SECOND ORDRE

Jean Bernouilli a écrit un Mémoire sur les épicycloîdes sphériques, ayant pour but principal de rechercher les courbes de cette famille qui étaient rectifiables.

Il a démontré que la courbe engendrée par un cercle mobile dont le rayon se projetait orthogonalement sur le plan du cercle fixe suivant le rayon de ce cercle, était la seule entre les épicycloîdes sphériques qui fût rectifiable«

Hachette, employant les procédés graphiques delà Géométrie descriptive , a construit la tangente en un point de Tépicycloîde sphérique, après avoir construit préalablement les projections de cette courbe. Il a étendu ses recherches et en a fait des applications heureuses et utiles aux engrenages coniques, que Camus avantluin*avaitpu construire rigoureusement (sous le point de vue géométrique), parce que les méthodes ingénieuses et fécondes de la Géométrie descriptive lui étaient peu familières.

Les recherches tentées, ^n Géométrie pt<re,.sur les épicycloîdes sphériques se bornent donc, jusqu'à présent, à la construction graphique de la tangente , soit par les méthodes rigoureuses de la Géométrie descriptive , soit par la méthode de Roberval, qui, dans certains cas, peut être diflScile à appliquer ( Voir la Onrrespondance de l'École polytechnique, tome II },

Personne n'a encore cherché à déterminer le lieu des centres de courbure de ces courbes remarquables, par des méthodes purement géométriques.

Je me propose , dans ce Mémoire , de construire les centres de courbure des épicycloîdes planes et sphériques et de la développante sphérique (^).

{*) Lu à la société philomatique dans 4a séance du !•' mars 1834 , publié dans le 23« cahier du Jouir^ nalde V École Polytechnique.

(*) Dans PouTrage qui aura pour titre : ApplicaHonê de la géométrie deicriptive aux engrenages, aux ombres et à la perspective, it montrerai quelles utiles applications aux arts on peut faire de la développante sphérique y pour la construction des engrenages coniques extérieurs et intérieurs, «n la substituant aux Épicycloîdes sphériques.

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ËpicyctcUdes planes.

Les épicycloides planes sont de deux espèces : les épiq/cloides extérieures ^ engendrées par un cercle mobile roulant sur un cercle fixe, ce cercle mobile étant

extérieur au cercle fixe» ou enveloppant le cercle fixe; ensuite les épîcyelcïdes intérieures f le cercle mobile étant alors intérieur au cercle fixe, en d'autres termes, étant enveloppé par le cercle fixe.

Parmi les épicycloides intérieures on doit remarquer celle qui est engendrée par un cercle mobile dont le diamètre est égal au rayon du cercle fixe. La courbe devient, dans ce cas , une ligne droite qui n'est autre qu'un rayon du cercle fixe.

Cette droite joue un grand rôle dans les engrenages coniques. (On doit consulter, à ce sujet, le Traité des Machines de Hachette, les Méfnoires de Lahire et le Traité de Mécanique de Camus. }

Construction des centres de courbure de Cépicyclotde plane:.

Nous examinerons quatre cas : 1* celui où le cercle mobile est extérieur au cercle fixe ; 2** celui où le cercle mobile est enveloppé par le cercle fixe, le diamètre du cercle mobile étant plus petit que le rayon du cercle fixe; 3^ celui où le cercle mobile est enveloppé par le cercle fixe , le diamètre du cercle mobile étant plus grand que le rayon du cercle fixe ; A"" enfin le cas où le cercle mobile enveloppe le cercle fixe.

Premier cas. Le cercle mobile étant exiétieur au cercle fixe.

Soit un cercle du rayon Sa fixe et immobile (fig. 21 ); soit un cercle du rayon aqj tangent en a au cercle fixe et mobile.

Je suppose que le cercle aq ( désignant le cercle par son rayon ) roule sur le cercle Sa ; le point n décrira une épicyclotde extérieure i.

Je suppose que le cercle aq soit arrivé en la position aV» ^^ que le point h!

soit un point de l'épicycloîde i décrite par le point n du cercle mobile. Alors on

aura :

arc n' A' = arc aa\

et la normale au point h' de i sera h! a. Je suppose ensuite que l'on trace les deux cercles S6 et frp , de telle manière

qae le cercïe bp soit tangent en a aux cercles Sa et aq^ et de plus, que le cercle bp roule sur le cercle Sfr; alors le point b décrira Pépicycloide extérieure d.

Je suppose enfin que le cercle mobile bp arrive en la position b' p\ en laquelle il sera tangent en a! et au cercle Sa' et au cercle aq\ de sorte que le point h sera un point de l'épicycloîde ^.

Alors on aura r

arc fr' A = arc V b.

Et la droite a'h sera tangente au point h de la courbe d'.

Gela fait, je prolonge hcîy cette droite viendra couper le cercle a'q au point k.

Cela posé :

Il est évident que pour que Fa normale a'h! au point h! de d soit tangente au

point h de d'y il faut que les deux droites a'A'et a'h se confondent; en d'autres

termes, il faut que les deux points A' et k se superposent, ou enfin, il faut que

l'on ait :

arc fik ss are nW r

ce qui revient à dire, puisque : arc n%' = arc aa, qu'il faut que les deux cercles bp eiaqj en roulant l'un sur le cercle Sfr , l'autre sur le cercle Sa, parcourent des arcs mesurant des angles égaux sur les cercles fixes.

Or, comme les arcs bb' et oa' mesurent des akigles égaux sur les cercles fixes , il faudra que l'on ait i

'SbiSa::^ :aq,

ou, en désignant Sb par B, Sa par R', bp par r et aq par r\ il faudra que Ton ait :

et ce qui vient d'être établi ayant lieu pour Tare parcouru aa\ aura- lieu pour tous les autres arcs parcourus par le cercle mobile , sur le cercle fixe. Ainsi l'on peut énoncer le théorème suivant :

La développée (tune épiajcldide extérieure est une autre épicyctcide extérieure.

Et l'on doit se rappeler , en même temps^ que les cercles mobiles, générateurs des épicycloîdes développante et développée^ sont tangents Tun à l'autre, et que les cercles fixes ont même centre , et enfiB que les rayons des cercles fixes et mobiles sont proportionnels entre eux.

D'après ce qui précède, on voit que pour obtenir la développée de l'épicycloîde extérieure, il faudra exécuter la constructioa suivante.

Mener en à la tangente commune av aux cercles Sa et aq ; puis , pur le centre S la tangente Sm' au cercle mobile aq; ces deux tangentes se couperont en v. On divisera Tangle Sva en deux parties égales par la droite vp, laquelle coupera Sa en py centre du cercle ^^ qui par sa rotation autour du cercle fixeS^, décrira par le point b la développée demandée.

On pourra opérer par rapport à la courbe if, comme on Ta fait par rapport à la courbe d, et Ton arrivera à ce résultat , savoir : que la développée y de d' est une épicycloide extérieure engendrée par un cercle il^ tangent en b au cercle Sb, et ayant même tangente Sm que le cercle bp.

De sorte que les cercles mobiles générateurs des épicycloides développée et développée de développée d'une épicycloide extérieure, sont tous tangents les uns aux autres, et ont tous deux tangentes communes passant par le point S, centre commun des cercles fixes; et les courbes obtenues ainsi sont disposées les unes par rapport aux autres de telle sorte que l'origine b d'une développée ^ correspond au sommet n de sa développante d; et cette disposition a lieu pour toutes les développées de développées des développées, lorsque l'on examine deux courbes successives.

Deuxième cas. Le cercle mobile est enveloppé par le cercle fixe ( le dwmèire du cercle mobile étant plus petit que le rayon du cercle fixe).

H sufiit de jeter les yeux sur les figures 22 et 23 pour être convaincu que les résultats sont identiquement les mêmes que ceux obtenus pour l'épicydoide extérieure, en remarquant toutefois que pour Tépicycloide extérieure les développées des développées tendent toutes vers le centre S commun aux cercles fixes, tandis que pour les épicycloides intérieures, les développées des développées s'éloignent constamment de ce centre S. De sorte que pour les épicycloides extérieures, la développante enveloppe sa développée, tandis que pour les épicycloides intérieures , la développante est enveloppée par sa développée.

Ainsi :

La développée d^une épicycloide intérieure est une autre épicycloide intérieure.

Troisième cas. Le cercle fnobile est enveloppé par le cercle fixe ( le diamètre du cercle mobile étant plus grand que le rayon du cercle fixe ).

Soit G le cercle fixe et o son centre (fig. 24 ); soit C le cercle mobile tangent en m au cercle G.

On sait que si l'on construit le cercle G'" tangent en m et ayant son diamètre égal à la droite p^, l'épicycloide intérieure E engendrée parle cercle G' roulant

sur G» de droite à gauche , sera aussi engendrée par le cercle C'^' roulant sur G de gauche à droite; en d'autres ternies, on sait que les cercles G' et G'" tangents en m au cercle fixe G et dont les diamètres sont , en somme, égaux au diamètre du cercle G, engendrent la même courbe E en roulant en sens inverse sur le cercle G. On pourra donc, dans ce cas, regarder Tépicycloide intérieure E comme engendrée par un cercle mobile dont ie diamètre est plus petit que le rayon du cercle fixe, et Ton retombe ainsi dans le deuxième cas.

Quatrième CAS. Lecerclemobile enveloppe le cercle fixe.

Soit G le cercle fixe et G' le cercle mobile (fig. 25), ces deux cercles étant tangents Fun à l'autre au point m.

Dans ce cas, si l'on construit deux cercles D et D', l'un, D, fixe, ayant son centre en o, centre du cercle fixe G; l'autre, D', tangent en n au cercle D et en

m aux cercles G et G'; et que l'on ait la proportion suivante :

Le rayon du cercle G ; au rayon du cercle G' :: le rayon du cercle D : au layon du cercle D'.

La courbe £' engendrée par le point m du cercle D' roulant sur D, sera la développée de la courbe E engendrée par le cercle G' roulant sur G.

Il est inutile d'entrer à ce sujet dans de plus grands détails. Je ne regarde point le mode de démonstration au moyen duquel je suis parvenu aux solutions géométriques précédentes comme nouveau; il est si simple qu'il est impossible qu'il n'ait pas déjà été employé, et qu'il ne soit pas dès lors connu dq[>uis longtemps. Cependant j'ai dû l'exposer, mais aussi brièvement que possible, puisque c'est par une méthode analogue que je vais être conduit à la détermination des centres de courbure des épicycloides sphériques(^).

Êpicyclddes sphériques.

Il existe aussi deux espèces d'épicycloidessphériques, les intérieures et les^a;iérieures. L'épieycloide sphérique est engendrée par un point d'un cône mobile de révolution roulant sur un cône fixe aussi de révolution , ces deux cônes ayant même sommet.

(*) La rectification de rëpicycloïde plane a été démontrée pour la première fois par Newton ( Prin' ctpei mathématique$ de la Philoêophie naturelle ).

Les épieyckfidei extérieures s'obtiennent lorsque le cône mobile est extérieur aa cône fixe ou lorsqu'il enveloppe ce cône.

Les épicyclaides intérieures s'obtiennent lorsque le cône mobile est enveloppé par le cône fixe.

Parmi les épicycloides sphériques, il en est une très-remarquable , c'est celle à laquelle on a donné le nom de développante sphérique; elle est engendrée par le point d'un plan roulant tangentiellement sur un cône fixe et de révolution. Les propriétés géométriques de ces développantes sphériques deviennent intéressantes à étudier depuis que Ton a remarqué que ces courbes pouvaient remplacer avec avantage les -épicycloides sphériques ordinairement employées dans le tracé des engrenages coniques.

{Construction des centres de courbure de f éjUcycUfide sphérique.

Comme pour les épicycloides planes , nous aurons quatre cas k discuter : i* celui où le cône mobile est extérieur par rapport au cône fixe; 2* celui où le cône mobile est enveloppé par le cône fixe; 3' celui où le cône mobile enveloppe le cône fixe ; 4* enfin , celui où le <sône mobile est remplacé par un plan tangent mobile.

Premier cas. Le cône mobile étant extérieur au cane fixe.

Concevons {fig. 26 ) dans un plan vertical trois droites SX , So et Sa , se coupant en S. La droite Sa, en tournant autour de SX comme axe, engendrera un cône de révolution ; on obtiendra un second cône par le mouvement de rotation de cette même droite Sa autour de l'axe So.

De sorte que les deux cercles engendrés par le point a rouleront l'un sur Fautre, en supposant que le cône SX reste fixe et que le cône So soit mobile (nous désignerons chaque cône par son axe de révolution); et pendant la rotation, un point du cercle mobile ao engendrera une épicycUnde sphérique extérieure.

Supposons que le point m soit un point de l'épicycloîde sphérique d:

i'' On sait que le plan tangent en m , à la sphère mobile et variable de rayon , ayant le point a pour centre et am pour rayon, contient la tangente à la courbe d pour le point m ;

2" On sait que ce plan a pour (race sur le plan du cercle mobile aOf la droite md passant par l'extrémité d du diamètre aod;

3"" On sait aussi que la trace de ce plan sur celui qui contient les axes des cônes dans la position assignée, celle où le cercle mobile passe par le point m considéré

sur l*épicycloïde d^ est une droite dP parallèle à Taxe So du côoe mobile , et par conséquent perpendiculaire au plan du cercle générateur oo;

4* on sait encore que le point P en lequel le plan mdP coupe l'axe Sa; du cône fixe, est le sommet du cône ayant pour base la courbe d, et auquel on a donné le nom de cane épicyckndal ; de sorte que tous les plans tangents aux diverses sphères mobiles et variables de rayon sont tangents à ce cône. ( Voir dans (e Traité des Machines de Hachette le chapitre sur les Engrenages coniques.)

Gela posé :

Puisque dP est, perpendiculaire au cercle aoy on voit de suite que l'angle plan

adm mesure l'angle dièdre formé par le plan des axes (SX^ So ) et le plan mdP tangen t au cône épicy cloîdal .

Si y maintenant , au point m on conçoit la tangente à la courbe d , et si l'on se rappelle qu'elle est l'intersection des deux plans tangents menés, l'un au point m de la sphère mobile ayant son centre en a et pour rayon am^ l'autre au même point m de la sphère fixe ayant son centre en S et pour rayon Sm, on voit sur-lechamp que cette tangente sera perpendiculaire au plan passant par les deux rayons Sm et am. Ce plan (Sm, am) sera donc le plan normal de l'épicycloîde sphérique pour le point m.

Remarquons que ce plan normal passe par les centres S et a des deux sphères; par conséquent on peut énoncer le théorème suivant : ' .

L'enveloppe des divers plans normaux (Tune épicycloide sphérique est une surface conique ayant même sommet que le cône fixe.

Cherchons maintenant [fig. 27 ) la nature de cette surface conique. Pour y parvenir, supposons que dans un plan vertical on prenne deux points S et S' et qu'on les regarde, le point S comme le sommet commun à deux cônes de révolution (S, E) et (S, C) [en désignant ces cônes par leur sommet et le cercle base], et le point S' comme le sommet commun de deux autres cônes aussi de révolution (S^ E') et (S', B).

Le système de ce^ quatre cônes sera tellement disposé que :

l"" Les axes SX, SX', So, S'p des quatre cônes seront dans un même plan.

2"" Les cônes (S, E) et (S, E') auront même axe de rotation.

3* Les bases B et C des cônes mobiles seront tangentes l'une à l'autre au point a et auront aussi même tangente en ce point a avec le cercle fixe E.

Ainsi l'axe SS' commun aux deux cônes fixes, et les deux points b contact des cercles B et E', et a contact des cercles C et E sont dans un même plan, auquel on donne le nom de plan méridien.

Si maintenant je suppose que le cercle B roule sur le cercle E', le point b

engendrera une épicycloide d" et en supposant que le eerde G roule en même temps sur le cercle E, le point d extrémité du diamètre aod engendrera une seconde épicyqloîde à.

Si je suppose ensuite que le eerde B arrive en B'^ le cercle G arrivant en G' et de telle manière que l'axe SS' et les deux points b'^ contact des cercles B' et E\ et a' contact des cercles G' et E^ soient dans un nouveau plan méridiemy on voit de suite que le cercle B' coupera répicycloide ï en un point n tel que Tare nb' sera égal à Tare bb' et que le cercle G' coupera Tépicycloîde den un point m, tel que l'arc étm sera égal à l'arc aa'.

De sorte que les angles aXa' et bX'b' seront égaux ; on aura donc :

arc aa! : arc W :: aX : bX';

et en désignant le rayon du cercle E par R, et celui du cercle E' par R\ on aura :

axcaà : arc 66' :: R : K.

Cela posé :

Si au point n de la courbe d\ je voulais construire la tangente, il faudrait d'abord construire le plan tangent à la sphère mobile ayant son centre en b' et pour rayon b'n.

Ce plan serait tangent au cône épicycloîdal qui aurait pour base la courbe d\ et son sommet s'obtiendrait en menant dans le plan méridien qui contient les trois axes S'p\ Sa' et SS', la droite a'P' parallèle à l'axe S'p du cône mobile. Cette droite couperait l'axe des cônes fixes en P' et ce point serait le sommet cherché.

Mais SI l'on voulait que le plan tangent au cône épicycloîdal (P', i') fût normal à la courbe i, au point m, il faudrait d'abord qu'il passât par la droite Sa'.

Ainsi, pour première cooditioa, les pointe P' et S doivent se confondre, ou, en d'auires termes , le plan du cercle B' doit être perpendiculaire à la génératrice de contact Sa' des deux cônes (S, E) et (S, G').

Cette condition étant remplie, le plan tangent au cône épicycloîdal (S, d') pour le point n de d^, pourrait biei^ ne pas: couper la courbe d en m, mais en un autre point k , à moins que l'en n'ait :

aspc ki avare oa',

auquel cas les àwx points m et ft se confondront en un seul.

Or, poiir satisfaire à cette seconde condition, il faudra évidemment que l'on ait

la proportion suivante :

R:R' :: rW

( en désignant par r le rayon du cercle B et par r' celui du cercle G')«

— iâi —

Pour Satisfaire aux deux conditions qui viennent d'être établies, la construction à employer sera la suivante :

Dans le plan vertical {fig. 28 ) on tracera Taxe SY qui doit Être commnn aux deux cônes fixes. D'un point S comme centre on décrira le cercle C qui repré* sentera le grand cercle de la sphère sur laquelle doit être tracée répicycloïde sphérique.

ad et adj cordes de ce cercle, seront sur le plan vertical les projections dès cercles bases des cônes ayant pour axe, l'un SX et l'autre $o; les centres des cercles bases des deux cônes fixe et mobile seront ainsi sur le plan vertical, Tun en X , l'autre en o.

Gela posé :

On tracera la droite ai tangente en a au cercle C ; cette droite sera, sur le plan vertical , la projection du plan du cercle qui doit engendrer Tépicycloide sphérique base du cône épicycloidal qui, ayant son sommet en S, sera l'enveloppe des plans normaux de l'épicycloîde tracée sur la sphère (S, G).

Il faudra ensuite déterminer sur at un point b tel que l'on ait en abaissant de ce point une perpendiculaire b\' sur la droitç SX,

(X' : ia :: oX : ad,

car b\' représente R, ba représente 2r', aX représente R et ad représente 2r' :

R R' et alors la condition -=--r se trouvera satisfaite.

Or , pour déterminer ce point b , il suffit de construire une droite S6 divisant

Fangle XSa en deux autres angles XS^ et éSa, tels que Ton ait :

wnYSfr R^

sin ISa

la ligne Sb étant tracée et le point b déterminé, on n'aura plus qu'à mener par le point <> , milieu de aby une perpendiculaire à la droite ofr, laquelle coupera la droite SY au point S^

Et dès lors :

i* Le cerele ad roulant sur le c^cle fixe at^, le point d engendrera une épicycloîde sphérique i, tracée sur la sphère (S, G) ayant son centre en S et pour rayon Sa (le point (f sera le sommet de la courbe i).

2* Le cercle ab roulant sur le cercle fixe bb'y le point b engendrera une épicycloîde sphérique d^, tracée sur la sphère (S^ C') ayant son centre en S' et pour rayon S'a ( le point 6 sera le point de rebroussement ou Torigine de la courbe ^),

Tous les plans normaux à la courbe i seront tangents au cône épicycloïdal a^ant son sommet en S et pour base ia courbe d\

Construisons maintenant le centre de courbure de l*épicycloide sphérique , pour un de ses points.

Rappelons-nous que le plan md!f ( fig. 27 ) tangent au cône épicycloïdal qui avait son sommet en P et pour base Tépicycloîde sphérique d, était perpendiculaire au plan du cercle mobile C\ ce cercle passant en cette position par le point m de la courbe 3 et ayant en a! son contact avec )e cercle fixe E.

Le plan normal Sa!n au point m de la courbe i sera tangent au cône épicycloïdal ayant son sommet en S et pour base Tépicycloide sphérique d'. Il sera donc perpendiculaire au plan du cercle mobile B', ce cercle passant en cette position par le point n de la courbe ^ et ayant son contact avec le cercle fixe E' en b\ Et l'on se rappelle que l'axe des cônes fixe SX et les deux contacts b' et a' sont dans un même plan méridien.

Dès lors la droite b'n située dans le cercle B' et perpendiculaire à la droite na, sera perpendiculaire au plan normal Sa n ; elle sera donc parallèle à la tangente en m à la courbe à.

Ceci montre que la tangente en m à la courbe d se projette sur le plan méridien ( Sy a, a' ) suivant une perpendiculaire à la droite Sa', contact des deux cônes

(S, E)et(S,C').

Pour avoir le centre de courbure correspondant au point m de la courbe d, il faudrait abaisser du point m une perpendiculaire sur la génératrice Sn du cône épicycloïdal enveloppe des plans normaux. On voit par ce qui précède que la construction sera facile à exécuter graphiquement; car le plan normal étant construit pour le point m, on connaîtra le point 6' situé dans le plan méridien correspondant au point m; il sufiira donc de mener du point b' une parallèle à la tangente en m, ou une perpendiculaire.au plan normal ; son pied n étant déterminé , enjoindra les points S etn par une droite et l'on abaissera du point m une perpendiculaire sur Sn; la longueur de cette perpendiculaire sera le rayon de courbure pour le point m de dy et son pied sur la droite Sn sera le centre de courbure cherché.

Lorsque Ton exécutera graphiquement la construction que je viens d'indiquer^ la remarque précédente, savoir : que la tangente en m de d se projette sur le plan méridien correspondant au point m, perpendiculairemeat à la droite de contact Sa', servira à simplifier les constructions.

Deuxième cas. Le cône mobile étant enveloppé par le cône fixe.

Tout ce qui précède s'applique, mot à mot, à la disposition particulière de»

cônes (yi^. 29) que nous examinons maintenanl. Les deux conditions auxquelles il faudra satîsfaireWont les mêmes. La construction graphique qui conduira à la détermination du cône épicycloidal /enveloppe des plans normaux de Tépicycloidesphérique intérieure, sera donc la suivante.

Chercher sur at, perpendiculaire à Sa, un point b tel que Ton ait :

sin YS6 aX R^

*<> ad ~" 2r

sin bSa

On voit que, pour les épicycloides extérieures , la projection de la courbe sur le plan du cercle base du cône fixe de Tépicycloide donnée, enveloppait la projection de répicycloide base du cône épicycloîdal enveloppe des plans normaux , tandis que, dans le cas des épicycloides intérieures, ie conlraire a lieu.

Troisième cas. Le cône fixe étant enveloppé par le cône mobile.

La construction à employer sera la suivante (/y. 30 ) : Trouver sur la droite at perpendiculaire à la droite Sa, un point b tel que Ton ait :

sin YSb aX R

. .« ad 2r ain boa

Quatrième cas. Développante sphérique.

Parmi les épicycloides sphériques il en est une remarquable et à laquelle les géomètres ont donné le nom de développante sphérique] cette courbe est engendrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant sur un autre cercle fixe; le plan du cercle mobile faisant un angle constant avec le plan du cercle ûxe^ et le rayon du cercle mobile se projetant orihogonalement sur le plan du cône fixe, suivant le rayon de ce dernier.

En d'autres termes : Supposons un cône (S) droit et fixe, un plan tangent P à ce cône; du sommet du cône (S), comme centre, décrivons dans le plan P un cercle C avec un rayon arbitraire; supposons ensuite que le plan P roule sur le cône (S); pendant ce mouvement de rotation un point du cercle C décrira une développante sphérique.

On peut donner un énoncé plus simple encore.

Soit un plan P tangent à un cône (S) de révolution ; un point du plan P décrira une développante sphérique^ lorsque ce plan roulera sur le cône.

Je suppose que Ton a présente à l'esprit l'épure que Ton construit ordinaire^»

ment pour déterminer les projections de répicydoide spbérique et de la tangente en un de ses points. ( Voir à ce sujet le Traité de Géoméine descriptive de Hachette. ) Alors ) il sera facile de voir que» si Ton projette la développante sphérique sur le plan du cercle base du cane fixe^ on obtiendra les résultats suivants, que je vais construire graphiquement, par les méthodes de la Géométrie descriptive, sans entrer dans tous les détails qui seraient superflus, l'épure sur Tépicycioîde étant bien présente à l'esprit.

Supposons (fig. 31 ) le cercle générateur ou mobile G' rabattu en G"", le cercle fixe étant G; le point s sommet du cône fixe et en même temps centre du cercle mobile G', ayant pour projections («, «^); supposons que le point m*" soit le rabattement sur le plan horizontal d'un point m delà développante sphérique, les projections de ce point m étant ( m*', m^).

Tous les points tels que m'' seront sur une courbe ^ projectk)n horizontale de la développante sphérique i.

Gela posé :

Je dis que la tangente au point m* de d^ ne sera autre que la droite m^m*' parallèle à la droite ^s**.

En efiet :

Si pour le point m de la courbe i on construit les normales des deux sphères qui passent par ce point. Tune fixe, ayant son centre en s et pour rayon sm, l'autre mobile, ayant son centre en b"" et pour rayon frm, on aura, 1"" la normale sm dont les projections sont ( «m*, ^m^), et 2* la normale bm dont les projections sont (A^m'^, Am*).

Le plan passant par ces deux normales sera perpendiculaire à la tangente Tau point m de la courbe d ; la projectioa horizontate de T sera donc perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan.

Or, il est évident que le plan normal a pour trace horizontale la droite bd perpendiculaire à la droite ^s"" ^ puisque la normale bm perce le plan horizontal au point b et que la normale sm le perce au point d

Ainsi T^ projection horizontale de la tangente T sera perpendiculaire à la tangente commune aux deux cercles G et G' placés de telle façon, Tun par rapport à l'autre, que le cerqle G' passe par le point m de la développante sphérique.

Ainsi, désignant le pian, qui oontienATaxe da cône fixe et le point de contact b des deux cercles G et G', par plan méridien correspondant an point m, on peut énoncer ce qui suit :

l'' La tangetHe en un point de ta dévehpptmte sphérique eêiparaUéle mi plan méridien correspondant à ce pomi ;

S*" Tous les plans normaux de la développante sphérique sont tangents au cône fixe ;

Ou I en d'autres termes , Centêloppe âei ptanê normaux de la développante sphérique nest autre que le cône fixe.

3^ Toutes les développées de la développante sphérique sont des hélices tracées sur un cône de révolution ;

4* Toutes les tangentes à la développante sphérique font un angle constant avec le plan du cercle base du cône fixe , lequel est le complément de celui que les génératrices du cône fixe font avec ce fhéme plan , par conséquent la développante sphérique coupe sous un angle constant les génératrices du cylindre qui la projette sur le plan du cercle base du cône fixe \ elle est donc une hélice sur ce cylindre projetant.

Construisons maintenant le centre de courbure de la développante sphérique pour le point m.

Il est évident que ce centre sera le pied de la perpendiculaire abaissée du point m sur la génératrice sb , contact du cône fixe et du plan normal dbs mené au point 9n de ladéveîoppante.On voit sur-le-champ que cette perpendiculaire sera horizontale et aura pour projections , savoir : sur le plan méridien le point m et sur le plan horizontal la droite m*p, la ligne droite m^p étant perpendiculaire à la droite s^ s\

Ainsi le centre de courbure pour le point m se projettera en m"" sur le plan méridien et enp sur le plan du cercle base du cône fixe.

Le ra^on de courbure sera égal en longueur à rri'p (*).

Développons maintenant fe cône fixe enveloppe des plans normaux , et cher clions la forme que prendra, dans le développement, la courbe lieu des centres de courbure.

Suivant Tune des génératrices ^, concevons le plan tangent e( développons le cône sur ce plan tangent.

La base C se transformera suivant un arc du cercle C" tracé, sur le plan tangent, du sommet s comme centre et avec l'apothème du cône pour rayon.

De sorte que si Ton prend un point m âur le cercle C', et abaissant de ce point

(^) La propriété d<mt jouit la dévieloppanla spliériqne d*étre n&e hélice «or le oylnidiie qui la pro<jette orUiogonalement sur le plan du cercle fixe , montre que cette courbe est rectifiable , ainsi que Jean Bemouilli Payait démontré en employant un autre mode de démonstration.

Bt eomme la- tangente à la développante sphérique pour \é point iH est parallèle an plan méridien conreqxmdaint k ce point m,, on aura en m^k la longnenr de Târo reoliâé eoihpris entre le point m et le point d'onze de la ooorbe situé sur le cercle base dn cône fixe.

On bien, désignant par h la hauteur du point m au-dessus du plan du cercle fixe , et par « l'angle que le plan du cercle mobile fait arec le plan du cercle fixe , ovt aura :

arc rectifié =*• — *

COS et

une perpendiculaire sur la génératrice êb^ on aura en son pied un point de la courbe lieu des centres de courbure.

Le cercle C en roulant sur le cercle C parcourra des arcs égaux sar ce cercle, lesquels, développés, se transformeront (fig. 32 ) en les arcs égaux Wj yb\ b"b"\ etc., sur le cercle C.

Les rayons sb^ $b\ sb'\ sb"\ etc., seront dès lors les positions que les génératrices successives de contact prendront dans le développement, ^e sorte qu'en abaissant du point m du cercle G' des perpendiculaires sur ces divers rayons, on aura les points p, p', p", p'", etc., qui seront les positions affectées sur le développement par les divers centres de courbure. Il est évident que tous ces points sont sur un cercle ayant sm pour diamètre.

Ainsi Ton peut énoncer ce qui suit :

La courbe lieu des centres de courbure de la développante sphérique se transforme , lorsque ton planifie le cône fixe sur Vun de ses plans tangents , en un cercle ayant pour diamètre C apothème de ce cône.

Si l'on regarde la développante sphérique (fig. 31 ) comme la base d'une surface conique ayant son sommet en «, on peut très-facilement obtenir la courbe intersection de cette surface par le plan du cercle base du cône fixe.

Car, remarquons que le cercle mobile G' étant rabattu en G'% le point m de la développante étant alors rabattu en m**, la droite «*'m*' sera le rabattement de la génératrice sm du cône, et cette droite «** m** rencontrera la tangente 6(f en un point d, qui est précisément celui en lequel la génératrice sm perce le plan horizontal.

Il sera donc facile de construire la courbe 9 , trace du cône épicycloîdal sur le plan du cercle base du cône fixe, sans avoir besoin de construire les projections de la développante sphérique. ( Gette remarque sera très-utile pour simplifier le tracé des engrenages coniques, pour lesquels les surfaces des^ dents sont des cônes ayant pour bases des développantes sphériques. )

Gonstruisons maintenant la tangente au point 1^ de la courbe ^ , et rappelonsnous, 1% que les tangentes de la développante sphérique font un angle constant avec le plan du cercle base du cône fixe ; T que cet angle est égal à l'angle que la génératrice du cône fixe fait avec l'axe de ce cône.

Si donc par le sommet s du cône fixe je mène sq perpendiculaire à la génératrice sb^ et que du point ^ comme centre et avec tf'q pour rayon , je décrive le cercle D, le cône («. D) aura ses diverses génératrices respectivement parallèles aux diverses tangentes de la développante sphérique.

Et comme la tangente au point m de la développante est parallèle au plan mértdien qui, contenant l'axe du cône fixe et le point 6, correspond au point m, il

s'ensuit que le plan langent au cône ( ayant pour sommet le point s et pour base la développante ) suivant la génératrice «m, passera par la droite sq; la trace de ce plan sur le plan horizontal sera donc qd tangente en d à la courbe <f, trace du cône sur le même plan horizontal.

Ainsi, supposant que la courbe 9 soit tracée, ainsi que les deux cercles C et D, pour construire la tangente en un point d de la courbe 9, il suffira de mener db tangent en b au cercle. C, puisôç perpendiculaire à db et coupant le cercle D au point q ; la droite qd sera la tangente demandée.

On peut construire très-facilement une section conique osculatrice à la courbe 9 en un de ses points d.

En effet :

Le cône {fig. 33) qui a pour sommet lé point s, sommet du cône fixe, et pour base la développante sphérique, aura pour cône osculateur celui qui, ayant son sommet en s, aura pour base le cercle osculateur de la développante sphérique.

Ainsi, pour le point m de la développante sphérique, le cône osculateur tout le long de la génératrice sm , aura pour base le cercle qui a pour centre le point projeté verticalement en m''^ et horizontalement en p , son rayon étant égal en longueur à la droite pm!". Le plan du cercle osculateur est perpendiculaire à la droite sb; la trace verticale de ce plan sera donc V perpendiculaire à «A , et passant par le point m% et sa trace horizontale sera H perpendiculaire à la ligne de terre LT.

Si donc on porte sur V à partir de m% à droite et à^ gauche, my=m>"z=mp* on aura en sp'x et syp" les génératrices extrêmes du cône osculateur son axe étant «A. (On voit que le cône osculateur est de révolution. ) Il suffira donc de chercher l'intersection de ce cône par le plan horizontal, et l'on aura une section conique osculatrice au point d de la courbe 9.

Dans le cas représenté par la figure , la section conique sera une ellipse dont Tun des axes sera xy] le point v, milieu de xy, sera le centre; et il sera facile de déterminer le second axe.

On voit sur-le-champ que la section conique aura toujours Tun de ses axes dirigé suivant la ligne de terre LT, et que cette courbe sera :

Une ellipse, si Ton a- angle Ax < un angle droit.

Une parabole, si Ton a: angle s'^sx = un angle droit. Une hyperbole , si l'on a : angle sf*sx > un angle droit.

La construction de la section conique osculatrice en un point d de la courbe 9, permet de construire le centre de courbure, et par suite d'avoir la

longueur du rayon de courbure pour un point d de cette courbe op , puisque le problème est ramené à celui-ci : construire le centre de courbure d*une section conique don( les axes et le centre sont connus en position et en grandeur. Ainsi , l'on pourra substituer à un arc de la courbe 9, ou un arc de section conique osculatrice et facile à construire, ou un arc de cercle osculateur. Cette remarque peut être utile dans les applications aux engrenages coniques.

§ in.

Il existe une infînité de courbes qui jouissent des mêmes propriétés que la développante sphérique.

En effet :

Supposons une courbe plane A {Jig. 34) et sa développée B ; concevons un cylindre G perpendiculaire au plan de la courbe A et ayant pour base ou section droite la courbe B. Toutes les développées à double courbure de A seront des hélices tracées sur ce cylindre G ; concevons une de ces hélices H , toiïtes ses tangentes feront avec le plan de la courbe A des angles égaux, et formeront une surface développable D ayant la courbe H pour arête de rebroussement.

Menons le plan P langent à la surface D suivant la génératrice se projetant sur le plan de la courbe A en mp.

Le plan P roulant sur la surface D, le point p de c? plan décrira une courbe à double courbure X qui jouira, identiquement, de toutes les propriétés qui appartiennent à une développante sphérique; et comme toutes les tangentes à la courbe X font des angles égaux avec Je plan de la courbe A, parce que toutes les génératrices de la surface D font des angles égaux avec ce même plan, la courbe X coupera sous un angle constant les génératrices du cylindre qui la projette sur le plan de la courbe A. Ainsi cette courbe X est une hélice tracée sur ce cylindre projetant.

Ainsi , Ton peut énoncer le théorème général suivant :

Tout point (fun plan , roulant tangentietlemerït sur une surface développable dont Caréte de rebroussement a pour développante une courbe plane , décrit une courbe qui est une hélice sur le cylindre qui la projette orthogonalement sur le plan de la développante de C arête de rebroussetnenU

On peut généraliser (yi^. 35) tout ce qui a été dit touchant les épicycloides planes et sphériques, en substituant aux cercles fixe et mobile des courbes planes quelconques.

Ainsi , en supposant deux courbes planes situées dans un même plan , Tune G

Gxe, Tautre D mobile et roulanl sur la courbe G; un des points de la courbe mobile engendrera une courbe à laquelle on peut donner le nom A' épicurvoloide plane.

Si Ton suppose que les deux courbes G et D ne soient pas dans un même plan, mais que leurs plans fassent toujours le^même angle enlre eux pen* dant révolution de la courbe mobile , un des points de la courbe mobile engendrera une courbe'à laquelle on peut donner le nom d' épicurvoloide à double courbure.

On peut se proposer de construire les centres decourbure de ces courbes générales. Pour arriver à la solution de ce problème , remarquons que, si Ton considère deux courbes D et D' osculatrices, l'une à Tautre, en un point a qui soit précisément celui en lequel a lieu le contact simple des courbes D et G, et que Tosculation des deux courbes D et D' soit du second ordre, c'est-à-dire qu'elles aient deux éléments rectilignes successifs communs , am^ mm ; en supposant que Det D' roulent ensemble sur G, l'élément am viendra se superposer sur l'élément an de la courbe G, puis l'élément mm' viendra se superposer sur l'élément un' de la courbe G. Pendant l'évolution des courbes D et D'sur la courbe fixe G , un point p du plan des courbes, supposé lié aux deux courbes D et D' et entraîné par elles pendant révolution, décrira un élément du cercle pp', ayant son centre en a, pendantle temps que l'élément am mettra à venir se superposer sur l'élément an; puis, pendant le temps que l'élément mm'^mettra à se superposer sur l'élément un', le point p décrira l'élément de cercle pp" ayant son centre en n y de sorte que le point/) décrira, comme lié à la courbe D', une courbe cf', et comme lié à la courbe D, une courbe d, ces deux courbes d et d' ayant deux éléments com- ' muns pp'y pp"; ces deux courbes auront donc un contact du second ordre, dès lors elles auront même centre decourbure, même cercle osculateur, même rayon de courbure.

On voit sur-le-champ q^ue ce qui vient d'être démontré dans le cas où les trois courbes G, D et D' sont dans un même plan, existera dans le cas où les deux courbes D et D' seront dans un même plan , faisant avec le plan de la courbe G un angle constant pendant l'évolution des courbes mobiles.

Ainsi , l'on peut énoncer .le théorème suivant :

Lorsque l'on, a deux courbes planes osculatrices Cime à t autre ^ si l'on suppose que la première roule sur une troisième courbe plane en entraînant la seconde , et que la seconde roule ensuite sur la troisième courbe en entraînant la première , un point du plan des courbes osculatrices décrira^ pendant C évolution de la première courbe oscula^ trice, et ensuite pendant Cévolution delà seconde courbe osculatrice y deux épicurvo-

loïdës qui seront osculatrices l'une à t autre ^ et l'osculalion entre les épicur^oloïdes sera du même ordre que celle qui existait entre tes courbes osculatrices mobiles.

Cela posé :

Concevons deux courbes planes D elD' ( fig. 36) ayant pour développées, la première la courbe Ë, la seconde la courbe E'. Je suppose ces deux courbes situées dans un même plan et en contact au point a; par conséquent leurs centres de courbure respectifs o et o seront sur la normale au point a.

Je suppose ensuite que la courbe D ait roulé sur la courbe D', et qu'un point m de cette courbe D ait décrit V épicurvololde d.

On sait que la droite am sera normale à la courbe d au point m et que, par conséquent y le centre de courbure de la courbe d pour le point m sera situé sur la droite am.

Traçons le cercle C oscillateur à la courbe D et au point a , et le cercle C osculateur à ia courbe D' et au même point a. D'après ce qui précède on voit que si l'on suppose que le cercle C roule sur le cercle CV le point m décrira une épicycloïde d' rallougée ou raccourcie, suivant qu'il sera situé hors du cercle C ou dans Tintérieur de ce cercle, et telle, qu'elle aura un contact du second ordre en m avec Y épicurvolmde cf ; ainsi ces deux courbes d et d' auront même centre de courbure.

Ce qui vient d'être dit dans le cas où les courbes D et D' étaient dans un même plan, pourra se dire de la môme manière, dans le cas où le plan de la courbe D fera avec le plan de la courbe D'^ un angle constant pendant l'évolution de D sur D'.

Ainsi , si Ton savait construire graphiquement le centre de courbure d'une épicycloïde rallongée ou raccourcie, plane ou sphérique, on saurait construire le centre de courbure d'une ^icurvo/oïde p/aize ou à double courbure f en supposant que l'on connaisse les développées, ou autrement le lieu des centres de courbure des deux courbes fixe et mobile.

Et l'on voit que l'on peut supposer. que ce soit un point quelconque n du plan de la courbe mobile, et non un point m de cette courbe qui engendre Vépicurvo^ loïde, et que la solution sera toujours la même.

§iv.

C'est par induction qvLS Ton est conduit à déterminer, par la Géométrie, la nature de la développée d'une épicycloïde plane, et par suite celle du côiie épicycloîdal enveloppe des plans normaux de Tépicycloîde sphérique.

En effet, on remarque que la développée d'une courbe offre toujours un point singulier correspondant à un point singulier delà développante; qu'ainsi, à un point nommer delà développante correspond , sur la développée, un point de

— Ui —

rebroussement de prenUère espèce; qu'ainsi, pour un point de rebraussemeni de première eipèce de la développante, la développée passe toujours par ce point. De plus, on remarque sur-le-champ que Tépicycloïde étant syméCriquement placée par rapport au cercle fixe et certains rayons du cercle, sa développée devra auàsi être symétrique par rapport à un cercle ayant même centre , et par rapport aux rayons qui, prolongés, passent par les sotnmets et les points de rebraussemeni des diverses branches de Tépicycloîde développante.

On est donc tout naturellement conduit à penser que la développée de l'épicycloîdeest une autre épicycloide, puisque cette développée doit présenter dans sa forme les mêmes particularités que la développante.

Ainsi, ayant construit une épicycloide dont lessommets sont situés sur les points de rebroussement de la développante , et dont les points de rebroussement correspondent aux sommets de la développante, il faut vérifier si, en efiet, les tangentes à cette épicycloide sont normales à la développante; et en cherchant s'il existe une condition à laquelle doit satisfaire la tangente à lepicycloide développée pour être normale à Tépicycloide développante , on voit que cette condition existe en effet et

qu*elle est établie par Téquation — = -?.

On sait que poor tracer un engrenage cylindrique intérieur ou extérieur, on trace d'abord les deux cercles primitifs A et B tangents l'un à l'autre et ayant des rayons dans le rapport inverse de celui des vitesses des axes.

Puis on engendre l'épicycloide extérieure ou intérieure, qui doit terminer la dent fixée sur le cercle A, an moyen d'un cercle D dont le rayon est la moitié de celui du cercle B; de sorte que le cercle t) donne une épicycloide intérieure au cercle IB ^ et qui n'est autre qu'Hun diamètre de ce cercle B, et ce diamètre forme le flanc de la dent fixée sur le cercle B.

Pour un engrenage conique, on sait aussi que le cône épicycloidal a pour base répicycloîde sphérique engendrée par le cercle d'un rayon moitié de celui du cercle base du cône mobile et ayant pour sommet celui qui est commun aux cônes fixe et mobile ;

Et que ce cône épicycloidal conduit un plan méridien du cône mobile. ( Voir le Traité des Machines de Hachette. )

Ces propriétés peuvent être présentées sous un autre point de vue et énoncées de la manière suivante :

1" Si un cercle B roule sur un cercle A, l'enveloppe de Tun de ses diamètres est une épicycloïde engendrée par un cercle D, d'un rayon moitié, roulant sur le cercle A .

. 2^ La même propriété a lieu pour la cycloïde.

. 3° Si un cône de révolution roule sur un autre cône de révolution (les deux cônes ayant même sommet ), l'enveloppe d'un plan diamétral du cône mobile est un cône épicycloidal ayant pour base l'épicyclolde sphérique engendrée par un cercle de rayon moitié de celui du cercle base du cône mobile et situé dans le plan de ce dernier cercle, le sommet du cône épicycloidal étant celui des deux cônes de révolution.

Le plan tangent en m au cône épicycloidal, ji^. 26, qui a son sommet en P, et pour base l'épicycloide sphérique d, fait avec le plan méridien correspondant au point m un angle qui est mesuré par l'angle des deux droites ad et dm ; parce que le plan tangent est perpendiculaire au plan du cercle mobile. Il est facile, d'après ce qui précède , de voir sur la figure 27 que le plan normal à l'épicycloide sphérique pour le point m fera avec le plan méridien correspondant à ce point, un angle complément de celui que le plan tangent en m au cône épicycloidal dont le sommet est en P , fait avec ce même plan méridien.

En effet, l'angle nab mesure l'angle du plan normal avec le plan méridien Sab'd'\ l'angle a'd'm mesure l'angle du plan tangent au cône épicycloidal dont le sommet est en Pavec le même plan Sab'd' ; et l'on sait que les arcs d!mei b'n contiennent le même nombre de degrés*

Cette propriété est, dans l'espace, l'analogue de celle qui existe pour les épicycloides planes, savoir, que la tangente et la normale en un point de la courbe épicycloidale font des angles compléments l'un de l'aulre avec la ligne des centres des cercles fixe et mobile, ce dernier cercle passant par le point considéré sur la courbe épicycloidale.