MEMOIRE O

Étant donnés deux cônes ayant l'un pour sommet un point s et pour base sur le plan horizontal une courbe B, l'autre pour sommet un point ^'et pour base sur le plan horizontal une courbe B'; si Ton veut connaître la nature de la courbe intersection de ces deux surfaces , on fait mouvoir le cône {s\ B') parallèlement à lui*mème, son sommet s glissant le long de la droite D qui nnit les sommets s et s', jusqu'à ce que le sommet s' se superpose sur le sommet «; en cette position le cône mobile se trouve coupé par le plan horizontal , suivant une courbe B'^ semblable et semblablement placée par rapport à la base primitive B', le pSte de similitude étant le point en lequel la droite D perce le plan horizontal. Gela posé :

Autant ily a de points communs entre les courbes B et B", autant il doit y avoir de branches infinies , dans la eourbe intersection des deux cônes donnés O, B) et {8\ W).

Et ces branches infinies se divisent en deu classes, tes unes ayant uae asymptote, les autres n'ayant pas d'asymptote; on xeeonnatt l'existence des unes et des autres aux caractères suivants :

Chaque point de contact existant ehtre les deux courbes B et B" indique une branche infinie sans asymptote , une courbe parabolique;

Chaque point (t intersection existant entre les deux courbes B et B", indique une branche infinie ayant une asymptote , une courbe hyperbolique.

Ces résultats sont rigoureusement démontrés par la Géoméêrie éeêeriptive sans avoir besoin de recourir à Vimalyse.

Étant donnés deux cônes ayant pour sommet l'un un point js (^i l'autre un pomt ê\ et pour base commune sur le plan horizontal une sectiojo conique C (ellipse 9 parabole ou hyperbole); ces deux cônes se coupent suivant uoje seconde section conique C\

Ce résultat fieut encore Hre démaotré par Ui Géçmétrie é^$crip^v0 «aos sToir besoin de recourir à ïmMlyie.

C) Extrait dn journal des mathématiques pures appliquées , publié par H. LiouviUe.

Si l'on veut reconnattre la nature de la courbe C, il faudra faire mouvoir le c6ne{s\ C) parallèlement à lui-même , son sommet glissant le long de la droite D, qui unit les sommets « et ^ jusqu'à ce que le sommet s' se superpose sur le sommet «; en cette position le c6ne nlobile sera coupé par le plan horizontal suivant une section conique C^', qui sera semblable et semblablement placée pat rapport à la courbe C , le pôle de similitude étant la trace horizontale de la droite D.

En vertu des propriétés de Fhexagone inscrit 9 propriétés que l'on peut établir et démontrer rigoureusement par la Géométrie descriptive sans avoir besoin de recourir à Vanalyse y on sait : Que ^ par cinq points on ne peut faire passer qu'une section conique; et que dès lors deux sections coniques ne peuvent, en général, se couper qu'en quatre points. Gela posé :

l"" Deux de ces quatre points peuvent être juxtaposés, auquel cas les deux courbes sont tangentes l'une à l'autre; puisqu'elles ont un élément rectiligne commun, en d'autres termes, deux points successifs et infiniment voisins, communs.

Si G et G" ont un point de contact m et deu3( points d'intersection p et^, la courbe intersection des deux cônes (s , G) et {s\ G) sera composée d'une parabole indiquée par le point de contact m , et d'une lufperbolè indiquée par les deux points d'intersection p et 9.

2^ Trois de ces quatre points peuvent être juxtaposés, auquel cas les deux courbes ont un contact du second ordre, puisqu'elles ont deux éléments rectilignes communs, en d'autres termes trois points successifs et infiniment voisins, communs.

Si G et G" ont un contact du second ordre en un point m, elles se couperont nécessairement suivant un point p situé à distance finie du point m.

Gar puisque l'intersection des deux cônes {s , G) et («', G) est nécessairement composée de deux sections coniques , le point m étaiit composé de trois points successifs et infiniment voisins, indique que cette intersection sera composée de deux branches infinies dont l'une sera une parabole courbe sans asymptote, et l'autre une branche d'hyperbole courbe ayant une asymptote; et comme Vhyper^ bole est composée de deux branches infinies, il faudra nécessairement que les deux courbes G et G" se coupent encore en un point p, situé à distance finie par rapport au point m.

3* Les quatre points peuvent être juxtaposés, auquel cas les deux courbes ont un contact du troisième ordre, puisqu'elles ont trois éléments rectilignes communs, en d'autres termes, quatre points successifs et infiniment voisins , pommunst

Si C et C" ont un contact du troisième ordre en un point m, elles n^auront aucun autre point d'intersection; car le contact du troisième ordre indique que les deux cônes (« » C) et « , G") ont quatre génératrices successives et inGniment voisines y communes^ lesquelles indiquent que les deux cônes donnés («, C)et {$\ C) se coupent suivant deux paraboles.

Supposons, maintenant^ deux cônes ayant pour leur base commune C une parabole. Les deux courbes G et G" seront deux paraboles égales et parallèles ; car un cône ne peut être coupé par un plan P suivant une parabole G, qu'autant que ce plan P est parallèle à un plan T tangent au cône suivant une génératrice droite G, et l'on sait que cette génératrice G est parallèle à Taxe inOni de la parabole de section.

Ainsi, les deux cônes ayant pour base' commune une parabole auront néeessairement leurs sommets s et s situés sur une droite G parallèle à l'axe inflni de la courbe base G, et ces deux cônes auront, nécessairement^ cette droite G pour génératrice de contact. *

Et il est évident que la courbe intersection des deux cônes donnés (s, G) et {s G) se composera seulement de la parabole G et de la génératrice G.

Rappelons-nous qu'une parabole peut dégénérer en une droite, et que la génératrice de contact de deux cônes doit être rigoureusetnent considérée comme une parabole d'intersection , puisque le plan tangent commun remplace dans ce cas le plan sécant contenant une courbe d'intersection.

Les deux cônes {s, C)et («, G") devant indiquer la nature de l'intersection, doivent indiquer que cette courbe est composée de deux paraboles. Or, il est évident que les deux cônes («, G) et Sy G") n'ont en commun que la génératrice G ; par conséquent, si on les coupe par un plan Q y ce plan coupera la droite G en un point m et les deux cônes (« , G) et (« , C") suivant deux sections coniques E et E' qui n'auront qu'un point commun m; il faudra donc que ces deux courbes E et E' aient en m un contact du troisième ordre, pour indiquer que la courbe intersection des deux cônes primitifs (5, G) et {s'y C) est composée de deux paraboles.

Ge qui précède nous permet de résoudre graphiquement le problème suivant :

Étant donnée une section conique E j. construire toutes les sections coniques qm

auront avec la courbe E en un point m de cette courbe un contact du troisième ordre^

En effet :

Supposons que Ton donne une MClion conique E (eilipee, parabole on hyperbole) et un point m de cette courbe , et que Ton yeullle construire une «ection conique E' telle que E et £' aient en m un contact du troisième ordre.

Ayant mené : l** la tangente T en m à la courbe E;

2* Le diamètre D conjugué de la tangente T, et coupant E en les points m et m';

3* Ayant mené une corde B parallèle à T et coupant E en les points b et 6' et le diamètre D au point o;

4* Ayant pris une parabole P, d'un paramètre arbitraire, et ayant pour axe infini une droite A; on mènera une perpendiculaire à A telle que la corde interceptée B' par la parabole P soit égale à la corde B.

On supposera ensuite que le plan Q de la courbe E passe par la droite B' et que ce plan a par rapport au plan de la parabole P (regardé comme plan horizontal) uno inclinaison arbitraire, et de plus que le point o soit placé sur Taxe A, la tangente T étant parallèle à la corde B'.

Les courbes E et P étant en cette position , on mènera par le point m , une droite G parallèle à la droite A; on unira le sommet p de la parabole P avec le point m' par une droite H, laquelle coupera G en un point «; ce point s sera le sommet du cône enveloppant les deux courbes P et E.

Cela posé :

On prendra sur la droite G un point arbitraire s' comme sommet d'un second c6ne ayant la parabole P pour base; on fera glisser le cône {s\ P), parallèlement à lui-même jusqu'à ce que son sommet s' se superpose sur le sommet s du cône fixo, et en cette position (que je désigne par S'') le cône mobile sera coupé par le plan de la courbe E suivant une section conique E' ayant en m un contact du troisième ordre avec la courbe donnée E.

Il sera toujours (acile de construire par painis la courbe E\ m moyen d'une épuré; mais pour faciliter les constructions , on pourra toujours supposer qw le plan Q est perpendiculaire au plan de la parabole P«

Dés lors le plan Q devra être pris pour pJan vertical de projaelion €t le plan de la parabolo P pour plan horiaontal de projection.

Cela posé :

Supposons, V que la courbe donnée 6 est une etftpie.

La droite pn' çera toujours obUque par rapport au plan liorixontaiV le point ê sera toujours situé» par rapport au pbn 0, au delà du pcdnt x^ interjection de la droite G et de la verticale menée par le sommet p de la parabole P.

Dés lors :

i* Tant que le point «' sera au dolà du point s par rapport au plan vertical

Q , le cône S" sera coupé par le plu 0 » suivant une eHipse E' enveloppée par l'ellipse E.

2"* Si le point s' est situé entre les points xel s^ le cône S" sera encore coupé par le plan Q, suivant une ellipse E'; mais cette courbe E' dans ce cas, enveloppara l'ellipse E.

3* Lorsque le point s ne sera autre que le point x^ la courbe E' sera une para« Me enveloppant l'ellipse donnée E.

Â'' Si le point s est placé entre le point x et le plan Q , la courbe E' sera une hyperbole.

Nous pouvons donc conclure ce qui suit :

Il existe : l"" une infinité d^elUpses ayant un contact du troisième ordre en un point d'une ellipse donnée : et ces ellipses osculatrices sont divisées en deux groupes^ les unes étant enveloppées par la courbe donnée, les autres envelop^ pant au contraire cette courbe;

2^ Une seule parabole ayant un contact du troisième ordre en un point d'une ellipse donnée , et cette parabole enveloppe la courbe donnée ;

3^ Une infinité d'hyperboles ayant un contact du troisiènae ordre en un point d'une eUipse donnée , et la branche osculatrice envdoppant toujours la courbe donnée.

Supposas, 2"" que la courbe donnée E est une parabole.

Le point m' sera situé i l'infini sur le diamètre D conjugué de la tangente T ; dès lors le point s sera le pœnt x.

Par conséquent, nous pouvons conclure ce qui suit :

Il existe une infinité é'eUipzes et d'hyperboles ayant un contact du troisième ordre en un point d'une parabole donnée , et toutes les ellipses osculatrices sont enveloppées par la courbe donnée, et toutes les branches d'hyperboles osculatrices enveloppent la courbe donnée.

Supposons, 2f que la courbe donnée E est une hyperbole.

Alors la droite pm' coupera la droite 6 en un point s situé entre le plan vertical Q et le point x.

On peut conclure ee qui smt i

Il existe : 1* Une infinité d'eUxpnes ayant un contact du troisième ordre en un petnt d'une hyperbole et tout^ ces ellipses sont enveloppées par la branche de l'byperbok donnée;

2"" Une seule parabiAe enveloppée par la branche d^hyperbole ; 3^ Une infinité d! hyperboles ^ divisées en deux groupes, Tun composé d'hyperboles dont la branche osculatrice est enveloppée par la branche de la courbe

donnée, Taiitre composé d'hyperboles dont la branche osçulatrice enveloppe, au contraire, la branche de la courbe donnée.

Lorsque deux sections coniques E et E' ont en un point m une osculation du troisième ordre, leurs centres et le point m sont en ligne droite; en d'autres termes, les diamètres correspondants au point de* contact m se superposent en direction.

En effet :

Étant donné un cône du deuxième ordre (5, C) dont le sommet est en un point 8 et qui a pour base une section conique C; si nous supposons que la base C est une parabole, alors il existe une génératrice G parallèle à l'axé inOni de la parabole G et le plan tangent T au cône suivant la génératrice G est parallèle, au plan de fa courbe C.

Si donc nous désignons par d le sommet de la parabole C, la tangente 9 en d de cette courbe G sera perpendiculaire, en direction, à la droite G, et si nous désignons par G, la génératrice du cône passant par le point cf, le plan {s, B) coupera le plan T suivant une droite 9 , passant par le sommet s et parallèle à la tangente 9.

Si donc on suppose deux cônes ayant même sommet « et pour base Tun une parabole G et l'autre une parabole C' ( les deux courbes G et G' étant égales et parallèles, ayant dès lors même axe infini et même paramètre^ les sommets de ces paraboles étant le point d pour G et d' pour G^ ); les deux cônes auront une génératrice de contact G; cela posé : désignons par 9 la tangente en d k C, par 9' la tangente en cT à C et par G, la génératrice correspondant au point d et par G', la génératrice correspondant au point cT.

Il est évident : l"" Que les trois plans tangents menés respectivement le long de G, G., G", se couperont suivant la droite 9; S"* Que les trois génératrices G, G,, G', seront dans un même plan X.

Si donc on coupe les deux cônes par un plan Y parallèle à la droite 9 ( ce plan sera perpendiculaire à la droite G ), on obtiendra deux sections coniques E et E' qui auront un contact du troisième ordre au point m ( intersection de la génératrice G et.du plan Y ). De plus, le plan Y coupera le plan X suivant une droite qui passera par le centre de chacune des courbes E et E', car ce j^an Y coupera les trois génératrices G, G. et G", aux points respectifs m, m,, m'., lesquels seront en ligne droite, et ces points seront situés sur la droite intersection des deux plans X et Y et aussi ce plan Y coupera les plans tangents menés le long de G, G^ et G', suivant des droites parallèles à 9.

Ainsi , la droite qui unit les points m et m. sera un diamètre de la courbe E ; ainsi , la droite qui unit les points m et m\ sera un diamètre de la courbe E".

Or , si Ton se donne deux courbes £ et E' ayant en un point m un contact du troisième ordre ^ on pourra par le point m mener une droite G perpendiculaire au plan des deux courbes, prendre sur G un point s arbitraire et regarder ce point s comme le sommet commun de deux cônes ayant»pour base respective les courbes E et E\

Et tout plan parallèle au plan tangent commun aux deux cônes et mené suivant la génératrice droite et commune G, devra couper ces cônes suivant deux paraboles ayant même axe inOni et même paramètre.

Ainsi deux courbes do deuxième degré qui ont un contact du troisième ordre, ont nécessairenieni leurs centres et le point d'oscuhtion en ligue droite. De ce qui précède , on conclut :

d"" Qu'un cercle ne peut avoir une osculation du troisième ordre en un point quelconque d'une section conique ;

2* Qu'un cercle ne peut avoir une osculation du troisième ordre qu'en un point sommet d'une section conique.

En effet :

Pour un point quelconque m d'nne section conique E, la normale ne passe par le centre de la courbe E, qu'autant que le point m est un sommet de cette courbe^ donc, etc.

Par ce qui précède, on peut découvrir une propriété remarquable qui n'existe Éotgours que pour deux sections coniques ayant en un point une osculation du troisième ordre. Cette propriété est la suivante :

Concevons deux courbes E et E' ayant en un point m une osculation du troisième ; menons en m la tangente i commune aux deux courbes ; prenons sur i un point arbitraire x.

Menons parte point x deux, tangentes , runei<.à Eet l'autre i\ à E' ; désignons par n. et it', les points de contact respectifs, les trois points m, n, et vl, seront toujours en ligne droite quelle que soit la position du point x sur la tangente u

En effet :

Imaginons les deux cônes («^C), («, C) précédents; si on les coupe par un plan Y' oblique à leur génératrice de contact G , on aura deux sections coniques E et E' ayant au point m une osculation du troisième ordre (m désignant le point intersection de la droite G et du plan Y').

Or, les droites xn^ et xn\ seront : la première, tangente au point n. de E et la deuxième, tangente au point n\ de E', et les trois points m^ n, et n\ sont évidém*^ ment en ligne droite, car ils sont sur la droite intersection des plans Y' et X. Donc, etc.

Rem>rqu€tts en termniaiit qae : deux seotiens eeniques qui ont en un pomt m un contact du premier oodre y peuvent bien (en certains cas) i^veir leurs centrés et ce point de contact en ligne droite , et qu'alors elles jouissent de la propriété remarqwAle qui existe tomjaur$ , ainsi qne nous Tavons démontré pour denx seC"* lions coniques ayant un contact du troisième ordre*

En eSet ;

Concevons deux sections coniques B et B' ayant en un point m nn contact en premier ordre; nous pourrons toujours considérer la courbe B conune la base d'un cône S qui serait coupé par un plan P (ayant pour trace sur le plan de la courbe B^ la tangente t au point m) suivant une courbe B" dont la pro|ection sw le plan de la courbe B ne serait autre que la courbe B',; et cda a lieu, parce que deux sections coniques situées dans des plans différents et lesquels se coupent suivant une tangente commune aux deux courbes, sont toujours enveloppées par un cône et que dans ce cas il n'existe qu'un seul cône enveloppant. ( Voir le Mémoire n* t, chapitre premier de cet ouvrage.)

Gela posé :

Le sommet « du cône sera situé sur une droite G passant par le point m. Cette droite G pourra être, 1* perpendiculaire au plan de la courbe B, ou 3* oblique à ce plan.

Dans le premier cas , les deux courbes B et B' jouiront de la propriété qui existe iaigours entre deux sections coniques ayant un contact du troisième ordre.

Dans le deuxième cas , les deux courbes B et B' ne jouiront pas de cette propriété j mais d'une propriété analogue et qui est la suivante :

Puisque les courbes B et B" sont sur un cône S , tout plan tangent à ce cône suivant une génératrice G , coupera le plan de B" suivant une droite B", et le plan de B suivant une droite 0 ; ces droites seront les tangentes respectives à ces courbes et iront se couper en un point p situé sur la droite t.

La droite 6" se projettera sur le plan de la courbe B suivant une droite tangente à B'.

Et comme il en sera de même , quel que soit le plan tangent au cône S , et quelle que soit , dès lors , la génératrice de contact 6, on voit que les droites qui unirent les points de contact des tangentes menées aux courbes B et B' des divers points p de leur tangente commune t, iront se couper en un point qui sera la projection sur le plan B du sommet du cône S.

Et dans ce deuxième cas., il est évident que les deux eœirbes B et B' ne peuvent avoir leurs centres et leur point de contact en ligne droite.

Il serait facile de démontrer, en s'appuyant sur les résultats précédents ;

1* Que lorsque deux surfaces du deuxième ordre ont y en un point , un oontSkct du premier ordre^ ce point et les centres des surfiices peuvent être ou non en ligne droite.

2"" Que lorsque deux surfaces du deuxième ordre ont, en un point , un contacf do detaième ordre, le point d'osculation et les centres de ces surfaces ne sont fimm^ en ligne droite ;

3* Que lorsque deux surfaces du deuxième ordre ont, en uo point , un contact du troisième ordre, le point d'osculation el les centres de ces surfaces sont toujmar$ en ligne droite»

Supposons sur un plan P deux paraboles G et G' égales (ayant même paramètre) dont les axes infinis A et A' soient parallèles; ces deux paraboles étant d'ailleurs tournées dans le m6me sens et se coupant , dès lors, en un seul point p.

Supposons dans l'espace une droite G parallèle au plan P et aux axes A et A', et prenons sur cette droite G deux points arbitraires s et s\

Le point $ étant le sommet d'un cône ayant pour Base la courbe C et le point $' étant le sommet d'un cône ayant pour base la courbe G'.

- Supposons que le cône («^ G) reste fixe et que le cône (#', C) se meu^e parallèlement à lui-même, son sommet d parcourant la droite G, et désignons par S'' la nouvelle position du cône mobile lorsque son sommet 0' se sera placé sur le sommet % du cône fixe ; désignons aussi par G" la base qui , située ^r le plan P, appartiendra au otoe S''.

Il est évident que la courbe C sera une parabole ayant même paramètre que la courbe G' et même axe infini A' que cette courbe ; dès lors G et G" ne se couperont qu'en un seul point et toujours en un seul point que je désigne par f/»

lies deux cônes (s, G) et (t , C) ayant même sommet, auront donc la génératrice G pour génératrice de contact et la droite «p' pour génératrice d'intersection.

Gela posé :

Coupons ces deux cônes par un plan Q , on obtiendra deux sections coniques E et E' ayant un contact en un point m intersection du plan Q et de la génératrice G , et qui se couperont en un point q intersection du plan Q et de la génératrice «p'.

Les deux courbes E et E' ayant un contact en m et un point d'intersection en 9, le point de contact m indique que les deux cônes («, C) et (*'. C) se coupent sui-

vant une courbe ayant une branche infinie sans asymptote ; or cette branche infinie n'est autre que la droite G qui , étant une génératrice de contact, représente ri^U" reusement une parabole; les deux cônes (s, C) et («', C') doivent donc se couper suivant une seconde courbe du second degré ;

Mais le point d'intersection q indique que la seconde courbe a une branche infinie ayant une asymptote ; la seconde courbe étant du deuxième degré doit donc être une hyperbole, et comme une hyperbole est composée de deux branches infinies ayant chacune une asymptote, il faut, impérieusement, qu'au point de contact ^, se trouvent juxtaposés trois points successifs et infiniment voisins et communs entre les deux courbes E et E'.

Les deux courbes Ë et E' ont donc au point m un contact du deuxième ordre , et ce qui précède montre bien que les deux courbes E et E' se touchent et se coupent au point d'osculation du deuxième ordre.

Ce qui précède nous permettra de résoudre graphiquement le problème suivant :

Étant donnée une section conique E , comtruire toutes les sections coniques qtd auront^ avec la courbe E et en un point m de cette courbe , un contact du deuxième ordre.

En efiet :

Supposons que Ton donne une section conique E (ellipse, parabole ou hyperbole ) et un point m de cette courbe , et que Ton veuille construire une section conique E' telle que E et E' aient en m un contact du deuxième ordre.

Ayant mené : 1* la tangente T en m à la courbe E ;

2* Le diamètre D conjugué de T et coupant E en les points m et m'.

3"" Ayant mené une corde B parallèle à T et coupant E en les points b et b' et le diamètre D au point o ;

A"" Ayant pris une parabole P d'un paramètre ai*bitraire et ayant pour axe infini une droite A.

On construira pour la parabole P une corde 1^' perpendiculaire à A et égale à B.

On fera passer le plan Q de la courbe E par B', les cordes B et B' se superposant.

En cette position, les courbes E et P seront enveloppées par un cône dont le sommet sera facilement déterminé.

En effet :

Par le point m de E on mènera la droite G parallèle à l'axe A.

On unira le sommet p de la parabole P avec le point m' de la courbe E , et la droite mp coupera G en un point s qui sera le sommet demandé.

Cela posé :

On tracera sur le plan de la parabole P une seconde parabole P' ayant même paramètre que. P et dont l'axe infini A' sera parallèle à l'axe A.

Ces deux paraboles P et P' se couperont dès lors en un certain point que je dé-

•signerai par p.

On regardera le point s comme le sommet d'un cône ayant P' pour base, et <5e cône («, P') sera coupé par le plan Q suivant une section conique E' qui aura un contact du deuxième ordre en m avec la courbe E et qui coupera cette courbe E au point 9, intersection du plan Q et de la droite $p\

Si donc étant donnée une section conique E et deux points m et 9 situés sur cette courbe , on voulait construire une section conique E^ coupant E au point q et ayant avec E et au point m un contact du deuxième ordre, on devrait exécuter la construction suivante :

Après avoir déterminé, comme précédemment, le cône («, P), on joindrait les points sel q par une droite qui couperait la parabole P au point p , et Ton ferait glissçr parallèlement à elle-même la courbe P, et on la ferait glisser dans son plan , jusqu'à ce qu'elle passât par le point p', et cette nouvelle position P' de P serait regardée comme la base d'un second cône («, P') qui serait coupé par le plan Q suivant la courbe osculatrice E' demandée.

On voit de suite , en se rappelant ce qui a été dit lorsqu'on s'est occupé du contact du troisième ordre, que Ton pourra toujours construire une infinité d'ellipses et d'hyperboles et une seule parabole ayant un -contact du deuxième ordre en un point m d'une ellipse ou d'une hyperbole donnée E et coupant cette courbe E en un point q ;. et que Ton ne pourra construire que des ellipses ou des hyperboles osculatrices du deuxième ordre à une parabole donnée E , et coupant cette courbe E en un point situé à distance finie du point d'osculation.

Au lieu d'employer des paraboles pour résoudre le problème qui fait le sujet du § IV, on pourrait se servir de deux hyperboles.

Cela posé :

Concevons deux hyperboles H et H' égales, tournées dans le même sens, et ayant pour asymptote commune une droite A , les deux autres asymptotes étant deux droites B et B' parallèles entre elles.

Ces deux courbes se couperont en un seul point p.

Si l'on prend un point « dans l'espace, pour le sommet «ommun de deux cônes

aysint pour bases respectives les courbes H et H', ces deux cônes («, H) et {s. H')

se couperont suivant une génératrice droite $p' et seront tangents l'un à Fautre

suivant une génératrice G parallèle à l'asymptote A#

Et il faudra , en vertu de ce que nous avons dit § IV, que les deux cônes aient un contact , du deuxième ordre , tout le long de G , ou en d'autres termes, que les deux cônes aient en commun trois génératrices successiveft et infiniment voisines et juxtaposées, en la position G«

Donc r etc. y etc.

Puisque Ton peut toujours construire une infinité d'ellipses ayant en un point m d'une section conique Ë (ellipse, parabole ou hyperbole) un contact du deuxième ordre avec cette courbe E , on conçoit que l'on pourra toujours trouver un cercle parmi ces ellipses , et dès lors la solution du problème suivant :

Construire en un point dune section conique ,. le cercle osculateur du deuxième ardre à cette courbe :

Doit être possible parla Géométrie descriptwe.

En efiet :

Il suffira que le cône (s, P' ) , § IV, soit coupé par le plan Q, suivant un cercle. . Or, on peut toujours s'arranger de manière à ce que le cône {s , P') soit de révolution , car Ton sait que tous les cônes de révolution qui ont pour base une parabole^ ont leurs sommets situés sur la focale de la parabole-base \ et Ton sait que cette focaU n'est autre qu'une parabole P, égale à la parabole-base P, ei ayant pour som** met le foyer de P ; les plans des deux courbes étant perpendiculaires entre eux et se coupant suivant l'axe infini et commun aux courbes Pet P,, cea courbes étant d'ailleurs tournées en sens contraires.

La solution du problème précédent sera donnée par la construction suivante :

(Fig. lA eifig. 14 bis). Étant donnés une ellipse E et un point m de cette courbe, pour lequel on veut construire le cercle osculateur.

4* On prendra une parabole P d'un paramètre arbitraire dont on connaîtra le sommet s et le foyer /, et par suite. Taxe infini « ;

^ On tracera la focale P. ( qui ne sera autre que la parabole P renversée ).

3* On construira la normale n^ à la parabole P, ;

4* On prendra sur la normale en m à la courbe E , nur = n^ , et par le point x on mènera la corde dd' conjuguée de la tangente t en m ;

5* On construira pour la parabole P, la demi-corde </,jf.=:la demi-corde dy ;

6* On mènera yM parallèle à ng et Ton prendra Mt^.t=ntxet MM':= mq ;

7"" On joindra les points M' et «, et la droite M'^ viendra couper en s' la droKe Un parallèle à A^ }

S"* Par le point s on mènera- une perpendiculaire à la droite ng^ laquelle viendra

couper en L la droite MM', et ML sera la longueur du rayon du cercle osculateur demandé.

Pour Vhyperbole^ les fig. 16 et 16 bis, et pour la parabole^ les/^. 15 et 15 bis, indiquent très-nettement la conslruction à exécuter (Il suffit.de remarquer que lorsque la section conique est une parabole , MM' ou mq est infini , et que dès lors la droite ss' est parallèle à n^ ou à sa parallèle Mt/,).

Pour obtenir le rayon de cercle osculateur, au sommet d'une section conique, la construction sera identiquement la même.

Remarque. Il pourrait arriver que l'on fût conduit, dans certains cas, à placer sur la parabok p, une normale telle que sa partie comprise entre le point de la courbe et Taxe infini fût égale à une longueur prise sur la normale de la courbe E; et qu'ainsi on fût conduit à construire une normale telle que ng {fig. 14 bis ) fût égale à mx {fig. 14).

Ce problème est d'une construction facile en s' appuyant sur la propriété des focales, savoir : que h focale est le lieu des sommets des cônes de révolution ayant pour base la section conique donnée.

Ainsi {fig. 14 quater), étant données la parabole P et la focale ?, , pour déterminer le point n de P. pour lequel la normale ii^=: D, on fera la construction suivante :

On prendra Tordonnée a6 :=^D de la parabole P; on construira la tangente^» à la courbe P, , ce qui est facile, puisque la sous-tangente est double de l'abscisse; donc on prendra y&'= 6/, et l'ordonnée ftn coupera la courbe P. en n, point pour lequel la droite ng perpendiculaire à nb satisfera à la condition posée ;

Et en effet :

Si du point b on mène la tangente bn à la courbe P,, le plan passant par ab et perpendiculaire à bn coupera le cône ayant son sommet en^ et pour base la parabole P suivant un cercle ayant le point b pour centre et ab pour rayon , puisque ce cône est de révolution et que son axe n'est autre que la tangente bn.

Si donc je mène^=a6 et perpendiculairement à bn^ la droite pn sera parallèle à l'axe infini Ks de la parabole P ;

Si donc en fi, je mène ng perpendiculaire à 6}t , on aura ng:=zbp ==iab.

Car les deux triangles rectangles pbn et bng sont égaux, puisque pn et bg sont parallèles.

Ainsi , Ton peut dire :

Le point d'une parabole pour lequel la normale est égale à une droite D a pour demi-sous-langente la différence existant entre l"" la distance du foyer au sommet de la courbe et 2* Tabscisse du point pour lequel Tordonnée est égale à la droite D.

8 Vil.

La construction précédente peut être simplifiée si Ton remarque que le lieu des sommets des cônes ayant pour base une parabole P, n'est autre que la parabole focale, transportée parallèlement à elle-même, jusqu'à ce que son sommet se superpose sur le sommet de la courbe P, lorsque ces cônes satisfont à la condition d'être coupés chacun suivant un cercle par un plan perpendiculaire à Taxe fnfini de la base P.

En effet :

( Fig. 17 ). Soit donnée la parabole P, ayant son sommet en s et pour axe infini la droite s A \ supposons que le point x soit son foyer, et menons la corde mxm perpendiculaire à sk .

Supposons ensuite que Ton mène par le point x une droite nxn perpendiculaire au plan de la courbe P, et construisons dans le plan nxm un cercle G ayant mm! pour corde et nn pour diamètre.

Unissons les points n' et s par une droite, venant couper en s la droite ns' parallèle à sk. Le point «' sera le sommet d'un cône enveloppant les deux courbes G et P , et ce cône sera coupé par tout plan parallèle au plan nxm suivant un cercle.

Cela posé :

Les deux triangles semblables sps' et sxn^ donnent :

1^ :7p :: 7x: nï^ (i)

et désignant

«ppary, s'ps nx par z, sa? par p,

( p étant le paramètre de la courbe P ) ,

Et remarquant , l"" que mxz=z2xs ( puisque le point x est le foyer de la courbe P) , et 2** que dans le cercle G on a :

mx =twî.naT; dou ttj:=:-i--

la proportion (1) deviendra :

d'où

ou

Donc, etc.

En vertu de ce qui précède , la construction du cercte osculateur en un point d'une section conique devient assez simple.

En effet :

Étant donnée une ellipse ( E^/^. 14),

l"" On tracera {fig. 14 fer), deux paraboles P et P. égales et opposées par le sommet et ayant même axe infini sA ;

2* On prendra dans la parabole P la demi-corde d,t/. :=:la moitié de la corde dd';

S"" On prendra VLy,z^mxeX MM' ^^ fnq-j

4** On mènera Ms' parallèle à sX ;

5"" On élèvera la droite 9v perpendiculaire à «A ; et coupant au point v la droite tts^ ;

6* On unira le point y de la parabole P, avec le point K miKeu de svi

T On unira Tes points M' et s et Ton aura le point Q ;

8" Par le point Q, on mènera QL parallèle à K/et coupant le droite MM'^au point L , et LM sera la longueur du rayon du cercle osculateur demandé.

I^es fig. 16 et 16 ter pour Y hyperbole , et 1 5 et 15 ter pour la parabole , indiquen-t très nettement les constructions à exécuter pour obtenir le rayon de courbure de ces courbes.

11 faut cependant remarquer que pour la parabole ^ les points t; et Q se confondent.

Les constructions seront identiquement les mêmes, lorsque l'on voudra con'struire le cercle osculateur au sommet d'une section conique.

§ viii.

Remarquons que les constructions précédentes s'appliqueront, lorsque Ton ne donnera qu'un arc de section conique et' sans qu'il soit nécessaire de savoir à quelle espèce de courbe cet arc appartient; ainsi sans savoir si l'arc donné est un arc d'ellipse ou de parabole ou d'hyperbole.

Mais pour pouvoir employer les constructions précédentes, il faut que Ion connaisse la tangente en un point de l'arc donné, connaissant d'ailleurs la tangente au point pour lequel on veut construire le rayon de courbure.

En effet :

Soit donné un arc aè (fig. 13), et nous savons que cet arc est une portiou de section conique*

En un point K, nous avons fa tangente Kr,et au point m, point pour lequel on veùl construire le rayon du cercle osculateur , on connaît la tangente ml. Cela posé : *

— us -.

T^ous mènerons la corde KK' parallèle à la tangente mi] noas joindrons le milieu o de cette corde a^ec le point m , et le diamètre mo viendra cooper h tangente en K au point r y en sorte que la droite rK sera tangente au point K' de l'arc donné.

Gela posé :

Pious pourrons , ayant mené la normale mf au point m donné, laquelle cou* pera la corde KK' au point q et ayant abaissé du point r une perpendiculaire sur KK', et coupant cette corde au point p, achever la construction ainsi que nous l'avons donnée précédemment; ainsi :

( Fig 18 bis ). Ayant tracé les deux pars^les égales P et P. et opposées par le sommet, nous placerons dans la parabole P, la corde K,K^c=: la corde KK'«

Puis , par le point o milieu de K.K'., nous élèverons là droite oV perpendiculaire à l'axe infini AS de la parabole P» prenant oW = 9m et o^cspr.

Nous mènerons tn^s parallèle à Taxe A^ et coupant là parabole P, en ê' ; en K,, nous mènerons une tangente à la parabole P et coupant Taxe infini ks au point a;(*).

Nous joindrons r' et x par une droite coupant la ligne mV eo Q.

Ce point Q sera le sommet du cône oblique enveloppant la parabole P et la sec* tion conique dont l'arc nous est donné.

11 suffira donc de mener la tangente s^v en s' à la parabole P. , et du point Q une parallèle à cette tangente, laquelle coupera mW en u, et m'u sera la longueur du rayon de courbure demandé.

Et remarquons qu'au moyen de cette construction^ on peut reconnaître la nature de l'arc donné a6.

En efiet :

Ayant, au sommet s de la parabole f(fig* 18 6û), élevé la perpendiculaire sv à l'axe infini A5, et coupant la droite mV au point t^;

Si l"" le point Q est au delà du point v , l'arc appartiendra à une hyperbole ;

Si 2'' le point Q n'est autre que le point v, l'arc appartiendra à une pars^le;

Si 3* le point Q est situé entre les points v et s% l'arc appartiendra à une ellipse.