RESUME

La théorie de rosculation des courbes de tous les degrés a été établie par l'analyse infinitésimale ; et les diverses constructions géométriques du rayon du cercle osculateur ont toujours été déduites des résultats fi3urnis par Tanalyse.

Dans ces derniers temps , M. Plucher a établi la théorie de l'osculation des courbes du deuxième degré , en se servant de Tanalyse de Descartes. Mais jusqu'à présent on n'avait point songé à établir cette théorie en faisant usage de la géométrie descriptive.

Cependant , si l'on remarque que la géométrie s'occupe de deux grandes classes de problèmes : l"" ceux de relations de position ; et T ceux de relations métriques; et que la solution des premiers^ en général, s'obtient par les méthodes graphiques dont l'ensemble forme une science qui a reçu le nom de géométrie descriptive^ et que la solution des ^conds, en général, s'obtient par les méthodes analytiques^ soit que ces méthodes appartiennent à l'analyse de Descartes ou à

{*) Extrait du BnUetin de la Société philoinati<{ne , séance du 5 mai 1B38.

l'analyse infinitésimale , on concevra sans peine que la tJiéorie de rosculaiion des courbes du deuxième degré devait très^probablement pouvoir être établie , sans difficulté réelle, par la méthode des projections, puisque les divers pr(^lèmes que Ton se propose, dans ce cas, ne sont évidemment que des problèmes de relations de position. En effet, dans ces sortes de problèmes, Ton ne cherche pas autre chose que les relations de position que doivent avoir entre elles deux courbes du deuxième degré , pour que l'osculation du deuxième ou du troisième ordre existe au point par .lequel elles sont en contact.

Je suis parvenu à la solution du problème de Toscuiatiod des sections coniques, en cherchant d* abord quelles relations de position et de forme devaient exister entre deux cônes du deuxième degré, ayant même sommet et une génératrice de contact, pour que tout le long de cette génératrice les deux surfaces eussent une osculation du deuxième ou du troisième ordre.

En introduisant dans la géométrie descriptive les idées des infiniment petits ; en se rappelant la méthode qui sert à reconnaître si la courbe d'intersection des deux cônes aura des branches infinies paraboliques ou hyperboliques ; en s'appuyant sur ce théorème, savoir : que-deux sections coniques ne peuvent se couper, au pluS) qu'en quatre points, et. que des lors deux sections ooniques ne peuvent avoir, au plus , que quatre points successifs et infiniment voisins , communs ; on démontre rigoureusement, sans avoir besoin de recourir à V analyse :

i* Que si sur le plan horizontal on a deux paraboles P et P' égales et ayant même axe infini, et tournées dans le même sens, deux cônes, ayant même sommet, et pour base, le premier la courbe P, et le deuxième la courbe P', seront en contact suivant une génératrice G parallèle au plan horizontal , et que ces deux cônes auront tout le long de la droite G un contact du troisième ordre ;

2" Que si sur le plan horizontal on a deux paraboles égales P et P', tournées dans le même sens et ayant leurs axes infinis parallèles , deux cônes , ayant même sommet, et, pour base, le premier la courbe P, et le deuxième la courbe P', seront en contact suivant une génératrice G parallèle au plan horizontal, et que ces deux cônes auront tout le long de la droite G un contact du deuxième ordre.

Il est évident que si Ton coupe les deux cônes par un plan, on obtiendra deux sections coniques, ayant dans le premier cas une osculation du troisième ordre, et dans le deuxième cas une osculation du deuxième ordre. Le problème du cercle osculateur sera donc résolu , si le premier cône peut être coupé par un plan R donné de direction, suivant une section conique donnée E, et si le deuxième cône peut être coupé par le même plan R suivant un cercle C.

On est, par suite, conduit à une solution graphique du problème du cercle osculateur, laquelle est entièrement déduite de la théorie établie sur Tosculation

des sections cooiques , uniquement par la géométrie descriptive. Cette eonstruction graphique exige une règle ou clierche découpée suivant une demi-parabole .

d'un nftpAm^iPA arhîti^AÎrP.

d'un paramétre arbitraire

A ce sujet, nous ferons les réflexions suivantes.

Là construction àJaquello nous conduit la géoméine descriptive ne sera pas, dans tous. les cas, préférable aux diverses constructions déduites des résultats fournis par Vanalyse. Mais nous pensons que souvent elle méritera d'être préférée, surtout lorsque l'on donnera seulement un arc dû section conique et que l'on voudra en un point de cet arc construire le cercle osculateur, ne connaissant ni la grandeur ni la direction des axes; car, par notre méthode, il sodira de connaître les tangentes en deux points de l'arc donné, pour que l'on puisse construire le rayon de courbure en un point quelconque de cet arc. De plus, par la comparaison de certains triangles semblables, on parvient, sans peine, aux expressions ana/j^* tiques connues du rayon de courbure : V pour le sommet d'une section conique , expression analytique qui est dans ce cas fonction des deux axes ou du paramètre de la section conique ; 2"* pour un point quelconque , expression apuilytique qui est dans ce cas fonction des diamètres conjugués» qui correspondent à ce point, et des directions de ces diamètres par rapport aux axes de la section conique donnée.

Jusqu'à préseot c'est par l'ana/t^^e que l'on a été conduit à des constructions géométriques du rayon de courbure, constructions, dont plusieurs sont très*élégantes; et maintenant, par la géométrie descriptive , on obtient une construction géométrique y qui conduit, par réciprocité^ à l'expression analytique du rayon de courbure^ pour un point quelconque d'une section conique. Je ne présente point la construction géométrique à laquelle je suis conduit comme devant toujours être préférée; mais comme étant de quelque intérêt parce qu'elle est fournie par une théorie établie par la géométrie descriptive seule, théorie qui n'avait jusqu'à présent été établie que par Y analyse^ et parce que l'on était disposé à croire assez généralement , que les questions de ce genre n'étaient point abordables par la géométrie descriptive.

Je terminerai ce résumé en disant : Les géomètres ne regardent une solution comme vraiment géométrique « qu'autant qu'elle conduit à des constructions qui n'exigent que la ligne droite et le cercle ; en d'autreis termes, qui n'exigent que la règle et le compas. Mais si Ton veut que la géométrie descriptive puisse se développer, on ne doit pas restreindre ainsi les instruments qu'elle peut et doit employer. Je crois que l'on doit reconnaître, en géométrie descriptive , qu'une construction graphique est admissible toutes les fois que l'on emploiera un instrument simple et facile à manier, et au moyen duquel on pourra tracer toutes les courbes

du même genre sertunt à résoudre tous les problèmes composant une même famille et quelles que soient les données du problème proposé.

Ainsi : si pour résoudre le problème du cercle osculateur en un point arbitraire d'une section conique et quel que soit le paramétre de cette courbe Je n'emploie pour instrument qu'une règle découpée suivant une parabole, on doit, je pense, admettre cette construction en géométrie descriptive. Si, poyr résoudre certains problèmes, on était conduit à employer une spirale logarithmique, variant suivant les données, on pourrait encore admettre cette construction , puisque Ton peut construire un compas simple çt permettant de tracer toutes les spirales logarithmiques et même une quelconque de leurs développantes {*). Mais, si Ton était conduite employer une développante de cercle, et que cette développante dût varier de rayon y suivant les données particulières du problème , on devrait rejeter, en géométrie descriptive , ce mode de construction , parce que l'on ne peut pas construire un compas donnant les développantes de cercle de tous les rayons.

(*) Tracé mécafiique àe la extraie logarUhmique, Les propriétés dont jouit la spirale logarithmique conique permettent de tracer par une mouvement continue et mécaniquement la spirale -logarithmique plane. Pour cela , on prend un cône de révolution en bois , on place son sommet S au point origine de la courbe, et on le fixe invariablement dans une position telle que son axe A soit perpendiculaire au plan de la feuille de papier sur laquelle dn doit tracer la coube.

On prend ensuite une petite planchette rectangulaire que Pon applique tangentiellement au c^ne. Dans cette position , Taréte inférieure B de la planchette passe par le sommet s , et Faréte supérieure B' parallèle à B et dès lors horizontale , se trouve tangente an cercle C , base du c6ne immobile.

On fixe au sommet $ un fil de soie , qui se trouve fixé par son autre ej(trémité en un point m de Tarête B' de la planchette.

Le fil de soie étant tendu et appliqué en toute sa longueur sur la planchette , le sommet $ correspond à un point p de Paréte B.

Et Ton voit que le fil de soie se projette orthogonal ement sur le plan du papier, suivant une ligne D qui fait avec B un angle, complément de celui que D fait avec la ligne passant par le point s et menée perpendiculairement à B.

Gela établi , on fait glisser la planchette de manière qu'elle reste tangente au cône , que son arête passe toujours par le point $ , et que le fil de soie , en s'enroulant sur le cdne , reste toujours tendu en sa partie non enroulée^ en sorte quêtant placé sur la planchette, il y fait toujours le même angle avec Taréte horizontale B.

Dans ce mouvement, le point p décrira sur le papier une spirale logarithmique coupant ses rayons vecteurs sons un angle égal au complément de Tangle que fon( entre elles les droites D et B.

En changeant la position du point m sur B', on fera varier Tangle (D , B) , et il sera facile de diviser la droite B' , de manière que Ton puisse fixer la position du point m , de façon à avoir pour Tangle (D, B) toute valeur assignée.

Par ce procédé simple et rigoureux , on pourra tracer toutes les spirales logarithmiques planes.

On voit sur-le-champ que le fil de soie s^enroule sur le cône suivant une spirale logarithmique conique dont la courbe tracée par le point p est la projection orthogonale. — Extrait du Bulletin de la Société philomatique ; séance du 12 janvier 1S33.