I IX
Les constructions géométriques précédentes nous permettent de parvenir, d'une manière fort simple, aux expressions analytiques connues du rayon de cour* bure, pour un point quelconque d'une section conique.
n Et le point x est facileà construire, puisque pour la parabole , la sou*-tangente est double de Tabscisse; ainsi êx=sa o's'.
En effet :
l^Pour Vhyperbole : le diamètre réel ou transverse pour Wpoint m! {fig. i9) étant mm!\ le centre de la courbe étant en o; a étant Tangle que les deux diamètres conjugués font entre eux; mp étant la normale au point w! de la courbe pour lequel on veut calculer le rayon de courbure; on voit de suite qu'il faut comparer entre eux les deux triangles semblables m'r^et LrK, lesquels donnent :
fn!i : m's :: ho : LR
Et d'abord écrivons m'<= ps le rayon de courbure cherché vn!s.
Pour calculer m's^ remarquons que les deux triangles semblables mm's et mga donnent
m'< : mun! :: ga \ mg
Écrivons mm':=^2d^ c/ étant le demi-diamètre transverse correspondant au point m' de la courbe
mg = mo-\-og = d + x^ gq' = y
Les deux paraboles P et P' qui servent à la construction étant égales, leur équation sera la même pour Tune et l'autre ; ainsi A' = 2p . k {hei k représentant les coordonnées d'un point quelconque de ces courbes ).
Cela posé,, nous aurons :
55'' «^.^, d'où 5« = 0 IL Tient donc :
— r mm' xoâ d .y
mg p{d'\-œ)
Pour calculer Lv , nous savons que
- — Lb m!p —7- m'a x — d , , x — d Lv = -7^= -r^ et que m'p = -r^= —. j do»c Lv =
Pour calculer LK^ on remarque que LKc=3 6u, et que Ktt = m'p : en vertu de réquation de la parabole P', on a :
^ ^ , ^ ç (x-^dV
Kl» =%i.*U5 donc lA = ^-jrjjr;
ABin,.coBMn0
,, m'« X ho **'= LK
on a :
p(x+d) 2.8ina d.y* .sina d.yMioa
2/1 . sin* ot
et comme en vertu de Téquation de Thyperboie
on a :
y' = Ç(x'-iF)
on trouve :
A = -^. 8in a.
Si Tangle a est droit , les diamètres conjugués d et d' deviennent les axes a et 6 de la courbe.
Et puisque dans ce cas sina:=3 1 , on obtient :
2* Pour VelRpse.
Le diamètre étant mW, le sommet du cône enveloppant l'ellipse donnée et la parabole P sera en s'\
Il faudra donc calculer M'«" au lieu de m's^ le rayon de courbure étant d'ailleurs ni!f au lieu de mt ; or , pour ce calcul , il suffit de remarquer qu'en désignant m'm'^ par Sd, on aura m'!g=^ rf — >a;, en sorte que les calculs précédents seront les mêmes, et il suffira de changer x — dend — j; pour avoir le résultat; on aura donc :
d.y'sin a
et comme l'équation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses diamètres conjugués est ^ + ^ = ^ ' ^^ ^^^^ encore :
(*) Et rappeloiu-noiu queâPet y, coordonaées obliques, sont. liées entre elles pir Téqnation
-| — ^ 8 1 qui est celle de Phyperbole donnée; Torigine des coordonnées étant au point o , centre
de la courbe; d et d' étant les diamètres conjugués, qui prolongés sont pris pour axes des cooordonnées obliques ; Tangle de ces axes coordonnées étsnt «.
p = -j- • sin a.
3' Pour la parabole.
Le sommet du cône envelop(>ant la parabole donnée et la parabole P, sera «n s\ et l'on voit de suite que m! s' =^^a.
Gda posé :
L'équation de la parabole donnée étant y* = 2p' . a;, et les axes des xK>ordon* nées obliques faisant entre eux un angle a, on trouvera:
sina
Rappelons-nous que p' = -r^ , dès-lors , pour un point m' de la parabole , le
rayon de courbure aura pour expression p =-r^
Et si le point m' est le sommet de la parabole dont le paramètre est 2p , on aura P=Pj puisque, daos ce cas, sina = l.
Remarque. Considérons deux diamètres conjugués d'une ellipse. Désignonapar det (f ces demi-diamètres ; par a l'angle qu'ils font entre eux ; par p le rayon de courbure au point m extrémité du demi-diamètre d, et par p' le rayon de courbure au point m' extrémité du demi-diamètre d\
Les rayons de courbure p et p' feront aussi entre eux un angle égal j^ a et l'on aura:
d^où
p=-=-8uiit et p's=--58inot
pp'^dcT .siii'a, d'où -^add'.ûna
Or , désignant par a et ^ les demi-axes de l'ellipse , on a :
ab ssddl . njk «
donc
sm a
Pour deux autres diamètres conJ4igués , on aura encore-
donc
#^ = 4^ s= constante, sin a am «
Il est à remarquer que les constructions indiquées § VII, pour trouver la longueur du rayon de courbure pour un point quelconque d'une section conique, n'exigent pas à la rigueur l'emploi de deux paraboles égales et d'un paramétre arbitraire. -
En effet :
L'équation de la parabole P ou P (fig, il ter) , étant y';=:2px, et 2p étant
arbitraire, il suffira de construire y^ au moyen d'une droite d'une longueur arbitraire L et de la droite ym ( voir /{^. i4 ) , et Ton aura yj = ^ ; ainsi y^s se
construira comme Iroisième-proporlionnelle.
De même, pour placer le point s sur la parabole P., il suffira de construire
l'abscisse sg; sachant que l'ordounée 8'gs=iy,M.j etqueyiM (^fig. Hter):=xm;
on aura donc s'gzzz --— . Ainsi, a g se construira comme troisième-proportionnelle.
Toutes nos constructions n'exigeront donc à la rigueur que Temploi de la règle
et du compas; mais si l'on avait à construire une suite de rayons de courbure, ainsi , si Ton voulait déterminer les divers points de la développée d'une section conique donnée, l'emploi d'une règle découpée en demi-parabole, telle qu'elle est indiquée Gg. 20, serait préférable, parce que les constructions seraient plus promptes qu'en cherchant, pour chaque points les deux troisièmes-proportionnelles.
Jusqu'à présent on n'avait établi la théorie de Tosculation des sections coniques entre elles, qu'au moyen de VanalyêCt et les constructions géométriques données pour le i^yon de courbure, étaient le résultat de recherches spéciales sur le cercle osculateur; il me semble que les constructions que je donne pour le rayon de courbure, offrent au moins cet avantage , lors même qu'elles seraient un peu plus longues que celles connues et employées, d'être une déduction ou corollaire de la théorie géométrique exposée dans ce Mémoire, touchant l'oseulation des courbes du second degré.
Construction 1* des centres de courbure des épictcloides planes et sphéri- QUES; 2° DES rayons de courbure des sections coniques et des surfaces du
