PI .»«."^' — W P

— ppp

— PPP , Le plan P coupera le plan p'p"p"' suivant une droite A

P' - pp"p"' - A'

P" — pp'p'" — A"

P'" pp'p" — A'"

80. Si les À droites A, A', k'\ A"', sont dans un plan unique > alors le télraédre inscrit jouira de la propriété polaire , savoir ()ue lea faces polairement opposées se coupent sur un plan unique, ce plan étant oeiui qui contient les 6 sommets des cônes extérieurs, enveloppant deux à deux les A sections fiiitesdans la surface 2 par les plans des A faces du tétraèdre-noyau.

Et comme les 8 courbes de sections faites dans la surface 2 par les faces de l'angle trièdre ayant son sommet en p, par exemple, sont enveloppées deux à deux par 6 cônes dont les sommets sont situés sur le plan P, il iaudra, pour que la propriété polaire subsiste, que les droites A, A', A", A'", contiennent chacune 3 des 6 sommets des cônes extérieurs enveloppant 2 à 2 les 4 sections faites dans la surface 1 par les laces du tétraèdre inscrit.

Or cela n'a pas toujours lieu. Ainsi un tétraèdre inscrit ne sera pas toujours polaire p^iV rapport â la surface du second d^ré qui le circonscrit.

Cela posé :

90. Étant donné un triangle abc inscrit à une surface du second ordre, je dis qu'il sera toujours possible de construire deux tétraèdres inscrits , ayant ii6(? pour base commune, et tels quMls jouissent Tun et l'autre de la propriété polaire, fit en effet :

Je suppose que le plan du triangle cr^c coupe la surface du second ordre 2 suivant une courbe tp » je mène au point e une tangente à. la courbe op que je dé-^ signe par f ; je désigne aussi par l'fo tangente à la courbe 9 au pointa.

La langenle f coupera le côté ab prolongé en un point m — I* — bc — n.

Par la droite fti» je mène deux plans tangents i la surface 2; les deux points de contact d et d! seront les sommets des deux tétraèdres demandés.

Si je nomme a la courbe de section de la surface 2 par le plan dac et a celle donnée par le plan dbc , les courbes a et a seront enveloppées par un cône qui aura son sommet en m; car je puis regarder le point m comme le sommet d'un cône ayant la courbe a, pour base, et il est évident que ce cône coupera la surface 2 suivant une seconde courbe plane qui passera par les 3 points c et 6 et df et qui sera tangente en d k la ligne md, courbe qui ne peut être autre

que a.

De même , si je désigne par a" la section de la surface 2 par le plan dab , les deux courbes a et a" seront enveloppées par un cône ayant son sommet en n.

Maintenant les 3 courbes a, a , a" pouvant être enveloppées 2 à 2 par six cônes dont les sommets sont 3 à 3sur 4 droites, il s'ensuit que les deux courbes a et a" pourront être enveloppées par un cône ayant son sommet situé sur la droite mn.

Et d'après ce qoi précède, Ton voit que ce sommet sera em o, intersection de la tangente i^ à la courbe ç au point fr , et do côté ae prolongé.

91 . Ceci démontre déjà que le triangle inscri t à une section conique jouit 4c la propriété polaire , savoir : que ses côtés polairement opposés étant proton^ , se coupent en 3 points qui sont en ligne droite.

92. Si au point a je mène un plan langent à la surface 2, il coopéra le plan tipposé dbc suivant une droite G passant par le point tt; et nous pourrons , pour le triangle d6c, raisonner comme pour le triangle abc; ainsi les 3 courbes a'V <3c et tf seront enveloppées par 6eônes dont 2 aurcMSt leurs sommets sur- la droite G. Menant un plan tangent à la surface S, au point 6, il coupera le plan opposé doc suivant une droite H passant par le point o. Et les 3 courbes ^", « et ^ seront enveloppées par 6 cônes dont 3 auront leurs sommets sur la droite H.

On obtiendrait des résultats analogues pour le plan tangent à la sur£ice 1 au point c, ainsi ce plan tangent coupera le plan dab suivant une droite K contenant 3 des sommets des 6 cônes enveloppant 2 ^ 2 les 3 courbes »f a et <; .

Les 4 droites mn et G, H , K^ contepant chacune 3 des-6 sommets des cônes extérieurs enveloppant 2 à 2 les 4 courbes a, <x\ a" et t^y seront dans un plan unique. Donc^ etc.

93. Ce que nous venons de dire pour le tétraèdre abçd aurait lieu évidemment pour le tétraèdre abcd\ donc, etc.

94. Examinons maintenant le. cas où le létraèdrcf-noyau aura son sommet p situé sur la surface du second ordre 2.

Le polyèdre que l'on obtiendra aura iO sommets , en supposant que les arêtes du tétraèdre-noyau pp'p'p"^ perçut chacune la surface 2 en deux points.

D'après ce que j'ai dit dans le cas |[énéral , Ton voit que les faces polairement

opposées 9 par rapport aux 3 angles trièdres dont les sommets sont respectivement

en p', p^', p"\ se couperont suivant des droites situées sur un plan unique, qui

contiendra les sommets des cônes extérieurs enveloppant deux à deux les courbes

sections de la surface 2 par les faces du tetraèdre-noyau; mais Ton doit remarquer

que si Ton désigne par

(X la section faite par la face pp'p" dans la surface 1

J .Hf

« — ppp

a — ppp

6 1 Iftf

Les cônes extérieurs que l'on doit considérer seront ceux qui envdopperont les courbes a et ê, « et €, «' et S.

95. Si eneuite Ton examine les cônes extérieurs enveloppant deui^ à deux les 3 courbes a, a , a", Ton voit de suite, en vertu de ce que j'ai dit sur le tétraèdre

inscrit, que le plan tangent à la surface 1 au point p , ne coupera pas toujours le plan R (déterminé par les 3 points intersections de 2 par les arêtes pp' et pp^' et pp"') suivant une droite contenant les 3 sommets des cônes extérieurs enveloppant deux à deux les trois courbes a, a\ a".

Dans ce cas , nous dirons que le polyèdre, inscrit et ayant 10 sommets, ne sera pas complètement polaire.

96. Mais si au contraire le plan tangent à la surface 2 au point p coupe le plan R, suivant une droite située sur le plan qui contient tous les sommets des cônes extérieurs enveloppant deux à deux les 4 sections a, a^ a" et 6, nous dirons que le polyèdre inscrit et ayant 10 sommets, est complètement polaire.

97. Lorsque le polyèdre est incomplètement polaire, il a toujours 3 faces quadrilatères-gauches; si le plan est complètement polaire, il a 3 faces quadrilatères-plans.

98. Au reste, le polyèdre étant incomplètement ou complètement polaire , le plan pV p'" pourra passer ou ne pas passer par la droite intersection du plan R et du plan tangent à la surface 2 au point p.

99. Mais quoique le polyèdre, inscrit et à 10 sommets, provenant d'un tétraédre-noyau , ne jouisse pas toujours de la propriété polaire^ cependant un pentagone inscrit à une section conique jouira toujours de cette propriété.

Et en effet :

Désignant par 1, 2, 3, 4, 5 les 5 sommets d'un pentagone inscrit à une section conique (fig^ 13 ), je puis joindre ces points deux à deux par des cordes 14, 13, 25, et ces cordes détermineront par leurs intersections un triangle (1 , m, n), ayant un de ses sommets sur la section conique.

Je suppose que ce pentagone-plan soit inscrit dans une surface du second ordre 2; en vertu de ce que j'ai dit sur le tétraèdre inscrit, il sera toujours possible de construire sur le triangle 143, un tétraèdre inscrit à la surface 2, et tel que ( en désignant par 8 son 4"" sommet ), les 3 sections faites dans 2, par les 3 faces de l'angle trièdre dont le sommet est au point 1 , soient enveloppées deux à deux par 3 cônes dont les sommets seront situés sur la droite intersection du plan 438, et dû plan tangent à la surface 2 au point 1.

Par la droite 25, faisant passer un plan arbitraire P coupant l'arête 18 en un point p, Ton aura un tétraèdre-noyau (1, p, m, n) donnant un polyèdre inscrit à 10 sommets, lequel sera complètement polaire; par conséquent, le pentagone inscrit jouira toujours de la propriété polaire suivante : si Ton détermine les points de rencontre des cordes 12 et 53, 12 et 54, 15 et 23, 15 et 24, 2 de ces 4 points seront en ligne droite ayec le point de concours, de la tangente menée au j[)oint I ^ la section conique et du côté 34 prolongé. '

100. Si Ton suppose que le létraèdre-noyau a 2 soramels p et p' situés sur la surface 2, l'on pourra obtenir deux espèces de polyèdres inscrits ayant 8 sontmets.

L'un sera incomplètement-polaire et aura pour une de ses faces un quadrilatère-gauche.

L'autre sera compléiement-palaire et aura pour une de ses faces un quadrilatère-plan.

Et dans ce dernier cas^ Farèle pp' passera par le point où deux côtés opposés du quadrilatère-plan se coupent; et ce point sera sur le plan qui est le lieu des sommets des cônes extérieurs enveloppant 2 à 2 les 4 sections faites dans la sur* face 2 par les A faces du tétraèdre-noyau. L'on pourra aussi s'assurer que l'arête py^ du tétraèdre-noyau étant prolongée , ira couper le plan, lieu des sommets des cônes extérieurs, au point où les deux autres côtés du quadrilatère-plan se coupent.

iOl. La discussion des deux espèces de polyèdres inscrits à 8 sommets sera facile, en se rappelant ce que nous avons démontré devoir arriver ^Jorsque l'une des deux faces polairement opposées est un plan tangent à la surface 2.

102. Si Ton suppose que le tétraèdre-noyau a 3 sommets situés sur Fa surface 2» alors on aura, ou un tronc de pyramide triangulaire , si le 4* sommet est extérieur par rapport à la surface 2, ou un octaèdre dont les 3 diagonales se croisent en un point, si le 4"" sommet est intérieur par rapporta la surface 2.

103. Dans le cas de l'octaèdre, la propriété polaire subsiste toujours, c'est-à-dire que les faces polairement opposées se coupent sur un plan unique. Mais dans le cas du tronc de pyramide triangulaire, Ton doit faire une remarque , savoir : les deux faces triangulaires sont polairement opposées, mais chacune des faces quadrilatère-plan, a pour face polairement opposée le plan passant par l'àrète opposée et par la tangente à la section a faite dans la surface2 par Tune des faces triangulaires, cette tangente passant par le point où l'arête opposée rencontre la courbe a.

104. Or, il n'arrivera pas toujours que la droite intersection des deux faces triangulaires sera celle qui est* le lieu des points de concours des tangentes aux sommets de la face triangulaire inscrite dans la courbe a , avec les côtés de cette face. En sorte qu'un tronc de pyramide triangulaire inscrit dans une surface du second ordre 2, n'est pas toujours complètement-polaire par rapport à cette surface 2.

105. Mais comme par 6 points situés dans l'espace l'on peut toujours faire passer une infinité de surfaces du second ordre, et que l'on peut toujours construire une section conique qui passe par un point et qui soit tangente à deux droites

et à chacune d'elles en un point désigné, Ton voit que Ton pourra toujours , étant donné un tronc de pyramide triangulaire , conatruire une surface du second ordre 2' telle que le tronc de pyramide soit complétement-polairë par rappbrt à cette surface 2'.

106. Il en sera de môme par rapport à un tétraèdre inscrit à une surface du second ordre, c'est-à-dire qu'il sera toujours possible de construire une surface du second ordre If y telle que le tétraèdre inscrit soit complélement-polaire par rapport à elle.

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