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CanstrucUan graphique du rayon de courbure en un point d^une section conique

dont on ne connaît quun certain nombre de points (*).

Dans les applications de géométrie descriptive, presque toujours les sections coniques obtenues ne sont connues que par leur périmètre ou un certain

(*) Dans le mémoire n** 1 de ce second chapitre , j'ai déjà résolu ce problème , mais la solution que j'en donne ici est différente , et repose sur d'autres considérations géométriques.

nombre de points du'périfnètre , les axes, le centre, les foyers, etc., étant ordinairement inconnus de grandeur, dé direction ou de position.

Une courbe étant donc connue, seulement, par son tracé j on demande de construire en un de ses points le rayon de courbure, en supposant toutefois que Ton connaisse la tangente en ce point, et par conséquent la direction du rayon de courbure.

Pour résoudre cette question, je m'appuierai sur les propriétés suivantes qui sont connues :

l"" Par deux sections coniques dont les plans se coupent suivant nne corde commune aux deux courbes, on peut toujours faire passerdeux cônes.

2"" Si Ton a un cône non de révolution , et que par un point de Tune des quatre génératrices situées deux à deux dans les deux plans principaux , on mène un plan perpendiculaire à cette génératrice, on obtiendra une section conique ayant pour sommet le point choisi sur la génératrice.

3"* Désignant par A et B les demi-axes d'une ellipse, on a pour la valeur du rayon de courbure au sommet situé à l'extrémité du demi-axe A :

4*" Le cylindre qui a pour section droite le cercle osculateur de la section conique obtenue par un plan perpendiculaire à la génératrice d'un cône du second ordre, est osculateur au cône tout autour du point de contact du cercle et de la section conique (ce point étant situé sur la génératrice considérée).

Cela posé, j'établis comme condition que le périmètre de la courbe est complètement donné.

Dès lôrs , je suppose (fig. 37) une section conique e (ellipse, parabole ou hyperbole, la construction graphique sera identiquement la même pour Tune quelconque de ces courbes), un point m sur cette courbe e et la tangente mr en ce point; par conséquent la normale et par suite la corde mm seront connues.

Je suppose que je connaisse ou que je construise la tangente m V en un autre point m' de la courbe e. (Ce que Ton pourra toujours faire , car en menant une seconde corde M'M parallèle à la corde mm\ les points milieux o et o' de ces cordes sont sur Te diamètre conjugué de la corde mm\ lequel passe par le point r de concours des deux tangentes mr et mV. )

Je prends pour plan horizontal de projection le plan de la courbe et une ligne de terre LT parallèle à la droite mr.

Je fais psjsser par la droite mr un plan vertical H', et dans ce plan je trace une droite G arbitraire^ mais passant par le point m.

On aura dès lors en (G\ G") les projections de la droite G, et en (m, m*') les projections de son pied m sur le plan horizontal.

Par la corde mm, je fai^passer un plan P perpendiculaire à la droite G. Dès lors le cône C qui aura son sommet sur la droite G, et pour base la courbe e^ sera coupé par ce plan P suivant une ellipse ayant son sommet en m et son centre en 0 milieu de mm\ si ce plan P coupe le plan tangent au cône G et ayant pour trace horizontale la tangente mV^ suivant une droite perpendiculaire à mm\

Donc, si par le point m' je mène une droite parallèle au plan vertical H' et perpendiculaire àia droite G, le plan passant par cette droite et par mV, et dont les traces sont (V, H) coupera la droite G au sommet S cherché.

Effectuant ces constructions, on obtient (S^^ S'') pour les projections d h sommet S.

Maintenant, si par le sommet S et par une droite D menée par le point o, dans le plan Pet parallèlement au plan vertical il', on fait passer un plan Q, ce plan coupera le cône G suivant deux génératrices qui couperont la droite D en des points sommets de Tellipse intersection du plan P et du cône G ayant son sommet en S.

(D^, D") sont les projections de la droite D ; or sera la trace horizontale du Plan Q ; cette trace coupera la courbe e en les deux points K et K'; dès lors S*K' et S*K seront les projections horizontales des deux génératrices d'intersection du cône G par le plan Q , lesquelles couperont la droite D en deux points a et a ayant pour projections, le premier (a*, a""),, le second (a*, a'*). Ainsi les axes de l'ellipse située dans le plan P sont en longueur, A=om, B=oV.

Donc pour le somn^et m de cette ellipse le rayon de courbure a pour valeur

^ "" A "" om

Si donc (fig. 38 ) je prends oa = oV, puis om=^om{om et oa étant perpendiculaires entre eux), traçant an perpendiculaire àam, on aura onc=3 p. Portant on sur D* à partir du point o% on aura en np parallèle à G'' ou perpendiculaire à D*" la projection verticale de la génératrice extrême du cylindre osculateur. Ge cylindre sera coupé par le plan horizontal suivant une ellipse ayant pour axe p et o^'p, et cette ellipse sera osculatrice par son sommet au point m de la courbe e.

Son rayon de courbure sera donc p' &=? L-Ll ^ expression facile à construire ,

et p' sera le rayon de courbure de la courbe donnée pour le point m.

Si l'on prend pour ligne de terre {fig. 39 ) la tangente mt , les constructions graphiques sont de beaucoup simplifiées , et l'on voit de suite qu'il suffit d'exécuter ce qui suit :

Tracer MM' parallèle à mm'i unir les milieux o et o' de ces deux cordes, on aura le diamètre qui, prolongé, coupera la courbe e en K, et mr en r ;

Tracer mG arbitraire ; du point r abaisser rS*' perpendiculaire à mG ; de S*' abaisser S*S^ perpendiculaire à mt) joindre les deux points K et S^ par une droite qui coupera en o* la droite menée par o parallèlement à mr ;

Par 0, mener oa parallèle à rS* ou perpendiculaire à mG; du point c^ élever cta perpendiculaire à oo^ ;

Du point o comme centre, ramener oa en o6 ; tracer f?i6, et M perpendiculaire à mfr , on aura od s=: p.

Puis du point o comme centre, ramener od sur an, et mener np perpendiculaire à oit ; joindre c/ et p , et mener pq perpendiculaire à c^ ; on aura oqf c=3 p';

Porter p' ou 09 de m en 9', on aura en q' le centre de courbure de la courbe e pour le point m.

Si le point m était voisin d'un sommet de l'ellipse ou de la parabole ou de l'hyperbole , en un mot de la section conique donnée , le diamètre et ferait un angle très-aigu avec la tangente mr^ et dès lors le point r serait à une grande distance.

Il faudrait donc pouvoir obtenir le point S*" sans avoir besoin de connaître le point r.

Or , si Ton mène xy parallèle à mmlj et zy parallèle k or^ les deux triangles

semblables zmu et mor donnent : mr = ^f.

^ mx

Abaissant du point y la droite y\] perpendiculaire à mG , les deux triangles

semblables mUi/ et mSV donnent : mS' = ^ —. De sorte que mS* = ^ — —.

•^ fujf mz

On pourra donc toujours construire le point S** sans connaître le point r.

Remarquons que l'on peut donner à la droite mG une direction arbitraire , que par conséquent l'on peut, en employant une nouvelle direction mG', construire le rayon de courbure correspondant au point m , et que l'on aura dès lors un moyen de vérification.

On pourrait ainsi construire, en employant diverses positions de la droite mG, la longueur du rayon de courbure et prendre la moyenne des longueurs trouvées.

Sous le point de vue graphique^ la méthode que je viens d'exposer, quoiqu'elle

soit un peu longue; offre des avantages que ne possèdent pas d'autres méthodes qui sont trés*élégantes et très-simples sous le point de vue géométrique.

Ainsi , la méthode donnée par M. Plucker dans les Annales de Mathématiques ^ publiées par M. Gergonne^ est d'une élégance et d'une simplicité remarquables som le point de vue géométrique; mais il me sera permis de dire que sms le paisa de vue graphique, elle ne pourrait être acceptée.

Et en effet ,

La construction de M, Pluoker est la suivante :

Étant donnés (fig, AO ) une section coaique e, un point m et la tangente mt , par suite la normale rnn; tous les cercles tels que G tangent en m à la courbe e , la couperont sous des cordes parallèles kab] si donc on mène mp parallèle à ab, le cercle ôsculateur passera par le point p.

Or il est facile de voir que cette solution n'est simple que parce que l'on suppose que le périmètre de la courbe e est connu; car si de cette courbe g on ne connaissait qu'un certain nombre de points^ il faudrait exécuter des constructions assez longues pour obtenir les points d'intersection a et 6 du cercle G et de cette courbe e ; et ces constructions seraient plus longues que celles que l'on serait obligé de faire pour obtenir dans le même cas le point K intersection de la droite or avec la courbée; attendu que or est un diamètre conjugué de la corde mm' y et que , pour le point K ( à chercher ) , on sait que la tangente est parallèle à mm.

Ainsi , toutes les constructions exigées pour obtenir définitivement le rayon de courbure par la méthode que j'ai exposée, ne seraient guère plus longues que celles qu'il faudrait exécuter en employant la méthode de M. Plucker , si l'on suppose que l'on ne connaît qu'un certain nombre de points de la section conique.

Mais en supposant connu le périmètre entier de la section conique , on doit remarquer que pour les points voisins du sommet aplati d'une ellipse , la droite mp coupera sous un angle très-aigu le périmètre de la courbe ; dès lors il y aura indécision sur la position du point p ; en outre, l'angle nmp sera très-approchant de l'angle droit si la différence entre les axes de l'ellipse est considérable, par conséquent le centre du cercle ôsculateur sera donné par l'intersection de deux droites se coupant sous un angle très-aigu.

Si l'on opère sur des paraboles ou des hyperboles , on verra de suite qu'à mesure que le point m s'éloignera du sommet, la droite mp tendra à couper la courbe en un point de plus en plus éloigné , et sous un angle de plus en plus aigu ; de sorte que la construction proposée est élégante et simple sous le point de vue géométrique, mais ne peut être acceptée comme construction graphique, puisque, en Géométrie descriptive, il faut construire rigoureusement, et de plus, pouvoir

vérifier par de nouvelles constructions les résultats graphiques obtenus ; car, en définitive , Tépure tracée par l'ingénieur doit servir à construire sur le terrain y et il faut dès lors que les erreurs , forcément commises sur le papier en vertu de Timperfection des outils, ne soient pas asâez grandes pour que, multipliées par le rapport de l'échelle au mètre , on puisse craindre des erreurs graves lors de l'exécution sur le terrain.

2. On peut obtenir une solution graphique plus simple que celle que je viens d'exposer ci^lessus , au moyen des considérations géométriques suivantes.

Supposons un cône ayant pour sommet un point S : en un point m d'une de ses génératrices G , concevons la normale N à ce cône ; par cette normale, faisons passer deux plans P et P' &isant entre eux un. angle arbitraire 6 ; le premier plan coupera lé cône suivant une courbe A , le second plan coupant le même cône suivant une courbe A' ; supposons que l'on connaisse le cercle osculateur G de la courbe A pour le point m.

Gela posé :

Si l'on regarde le cercle G comme la base d'un cylindre ayant ses génératrices parallèles à la droite G , il sera osculateur au cône donné pour le point m ; dès lors , le plan P' coupera ce cylindre suivant une ellipse E ayant un de ses sommets au point m , et ayant pour l'un de ses demi*axes le rayon du cercle G : il sera facile de construire l'autre demi-axe. Gette ellipse E sera osculatrice à la courbe A' au point m ; son rayon de courbure en m sera donc le rayon de courbure de la courbe A' pour ce même point m.

On peut facilement appliquer ce qui précède au problème proposé. En effet , la section conique F étant connue par plusieurs points ou par son tracé, la tan* gente T et par suite la normale N en un de ses points étant aussi connues, on construira dans un plan passant par la normale N ( et faisant avec le plan de la section conique F un angle arbitraire 6), un cercle G ayant pour diamètre la portion de la normale N interceptée comme corde par la section conique F.

Deux courbes du second degré qui ont une corde commune sont toujours situées sur deux cônes, dont les sommets sont feciles à déterminer : en effet, par un point a de N on mènera deux tangentes T et T' à la courbe F , les points de contact étant désignés par t et i' ; par le même point a on mènera deux tangentes T, et T', au cercle G, les points de contact étant désignés par r, et t\.

Les quatre points I, ^, u » t\ , seront unis deux à deux par quatre droites dont deux {i, i,)y (r', i',), se couperont en un point S, et deux (î\ l,), (t, t\) se couperont en un points'* Les deux pointsS et S' seront les sommets des deux cônes.

D'après ce qui précède , si Ton regarde le cercle G comme la based'un cylindre

Y ayant ses génératrices parallèles à la droite (S, m)» ce cylindre sera coupé par le plan de la section conique F suivant une ellipse E osculatrice de la courbe F au point m.

On pourra aussi regarder le cercle C comme la base d'un cylindre Y', ayant ses génératrices parallèles à la droite (S', m), lequel sera coupé par le plan de la section conique F suivant une ellipse E"; mais comme les deux ellipses E et E' auront un de leurs sommets au point m, et un axe commun ^al au diamètre du cercle C, et comme le rayon de courbure F au point m sera celui de E ou de E\ il s'ensuit que les deux ellipses E et E' se confondront en une seule et même courbe.

Ce qui précède permet d'énoncer le théorème suivant :

Si ton a deux droites ab , cd ( fig. 98 bis ) , se coupant en tm point m , tel que ton ait me £= dm ; si ton mène les droites ac , bd , se coupant «it S ; bc , ad , se coupant en S'; st par les points cet d on mène cg j dg', parallèles à Sm ; ch , dh', parallèles à S'm ; ces quatre droites viendront se couper deux à deux en les points p etq situés sur ta droite ab.

La construction graphique du rayon de courbure de la section conique donnée F, se réduira à ce qui suit ( en considérant la tangente comme ligne de terre) :

Ayant la tangente mt au point m de la courbe F (fig. 39 bis), on mènera deux tangentes np et np' à la courbe F et perpendiculairement à la droite mt. Par le point m on mènera une droite arbitraire sur laquelle on prendra deux points q et q' également distants du point m, et tels que qq' sera égal à la partie de la normale mm' interceptée par la courbe F.

Les droites pq^ p'q'y se couperont en S ; on mènera les droites qg et q^g' parallèles à la droite Sm, lesquelles couperont la tangente mc.en les points r et /; Tellipse E , osculatrice de la section conique F, au point m , aura pour ses demiaxes , savoir : mçet iitr; donc le rayon de courbure en m de la courbe F sera

donné par p =s — (*).

Construction du rayon de courbure en un point d*une courbe dont t équation

est inconnue.

3. Ce problème a été résolu de plusieurs manières. M. Bergery en a donné une

(*) Cette coDstraction pourra permettre de reconnaître graphiquement n deux sections coniques en contact par nn point sont on non oscnlatrices en ce point.

Cette constroelîon permet de tracer autant de sections coniqaes que l'on Toodra, oscolatrioes en on point d*nne section conique donnée ; car l'on sait tracer une section conique satisfaisant aux conditions d^étre tangente à trois droites, et de passer par deux points.

solulion au moyen d'uoe courbe d'erreur; dans le Bulletin de ta Société phUoma^ tMque^ j'ai aussi proposé une solution par les surfaces gauches.

Ce qui précède permet d'obtenir une solution de ce problème > en employant une surface développable.

En effet :

Soit tracée une courbe plane A ; soient donnés un point m de cette courbe et sa tangente en ce point m , et par suite ^a normale N en ce même point m. Par la droite N on fera passer un plan P faisant avec le plan de la courbe  un angle arbitraire 6 ; dans le plan P on construira un cercle C ayant son centre en un point arbitraire a de la droite N, et ayant pour rayon la droite om.

Des divers points 6, b\ b*\ etc., de la droite N, on mènera des tangentes au cercle C et à la courbe A, et l'on unira les points de contact homologues par des droites B, B', B", etc. , qui formeront les génératrices d'une surface développable D. On projettera ces diverses génératrices sur le plan Q vertical et ayant pour trace sur le plan de la courbe A la tangente en m de cette courbe , et leurs projections détermineront, par leurs intersections successives , un polygone auquel on inscrira une courbe d qui sera la projection approximative de l'arête de rebroussement de la surface D. Dès lors, ayant mené par le point m une tangente T à la courbe d, le cylindre Y ayant pour base le cercle G et ayant ses génératrices parallèles à la droite T, qui est une des génératrices delà surface développable D, sera osculateur à la surface développable D au point m. Ce cylindre Y sera donc coupé par le plan de la courbe A suivant une ellipse osculatrice , par l'un de ses sommets , au point m delà courbe A.

La construction graphique sera donc la suivante ( en considérant la tangente comme ligne de terre ) :

Soit donnée une courbe A {fig. 40 frta) , dont l'équation est inconnue ; mais on connaît sa tangente ml pour le point m, et par suite sa normale N pour ce même point m.

D'un point o arbitrairement situé sur N, et avec un rayon om , on décrira le cercle C tangent en m à la courbe A.

' Des points a 9 bj etc., arbitrairement pris sur N , on mènera les tangentes au cercle C et à la courbe A.

Des points de contact p, f, etc., sur le cercle , et des points de contact p', q\ etc., sur la courbe A, on abaissera des perpendiculaires sur la tangente mt.

Par le point m, on mènera une droite arbitraire mR sur laquelle on ramènerla du point m , comme centre et au moyen d'arcs de cercle , les pieds r, S , etc. des perpendiculaires abaissées sur mt des points p, 4, etc.

On joindra les points U, r — U, S'—*- etc. , par des droites qui formeront un polygone auquel on inscrira une courbe d» Du point m on mènera mg tangen* tiellement à la courbe d; ensuite sur la droite mR, on prendra mR~-mR'=:om, on mènera par R et R' des parallèles à la tangente mg^ lesquelles couperont nU en k et k\

Le rayon de courbure en m de la courbe A sera ;

mk

On doit remarquer que puisque l'on peut prendre la direction de mR arbitraire, on pourra 9 pour plusieurs directions différentes données à mR, calculer le rayon de courbure; et comme il y aura, vu l'imperfection des instruments, vu aussi que l'on aura toujours une indécision , quoique faible, sur la position des points de contact p', q', etc. ; comme, dis-je, il y aura dès lors toujours une erreur sur la longueur de p pour chacune des directions de mR , on pourra prendre la moyenne entre les longueurs différentes obtenues pour p et obtenir ainsi une valeur, très-*approximative et suffisante dans la prcuique^ du rayon de courbure de la courbe A.

En examinant de plus près les constructions précédentes, on pourrait obtenir quelques théorèmes nouveaux ; je me propose de revenir plus tard sur ce sujet.

i. Précédemment, nous avons supposé que la normale N au point m de la section conique donnée coupait cette courbe en deux points , et tout ce que nous avons dit, lorsque cette condition était satisfaite , ne peut s'appliquer à l'hyperbole qu'autant que les deux points d'intersection sont situés sur une même branche de la courbe; car, s'il en était autrement, le cercle construit sur la corde D et la section conique donnée ne pourraient être enveloppés par une même surface conique.

Deux cas peuvent se présenter :

l"" La normale N peut couper en deux points l'ellipse , la parabole, ou une des branches de l'hyperbole.

2!^ La normale N peut ne couper qu'en un point la parabole , ou une des branches de l'hyperbole.

Daiule premier cas, on pourra employer la construction indiquée précédemment; mais on pourra , si Ton veut , remplacer le cercle par une ellipse arbitraire E ayant son sommet en m et ayant pour l'un de ses axes la corde D ; et le plan R de cette ellipse pourra faire avec le plan de la courbe donnée un angle arbitraire.

On connaîtra ie rayon de courbure p de cette ellipse E^ pour le sommet m, car ses axes seront 26 et D , et l'on aura :

Maintenant, si dans le plan R on trace un cercle C ayant son centre au centre de courbure de l'ellipse E pour le point m, et ayant son rayon c=; p; si l'on construit l^s sommets y 9 tf\ des deux cônes enveloppant la section conique donnée et Fellipse E; si Ton trace les deux droites my, mif ; si l'on considère le cercle G comme la base de deux cylindres dont les génératrices seront respectivement parallèles aux droites my^ my'\ ces deux cylindres se couperont suivant une ellipse ty dont le plan ne sera autre que celui de la section conique donnée , et laquelle sera osculatrice par son sommet au point m de la section conique donnée.

Il sera facile de construire graphiquement , au moyen de la Géométrie descriptive ^ les axes de cette ellipse e, et par suite la longueur de son rayon de courbure p' pour son sommet m, et le rayon p' sera le rayon de courbure démandé, pour le point m de la section conique donnée.

Remarquons que si l'on suppose que l'ellipse £ est la base commune de deux cylindres dont les génératrices seront respectivement parallèles aux droites my, my\ ces deux cylindres se couperont suivant une ellipse B^ ayant son sommet en m j laquelle sera dans le plan de la section conique donnée, et qui sera osculatrice en m à cette section conique.

Remarquons encore que : Le plan R peut faire des angles différents avec le plan de la section eoniquedonnée ; que l'ellipse E peut varier, l'un de ses axes 26 variant ( car l'axe D qui est la partie de la normale N interceptée par la section conique donnée ne peut varier) ; et que l'on obtiendra toujours la même ellipse B.

Dans le deuxième cas, on tracera dans le plan R arbitraire, mais qui passe toujours parb normale N, une parabole Payant son sommet au point m de la section conique donnée. On connaîtra le rayon de courbure p pour le sommet de cette parabole (dont le paramètre sera toutefois arbitraire). Mais cette parabole devra être située du même o6té que h branche de la section conique proposée, par rapport au plan passant par les tangentes menées au point m , soit à la courbe P , soit à la section conique donnée.

Car ce n'est qu'autant que cette condition est satisfaite, comme on le sait, que la parabole P et la section conique donnée pourront être enveloppées par deux cônes.

Tout ce qui a été dit précédemment, en employant une ellipse E, se reproduira dans le cas où l'on est obligé d'employer une parabole.