
Les trois tangentes aux 3 sommets du triangle inscrit à une section conique, coupent les côtés opposés prolongés en 3 points qui sont en ligne droite (^).
S ÏX.
Étant donnés 9 plam , dont 3 arbitrhïretnent choisis se coupent en un point par lequel ne passe aucun des 6 autres plans , construire un dixième plan tangent à la surface du second degré , déterminée par la condition iêtre tangente à la fois aux 9 plans donnés.
78. Ce problème est Tinverse, polairement parlant., de celui où Ton demandait àla construction d'un dixième point de la surface du second ordre, assujettie à passer par 9 points donnés.
Je désigne par 2 la surface du second ordre, tangente aux neuf plans donnés. .Je désigne par i.2.3 et i'.2'.3'. et a\ d\ a"\ les 9 points de contact des 9 plans tangents.
Je désigne par T' le plan tangent à 2 au point 1
— etc. — — etc.
Les 3 plans Via\ 23a'^ 13a''^ se coupent en un point désigné par g. Le plan Yîd coupera la surface 2 suivant une courbe a
Le cône tangent à la surface 2 suivant la courbe a aura pour sommet un point h
Le point h sera pôle de 2 par rapport au plan polaire 12a'
On sait que les 3 points A , A' et h" détermineront un plan V qui sera plan polaire de la surface 2 par rapport au pôle g. Les 3 plans tangents T' , T% T*' se couperont au point h — T', T% T« — h'
— ^■^■^ ■! ■" ■' ■ ■ wm^^^mm i ■ i. xm^m^Êtm^ l— >— ^^^»»^— — i— — — IM^^^
(*) Nous derons faire remarquer que les propriétés polaires dont jouit Thexagone inscrit doirent tou> •nrs faire considérer ce polygone comme étant sur le ptan Fanalogue du seul polyèdre à 12 sommets et complètement polaire , ou en d'autres termes, ayant des faces qnad?ilatères-plans. Il en est de même du pentagone inscrit.
Aiofii , au moyen des 6 plans Uogents T', T', T^ T*^, T*", T'", l'on «iéterminera le plan V, pUm polaire de la surface 2.
Les 3 plans 12a", 23a'^, ida' se coupent en un point 9".
Par conséquent, en suivant la marche précédente, nous aurons :
Les 3 plans tangents T, T*, T*" se coupant en un point k
et les 3 points ky k\ k" détermineront un plan V", plan polaire de la surface 2; par rapport au pôle g". Les 3 plans 12a"^ 23a', ÎSa" se couperont en un point g". On aura donc : Les 3 plans T', T% T"* ' se coupant en un point t
et les 3 points i, t', t" détermineront un plan V", plan poUàre de la surface 2 par rapport au pôle g".
Les 3 plans V, V, V" se couperont en un point'f , qui sera pôle de la syrface 2 par rapport au plan déterminé par les 3 points g\ g\ g*\ et que nous avons précédemment désigné par Q.
Lès 3 plans l'sy, M2!g\ 2'3y" se coupent en un point y.
Leplan l'2yestp/anpo/éitredela surface 2par rapporta unpd/€ qui doit se trouver sur le plan polaire de 1 ayant le point 9' pour pôle ; il sera situé ainsi sur le plan V.
Ce pôle doit être le sommet d'un cône tangent à 1 suivant la courbe de section donnée par le plan i'2y; par conséquent, les deux plans tangents T*' et T*' se couperont suivant une droite qui percera le plan Y' au point cherché.
Je désigne ce point par n.
Le pôle du plan i*Z*g" sera Tintersection du plan V" par la droite intersection des deux plans T'' et T^'.
Je désigne ce point par n'.
Le p^e du plan ^'^g''* sera l'intersection du plan V" par la droite intersection des deux plans T*' et T*'.
Je désigne ce point par n'.
Les 3 points n\ n'\ n'" détermineront un plan T^', qui sera plan polaire de la surface 1 par rapport au pôle b\
Si le pointa' est sur la surface 2, le plan T^' sera un plan tangent de cette surface^.
Les 3 plans 2'3y, l'2y', l'3y" se coupent en un point 6".
Isera la ren- ) I par la droite intor- ) t <. • ^ * • J
contre du W \ secUon des deax T"' et r'^l^* ^f/S!! 1 phin S 1 pla» «angeiHa \ \ ^ i»"**' par \
r^Y — y" — r'etr' — m'
l'3^'" V'" — r'etT^' — m'
Les trois points m, m'j m" détermineni un plan T^', ptot Tj^oUAve d« là surface!, et ayant le point b" pour pste.
Nous aurons par la même raiâon :
{p^/edttplan l'Sy, intersection du plan V parladi*oite intersection des deux plans T" et T^'
— — T-'etT*'
— - T'etT*'
— — T" et T**
— — T' et 'P
— — T"ctT^
— — T' et T»'
— — T'ctT^
— -- T" et T"
— — T' et T»' -, T" et T*'
— — T" et T3'
pUm pohirt ayant b'" pour pôle,
79. Mais comment reconnaître, parmi les 6 plans T*', T*', T* ', i*!, T**, T*\ les 3qui seront plans tangents de la surface 2?
Les 3 plans tangents seront ceux qui se couperont en un point situé sur la droite passant par le point q et celui où se croisent les 3 plans T^', T''", T"*'" .
Car Vùn se rappelle que les 3 points b\ b", b'" étant supposée sur la surface 2, les deux courbes de section ftiites dans la surface 1 par les deux plans vl^'e!*' e^ b'b"b'^' doivent être enveloppées par deux cônes dont les. sommets étaient pour Tun le point ç, pôle du plan polaire Q , et l'autre situé sur ce plan polaire Q.
Et Ton sait que si Ton a deux courbes planes situées sur une surface du second ordre, elles sont les courbes de contact de deux cônes tangents à la surface, tels que leurs sommets sont situés sur la droite qui contient les. deux sommets des cônes enveloppant les deux courbes planes.
80. Dans le problème où il s'agissait de trouver le iO* point d'une surface du seeond ordre £, l'on déterminait le plan Q, plam polaire de 1 par rapport à làupâle q , pôle que l'on ne pouvait déterminer puisque la surface 2 est iééale dans ces sortes de questions.
rig"
et
vsy
l'sy"
yw
et
l'ay
et
rsg»
rvg"
Les 3 points / ,
r déterminent un plan T^"'
,ai
El dans le problème où il s'agit de trouver le 10" plan tangent , Ton détermine le point 9 pôle d'un pUm polaire Q de la surfaee 2, plan polaire que l'on ne peut déterminer , puisque la surface est encore idéale.
Ainsi» polai rement parlant, ces deux problèmes sont inverses ou réciproques Tun de l'autr'e.
SX.
Étant données 5 tangentes d'une section conique , construire une 6* tangente par une méthode qui sait dans le plan Canalogue de celle employée dans Tespace pour la construction d'un sixième plan tangent.
84. Je suppose (fig. 12) que les cinq droites ndy dm^ abj ac, bc sont cinq tangentes d'une section conique.
11 faudra construire la sixième tangente nm, de. telle manière que le triangle ndm soit polairement conjugué avec le triangle abc.
On obtiendra évidemment ce résultat par la construction suivante. Je joindrai les points d et c par une droite , ainsi-que les points eei f. Les deux droites de et e/* se couperont en un point p, qui sera le pôle qui devra conjuguer entre eux les deux triangles circonscrits à la section conique.
Puis je mènerai la droite gp ooupant ac en q
— bp — i6i en n
— ap — dm en m
— kp — o6 en r.
Les quatre points n^q^r et m seront en ligne droite, et cette droite sera la sixième tangente demandée.
