S VIII

Cmsiructian de rayons de courbure maximum et mMmum pour un point donné d'une

surface du second ordre.

Je passe maintenant aux surfaces du second ordre, et je me propose la solution du problème suivant {*) :

Étant donnés une surface du second ordre S, un point m de cette sur/ace ^ le pUm tangent T ence point , et la normale N ; construife les rayons de courbure maximum et minimum de la surface S et la direction des lignes de courbure se croisant au point m.

1 . Pour mieux flxer les idées, supposons d*abord que la surface S est un ellipsoïde à trois axes; nous discuterons ensuite, avec plus de facilité, le problème dans tous les tcas qui peuvent se présenter. ^

La normale N percera toujours la surface en un second point m', et je désigne par D la longueur de la partie de la normale interceptée par la surface.

Au point m\ concevons un plan tangent T', et dans ce plan une droite V passant par le point m' et dirigée perpendiculairement à la normale N.

Par les deux droites V et N, concevons un plan R , lequel coupera le plan tangent T suivant une droite V parallèle à V.

Puis , dans le plan R et du point o milieu de la corde D comme centre et avec un rayon = 4 0, décrivons un cercle C.

Maintenant, si par la normale N je fais passer une suite de plans, chacun d*eux coupera la surface S suivant une ellipse E et le plan tangent T suivant une droite I , tangente en m à la courbe E.

Les deux courbes E et C ayant une corde commune D , pourront être enveloppées par deux cônes ; de sorte que nous pourrons considérer la courbe E comme une section conique donnée, dont on voudrait calculer le rayon de courbure pour le point m.

Et Ton appliquera la méthode indiquée précédemment. Ainsi : on mènera à la courbe E deux tangentes p etp' perpendiculaires à la droite t, lesquelles couperont cetle droite t en deux points xei x'; on mènera au cercle G deux tan* gentes perpendiculaires au plan T , lesquelles couperont ce plan en deux points a et a' (ces deux points a et a' seront fixes, lor8<^ue Ton considérera une autre section E' faite dans la surface S ).

C) 11 faut, pour lire ce qui suit , avoir présent à Tesprit ce que j'ai dit dans le Coun de géométrie deseriplive , cbap. XII , sur la constitution géométrique des surfaces du second ordre et sur les diverses propriétés qui en dérivent.

Joignant les points a et Xj a et x\ les deux droites obtenues concourront en un point y] joignant les points met y par une droite, et menant par le point a une parallèle à la droite my^ elle viendra couper la droite t en un point r, et dès lors le rayon de courbure de la section £ pour le point m sera :

mr'

D'après cette construction on voit :

l** Que si l'on suppose un cylindre tangent à la surface S et ayant ses génératrices parallèles à la normale N , ce cylindre sera coupé par le plan T suivant une ellipse e, dont le centre ne sera pas au point m (mais ce point m sera toujours situé dans Fintérieur de l'ellipse i).

2* Que si de ce point m on mène dans le plan T une suite de droites telles que r , elles couperont l'ellipse e en des points tels que x ei x\ et qu'en unissant ces points X et x' avec les points fixes a et a\ et achevant la construction indiquée ci-dessus, on obtiendra une suite de points tels que r, lesquels formeront une courbe dont le centre sera évidemment en m.

2. La courbe lieu des points r est, dans ce cas, une ellipse, et cette courbe n'est autre que V indicairice y dont les propriétés ont été démontrées pour la première fois par M. Charles Dupin, dans ses Développements de géométrie. Plus loin, je montrerai comment on peut arriver à l'équation de la courbe lieu des points r. Mais démontrons qu'en effet elle est Vindicatrke pour le point m de la surface S.

Supposons que Ton ait construit pour le point m Pellipsoîdç S' osculateur en ce point par son sommet à la surface S, et supposons que soq demi-axe dirigé suivant la normale N est = ; D.

Chacun des divers plans passant par la normale N , coupera la surface S suivant une courbe E , et la surface osculatrice suivant une courbe B. Les courbes E et B seront osculatrices en m.

Or le rayon de courbure de la courbe B pour le point m est, comme on sait, en désignant ce rayon par p', et en désignant par d le demi-axe de l'ellipse B et qui est perpendiculaire à la corde D,

rD

Et Ton sait que les axes tels que 2d sont les divers diamètres de l'ellipse principale ( de la surfaces' ) dont le plan est perpendiculaire à D. Ainsi, les divers rayons vecteurs mr de la courbe lieu des points r sont égaux aux droites telles que d. Ainsi, la courbe lieu des points r n'est autre que la projection sur le plan T de la section principale ( de la surface S' ) dont les demi-axes sont

et minimum de la surface S pour le point m.

Remarquons que jusqu'à présent Vindicatrice ne pouvait être construite qo'au^ tant que Ton connaissait les rayons de courbure maj;tmtim et minimum de la surface S, et la direction des lignes de courbure se croisant au point m, tandis que je parviens à construire graphiquement les divers points r de Vindicatrice, et directement; de sorte que si j'en construis les axes^ j'aurai la direction des lignes de courbure et la longueur des rayons de courbure maximum et minimum pour le point m de la surface S.

'Ainsi, l'en pourra maintenant construire graphiquement (en employant comme outil la Géométrie descriptive) la longueur des rayons de courbure maximum et minimum d'un ellipsoïde à trois axes, et la direction de ses lignes de courbure, pour l'un quelconque de ses points , pourvu que Ton connaisse seulement la normale en ce point.

3. D'après ce qui précède , on peut énoncer le théorème suivant, dont la solution n'a été appuyée que sur les propriétés suivantes :

V Valeur du rayon de courbure au sommet d'une ellipse ;

2"" Par deux sections coniques qui ont une corde commune, on peut faire passer deux cônes;

3"" Le cylindre qui a pour base le cercle osculateur en un point m d'une section plane d'un cône, et ses génératrices parallèles à la génératrice du cône passant au point m , est osculateur au cône tout autour du point m.

Étant donnés une surface du second ordre S (ellipsoïde à trois axes), un point m de cette surface et la normale N en ce point, laquelle coupera la surface S en un second point m'; construisant les plans tangents^ T en m, et T en m'; traçant dans ie plan V une droite M' perpendicidaire à la normale N; faisant passer par les droites y' et fi un plan R; traçant dans le plan R et sur la carde mm' comme diamètre un cercle C] si par la normale N on fait passer un plan arbitrcàre Q coupant la surface S suivant une section conique (ellipse) E, les deux courbes EetC seront situées sur deux cônes dont les sommets y et y' seront sur la droite intersection des deux plans tangents T et T'; si Can regardfi le cercle G comme la base commune de deux cylindres H et H' aifanl leurs génératrices respectivement parallèles aux droites my et my^ ces deux cylindres se ctm^ peront suivant une section conique ( ellipse ) 9 , dont le plan ne sera autre que le plan Q, et cette section conique S sera la section faite par te plan Q , dans la surface du second ordre S' (ellipsoïde à trois axes) osculatrice à la surface S par tun de ses somneU et

au point m. Cette siarface osculatrice S' aura l'un de ses axes égal à mm', ses outres

axes étant ymm'\ R et y mm' . R' ( R ^^ R' étant les rayons de courbure maximum et minimum de la surface S pour le point m ).

4. Examinons maintenant ce qui doit arriver, en considérant les diverses autres surfaces du second ordre.

La normale N peut se comporter de deux manières différentes par rapport à la surface.

l"" La normale N peut couper la surface composée d'une nappe ou une même nappe de la surface ( lorsqu'elle est composée de deux nappes) en deux points.

2^ La normale N peut ne couper la surface ou une même nappe de la surface qu'en un point.

£t le premier et le deuxième cas doivent être , chacun , séparés en deux.

i"" Lorsqu'au point considéré sur la surface les rayons de courbure sont dirigés dans le même sens.

^ Lorsqu'au point considéré sur la surface les rayons de courbure sont dirigés en sens opposés.

5. La courbe de contact d'un cylindre et d'une surface du second ordre est toujours plane ; elle est toujours une section conique.

Si Ton projette orthogonaiement cette courbe de contact sur le plan T tangent en tu y ayant eu soin de prendre les génératrices du cylindre enveloppe parallèles à la normale N au point m de la surface du second ordre, sa projection e sera une ellipse, ou une parabole, ou une hyperbole, et le point m sera toujours situé dans l'intérieur de l'ellipse, de la parabole, et d'une des branches de l'hyperbole ou entre les deux branches de l'hyperbole.

6. Si l'an suppose que par le point m on mène une suite de droites telles que t coupant la section conique E en des points tels que x et x', et que par le point m on mène une droite arbitraire sur laquelle on prenne deux points arbitraires a et d/y mais également distants du point m; en effectuant la construction indiquée précédemment, on trouvera des points tels quer, et en cherchant par l'analyse algébrique appliquée à la Géométrie, l'équation de la courbe lieu des points r, on trouvera que cette courbe est une eUipse lorsque la covrbe E est une ellipse ou une parabole, et lorsque le point m est dans Tintérieur d'une des branches de l'hyperbole E ; et qu'elle est une hyperbole lorsque la courbe E est une hyperbole (^), mais que le point m se trouve situé entre les deux branches de la courbe E .

(*) Suivant la nature de la surface da second degré et de la direction de la nonnale.N , il ne sera pas toujours possible de construire un cylindre parallèle à la droite N et tangent à la surface donnée ; dès lors al paraîtrait que Ton ne pourra pas dans tous les cas connaître la nature de la courbe lieu des points r.

Mais si Ton- prend un point arbitraire sur un diamètre X parallèle à la normale N ^ on pourra

Cela posé :

7. Examinons les diverses es|)èces de surfaces du second ordre.

VLa surface S ayant ses rayons de courbure dirigés dans le même sens, et la normaie N coupant la surface ou une de ses nappes en deux points.

( Ellipsoïde , paraboloide elliptique , hyperboldide à deux nappes.

La construction indiquée pour Tellipsoîde à trois axes s'appliquera ici identiquement ; mais on pourra substituer au cercle C une ellipse arbitraire G ayant pour axe la partie D interceptée sur la normale par la surface S et dont le plan R coupera les deux plans tangents T et T' suivant deux parallèles.

Dès lors les cylindres ayant G pour base commune et leurs génératrices parallèles respectivement aux divers couples de droites telles quemy et my\ se cou* peront toujours suivant une ellipse qui sera située dès lors sur un ellipsoïde osculateur par son sommet au point m de la surface S, et dont Tun des axes sera égal à D.

Car, dans ce cas, X indicatrice sera une ellipse, parce que le cylindre dont les génératrices seront parallèles à la normale N, et lequel enveloppera la surface S, aura (en vertu de la constitution géométrique des trois surfaces en discussion)

toujours le regarder comme le sommet d'un cdne tangent à la surface donnée , et quelle que soit la position du 'point sur la droite X , le plan de la courbe de contact sera toujours un plan conjugué de la droite X ; quel que soit donc le point pris sur X, toutes les courbes de contact seront parallèles ; par conséquent , en supposant le point situé à Tinfini sur X (et , ce qui revient au même , sur N ) , lors même que pour cette position particnliêre du point la courbe de contact n'existerait pas , ou p1nt6t se trouTerait située à Tinfini , elle n'en sera pas moins de même nature que celles obtenues en prenant des points situés à distance finie sur X.

Ainsi , lorsque la courbe de contact d'un cône ayant son sommet sur un certain point situé à distance finie sur X , sera une ellipêe ou une parabole , la courbe lieu des points r sera toujours une ellipse , et si, la courbe de contact est une hyperbole , la courbe lieu des points r sera toujours une hyperbole ^ quelle que soit la position du point que l'on aura à considérer sur la droite X , en Tertu des données particulières de la question , et ainsi que ce point soit à distance finie ou infinie sur cette droite X.

Il faut encore remarquer que la courbe lieu des points r peut être déterminée sans avoir besoin de connaître sur le plan T la projection orthogonale de la courbe de contact de la surface S et du cylindre parallèle à la normale N. Car il sufiit de connaître sur le plan T la position des sommets y^ y\ des deux cônes enveloppant la section faite dans la surface S par le plan Q et la courbe tracée dans le plan R. Or on peut déterminer la position de ces sommets , que la courbe de contact du cylindre et de la surface existe ou n'existe pas ;, on voit donc que cette conrbe de contact n'est point nécessaire pour construire la courbe lieu des points r, mais que la nature de cette courbe de contact sert à reconnaître la nature de la courbe lieu des points r.

La recherche de l'équation algébrique de la cotu*be lieu des points r est très-longue; en employant la méthode des projections, ou en d'autres termes, la Géométrie descriptive, comme méthode de recherche , on parvient très-promptement , comme on vient de le faire, à démontrer la nature géométrique de cette courbe.

pour courbe de contact avec la surface S une ellipse ou une parabole , et jamais une hyperbole.

Si au contraire on considère le cercle osculateur en m à l'ellipsoide G comme la base de deux cylindres dont les génératrices seront respectivement parallèles aux divers couples de droites, telles que my et my^ ces deux cylindres se couperont suivant une ellipse située sur un autre ellipsoïde osculateur par son sommet au 'point m de la surface S et dont Fun des axes sera dirigé suivant la normale N et sera égal à 2p, ou sera égal au diamètre du cercle osculateur de la courbe G pour le point m.

2"* La surface S ayant ses rayons de courbure dirigés dans le même sens, et la uormide N coupant la surface ou une de ses nappes en un seul point.

( Paraboloide elliptique, hyperboloxde à deux nappes. )

Dans ce cas, on fera passer par la normale N un plan arbitraire R, dans lequel on tracera une parabole P d'un paramètre arbitraire, mais ayant son sommet en m et la normale N pour axe.

Et suivant que Ton considérera les cylindres ayant la parabole P, ou le cercle osculateur en m de cette parabole/ pour base commune, on obtiendra un paraboloide elliptique ou un ellipsoïde, chacun d'eux étant osculateur par son sommet à la surface S et au point m.

Car Y indicatrice sera toujours une ellipse , parce que le cylindre parallèle à la normale N touchera la surface S suivant une ellipse ou une* parabole^ et jamais suivant une hyperbole , en vertu de la position qu'aifecte la normale N par rapport aux surfaces en discussion.

3* La surface S ayant ses rayons de courbure dirigés en sens opposés , et la normale N ne la coupant quen un seul point.

( Parabobtdejiyperbolique , hyperboloide à une nappe. )

Dans ce cas, on fera passer par la normale N un plan arbitraire R dans lequel on tracera une parabole P d^un paramètre arbitraire, mais ayant son sommet en m y et pour axe la normale N. -

Et Ton opérera comme précédemment.

Mais il faut remarquer que les diverses sections faites dsfns la surface S par les divers plans Q (lesquels passent par la normale N) doivent être situées avec la parabole P d'un même côté 4m plan tangent T, pour que chacune de ces sections et la parabole P puissent être enveloppées par deux cônes.

Or, comme les rayons de courbure sont dirigés en sens opposés, on voit que

certains plans Q couperont la surface S suivant des sections tournées dans un aras par rapport au plan T, et certains autres suivant des sections tournées eft sens opposé par rapport à ce même plan T.

On devra donc, dans ee cas, employer deux paraboles P et P' tournées en sens opposés et ayant le point m pour sonoiet commun , et la normale N pour axe commun. ( Du reste, les panJboles seront situées dans un même plan R ou dans des plans différents. )

Chacune des paraboles I^ et P' conduira à construire les diverses sections perae boliques d'un demi-paraboloîde hyperbolique osculateur par son sommet à la surface S et au point m.

Car Vindicatrice sera une hyperbole, parce que le cylindre parallèle à la nor* maie N a pour courbe de contact une hyperbole, en vertu de la position que la normale N affecte par rapport aux deux surfaces employées.

Et en considérait les cerclés osculateurs des paraboles P et P', on sera conduit à trouver les seclions elliptiques des deux demi-hyper boloîdes à une nappe situés 4'un d'un côté y l'autre de l'autre côté du plan tangent T ; et ces deux byperboloîdes seront tournés en sens inverses , de sorte qu'un plan passant par la normale N coupera le premier suivant une ellipse,. et le second suivant une hyperbole, eiviceverséu

Le plan tangent T coupe la surface S suivant deux génératrices droites A et A', qui font entre elles deux angles suppléments l'un de Fautre, t; et v\

En considérant le cercle osculateur à la parabole P^ on construira les divers points r situés sur une hyperbole e ayant pour asymptotes les droites A et A', et cette courbe e sera dans l'angle v.

En considérant le cercle osculateur à la parabole P', on construira les divers points r situés sur une hyperbole a' ayant aussi pour asymptotes les droites A et A'; mais elle sera située dans l'angle v.

Nous avons vu qu'en considérant successivement les paraboles P et P' comme bases communes des cylindres, les intersections 4e*ces cylindres donnaient les sections paraboliques de deux demi-paraboloîdes hyperboliques osculateurs.

Pour que ces deux demi-paraboloides appartiennent à un même paraboloîde , il faudra que les hyperboles e et t soient conjuguées l'une à l'autre, c'est-à-dire que Taxe réel de la courbe e soit l'axe imaginaire de la courbe e', et vice versa.

A"" La surface S ayant ses rayons dirigés en sens apposés , et la normale N coupant la

surface en deux points.

( Hyperboloide à une nappe. )

Dans ce cas, le plan Q passant par h normale N coupera, suivant sa direction ,

la surface S suivant des courbes dirigées en sens opposé par rapport au plan langent T mené au point m.

Les sections seront ou des ellipses ou des hyperboles.

Lorsqu'elles seront des ellipses , on emploiera une ellipse arbitraire E construite dans un plan R coupant les deux plans tangents T et T' suivant des parallèles, et cette ellipse aura pour axe la partiel) de la normale interceptée par la surface S.

Lorsqu'elles seront des hyperboles ^ on emploiera une hyperbole B arbitraire et construite sur D comme axe réel.

On obtiendra , en considérant Tellipse E comme la base commune de deux cylindres, les sections elliptiques d'un demi-hyperboloide à une nappe, osculateur en m.

On obtiendra , en considérant l'hyperbole B comme la base commune de deux cylindres, les sections hyperboliques d'un autre demi-hyperboloîde à une nappe, et aussi osculateur en m.

Pour que ces deux demi hyperbolmdes appartiennent à la même surfoce, il faudra que les courbes e et e\ lieu des points r, soient des hyperboles conjuguées.

En considérant les cercles osculateurs des courbes E et B, on est conduit aux sections elliptiques de deux hyperboloides tournés en sens opposés et situés de cdlé différent par rapport au plan T.

Vindicairice est toujours dans ce cas une hyperbole.

8. Je ne suis point entré dans les détails de démonstration pour les divers cas , parce que d'après tout ce que j'ai dit touchant l'ellipsoïde à trois axes, il est facile de reconnaître l'existence des diverses propriétés que j'ai énoncées pour les diverses surfaces successivement examinées.

9. On voit que l'on peut, au moyen delà Géométrie descriptive^ par des méthodes graphiques simples , par les intersections successives de couples de deux cylindres qui ont tous pour base commune une section conique donnée, déterminer les surfaces du second ordre osculatrices par leur sommet en un point quelconque d'une surface du second ordre.

10. On peut généraliser tout ce qui précède en supposant que par le point m de la surface S passe une droite arbitraire M, et non une normale N. Dès lors, par des considérations analogues à celles employées précédemment, on arrivera à construire, pour ainsi dire de toutes pièces^ des surfaces du second ordre osculatrices au point m de la surface proposée.

§ IX

Si l'on parvenait à démontrer par la Géométrie pitre le théorème suivant :

Étant données trou section$ normales C, C, C", (Tune surface quelconque S, en un point m de celte surface; construisant trois sections coniques e, e', e", osculatnces au point m de ces trois courbes C, C. C" ( et établissant pour condUion que les trois courbes auront leur sommet en m et pour axe commun une portion D de la tiormale N au pomt m de la surface S), on aura une surface du second ordre S' déterminée par les trou courbes e, e', e", laquelle aura pour un de ses axes la droite D- Fmsant passer parla^ normale N un plan sécant arbitraire , lequel coupera la surface S suivant une courbe C et la surjace S' suivant une section conique e'", les courbes C" et e'" seront oscuUomes au point m ; èl par suite , si l'on considère les deuxcourbes C" et C" comme te»directrices courbes iSune surface développable B , le cylindre qui aura pour base la section conique e", et qui sera osculateur à la surface S tout aulaur du point m , sera coupé par le plan de la courbe C" suivant une section conique qui ne serait autre que e'".

Et l'on déduirait encore comme corollaire le théorème suivant :

Étant données V une surface développable; 2' une section plane C de cette surface, et 3» la génératrice G de la surface développable passant par un point va de la courbe C, le cylindre qui a pour base le cercle osculateur de la courbe au point m et dont les génératrices sont parallèles à la droite G , est osculateur à la surface développable tout autour du point m.

On pourrait établir toute la théorie des courbures des surfaces sur de simples considérations géométriques, et en employant comme outil ou méthode de recherche, non Y Analyse, mais la Géométrie descriptive.

Or voici une démonstration géométrique du théorème énoncé.

Il est évident que lorsque deux cylindres ont leurs génératrices parallèles, et pour base deux courbes osculatrices en un point, ils sont osculateurs l'un à l'autre tout le long de la génératrice de contact.

GbIs Dosé i

Si par le point m on mène une droite arbitraire D , et que l'on prenne sur cette droite des points également distants entre eux p, p, f'f'^f^^' ^^ lesquels on fasse passer respectivement des plans parallèles P, P', P", P , etc.^ ^^ ^^^

Si par le point mon fait passer une suite de plans normaux R, R', R , R > et«M faisant entre eux des angles égaux et coupant respectivement la surface courbe donnée suivant des courbes C , C, C", C", etc.

SI Ton projette ces courbes par des droites parallèles à la droite D , savoir : C sur le plan P en la courbe C,, G' sur le plan P' en la courbe G/, etc.

Si Ton projette de la même manière les sections faites dans la surface du second ordre osculatrice en m , par les plans R , R', R'^ etc., savoir : a sur le plan P en a, y a' sur le plan P' en a\ , etc.

Si ensuite on fait tourner dans les plans P, P', P", etc. , et autour des points p\ p", etc. , les courbes G', et a\ , G", et a", , etc. , les premières d'un angle «, les secondes d'un angle 2a , etc. (^}.

En^ leurs nouvelles positions , les courbes G, , G',, G", , etc., et a, , a', , a'\ , etc., formeront deux surfaces M et M', ayant une génératrice droite commune D^ et un élément gauche commun suivant la génératrice D.

Si l'on suppose enfin que les courbes G et a , G' et a'^ G^' et a'\ sont oscuiatrices , les courbes G. et a, , G', et a\ , G", et a", , seront aussi osculatrices en leurs nouvelles positions.

Si donc on construit en chacun des points p, p\ p", les plans tangents T, T\ T'j ils couperont les surfaces M et M' suivant des courbes N et N,, tangentes en p ^ N' et N', tangentes en p', N" et N'',, tangentes en p", parce qu'il y a un contact 4u second ordre entre les courbes C, et a,, G', et a\y G", et a^.

Les tangentes i , c'et t'\ à ces courbesde sections , aux points p, p^ et p' détermineront un hyperboloide à une nappe osculateur en même temps aux surfaces M et M' et tout le long de la génératrice D (**); les deux surfaces M et M' sont donc osculatrices l'une à l'autre tout le long de la droite D ; donc, etc.

(*) Il faut employer une méthode de transformation ( pour paner de la snrface proposée et de aon osculatrîce aux surfaces M et H' } , telle que la surface transformée reste géométrique^ la surface proposée étant elle-même une surface géométrique. C'est pour cela que j'ai pris des points également distants sur la droite D pour y transporter les projections des sections faîtes par les plans H , R'^ R", etc.

Mais on peut opérer autrement :

On peut supposer que par la normale M au point m de la surface donnée , passe un plan Qx» F et qu'un plan normal R coupant la surface proposée sniyant une courbe G, fasse avec le plan F un angle /.

Sur la droite I> passant par le point m , on prendra un point fixe p» et par ce point on mènera un plan fixe f perpendiculaire à D.

Cela posé : on pourra prendre sur D un point ]/ tel que sa distance au point p soit une fonction de l'angle «T et' projeter sur le plan F, parallèle au plan f et passant par le point p', la courbe G en la courbe G,.

Puis faire tourner la courbe G, autour de la droite D et dans le plan P d'un angle «t qui sera une nouvelle fonction de /.

Dès lors , la surface lieu des courbes G, sera une snrface géométrique*

{**) Les deux surfaces M et M' sont tangentes Tune à l'autre tout le long de la génératrice D («n vertu de la construction employée pour obtenir ces deux surfaces ) .

Les trois plans tangents T, T' et T", couperont la surface H suivant trois courbes B, B', B", ayant pour tangentes les droites f, f , f ', lesquelles seront les directrices d'un hyperboloide U oecnlateor de

Ainsi , toute la théorie de la courbure des surfaces peut être appuyée sur ce qui suit :

l"" Sur la valeur du rayon de courbure au sommet d'une section conique ;

2"* Sur la construction de Thyperboloide à une nappe osculateur à une surface gauche tout le long d'une de ses génératrices droites.

Je crois devoir entrer dans quelques détails au sujet du mode de transformation que j'ai employé ci-dessus , afin d'être plus clair et de bien montrer que les raisonnements géométriques sont complets.

Supposons une surface gauche S engendrée par une droite qui s'appuie sur trots courbes G, G', G"; il est évident que Thyperboloide tangent tout le long d'une génératrice G, contient la génératrice infiniment voisine G'. Il est bien évident aussi que si Ton considère trois génératrices successives et infiniment voisines G, G', G", l'hyperboloïde H déterminé par ces trois droites comme directrices sera osculateur à la surface S tout le long de la génératrice G.

la surface M tout le Icmg de la droite D. Les trou plans tangents T, T\ T", oovperont aussi la surface M suivant trois courbes A, A', A", ayant pour tangentes les droites 9, 6', 6", lesquelles seront les directrices de rbyperboloide U' osculateur de la surface M' tout le long de la droite D. Les plans P, P', P", coupent les surfaces M et M' suivant des courbes C, et a„ C, et a',. G", et a"„ qui sont oscuWtrices entre elles aux points p, p'tP"; mais ces mêmes plans couperont Thyperboloïde U suivant trois courbes b^ b\ h" osculatrices des courbes G,, G'., G"„ et couperont aussi lliyperboloïde U' suivant trois courbes é^\âl\ oscula- Irices des courbes a„ a'„ à't* Par conséquent les courbes h et d, h' et d', h" et d", seront osculatrices entre elles aux points p, p'» p".

Et comme rbyperbolofde U on U' peut être considéré comme engendré par une droite qui se meut en s^appuyant sur les trois courbes 5, h\ h'\ ou d, d', d", il s'ensuit que les deux byperboloSdes U et U' auront trois génératrices droites successives et infiniment voisines , communes ; et que dès lors ils seront oscnlatenrs Pan à l'aube suivant la droite D. Mais comme trois droites ne peuvent déterminer qu'un seul hyperboloSde ^ on doit encondare que le» deux surfaces U et U' ne sont qu'un seul et même hyperbololde oscnlatenr, en même temps , aux deux surfaces M et M', et tout le long de la droite D. (Ainsi , les courbes B et A, B' et A', B" et A", ont un contact du premier ordre , ou, en d'autres termes, les droites t et ^, f et d', f et 0", se superposent. )

H. Charles IHipin a démontré directement par la Géométrie, que la section faite par un plan diamétral parallèle au plan tangent an point considéré sur la surface , conduisait k la longueur des rayons de courbure et k la direction des lignes de courbure se croisant en ce point , et c'est à cette section qu'il a donné le nom d'tndtca/rtce ; la méthode géométrique que j'ai employée dans la recherche, des rayons de courbure, de Vinéêeatrieey etc., diffère de celle employée par M. Charles Dupin, et je la crou d'une application plus facile dans la pratique. Je dois ajouter que M. Charles Dupin a en effet appuyé seulement sur des considérations de Géométrie pure toute la théorie des courbures des surfaces, dans es développements de Géométrie; mais en même temps je dois faire remarquer que la marche que j'ai suivie diffère essentiellement de celle qu'il a adoptée, et me paraît être (lus dans l'esprit de la Géométrie descriptive , parce que l'on peut vérifier par de nouvelles constructions chacun des résultats graphiques; d'ailleurs elle s'applique sans difficulté à toutes les surfaces du deuxième ordre, tandis que par celle employée par M. Dupin on ne voit pas bien comment on arrive kVindicatrice pour les surfaces qui n'ont pas de centre , et de plus , aucune vérification graphique ne peut être effectuée, en suivant la méthode de If» Dupin.

Un plan arbitraire coupera évidemment les surfaces S et H suivant deux courbes ayant un coniact du second ordre, ayant deux éléments rectilignes et successifs communs.

Désignons par g, g\ g'\ etc., les génératrices du second système de Tbyperboloîde H, les génératrices G, G', G", étant trois génératrices du premier système.

Il est évident encore que tout plan R passant par g coupera la surface S suivant une courbe ayant un contact du second ordre avec g ^ ayant au point de contact deux éléments rectilignes-successifs en ligne droite , ayant un rayon de courbure infini.

Et il est évident que si le plan sécant R devient un plan tangent à la surface S, il sera aussi plan tangent à la surface H , par conséquent il coupera la surface S suivant une courbe A qui aura g pour tangente (et peu importe de connaître de quel ordre sera le contact de g et A) (^).

Ceci démontre donc que si en chacun des points de la génératrice G on mène des plans tangents à la surface S, ils couperont cette surface S suivant des courbes A, A'/ A", etc., donl les tangei^tes g, g^ g'\ etc., formeront un byperboloide osculateur de la surface S tout le long de la génératrice G. Par conséquent , pour toute surface qui ne serait pas r^lée, mais qui aurait un élément superficiel gauche, la construction des trois tangentes 9, g y g' y pouvant s'exécuter, l'byperboloide osculateur existera toujours pour cet élément; et puisque trois génératrices telles que g déterminent un hyperboloîde , on voit de suite qu'il suffit de considérer trois sections de la surface courbe que l'on cherchait à transformer en une surface ayant un élément gauche.

Ainsi , pour l'osculation du second ordre entre deux surfaces gauches qui ont une génératrice commune, l'énoncé est le même que pour le contact du premier ordre ^ savoir : que si deux surfaces gauclies ont en trois pmnts de la génératrice corn" nntne un contact du second ordre y elles sont osculatrices Cune à l'autre tout le long de cette génératrice.

Toutes les surfaces gauches n'ont pas un byperboloide osculateur, quelquesunes d'entre elles ont au contraire un paraboloide hyperbolique osculateur. .

Les surfaces gauches se divisent en deux classes , celles qui ont un hyperboloîde osculateur et celles qui ont un paraboloide osculateur (**).

(*) Toute droite tracée dans le plan tangent et passant par le point de contact, est la directrice d^nn hyperboloîde tangent ; ponr que lliyperboloîde deyienne osculateur, cette directrice doit donc aroir une po6itioiv.toute spéciale par rapport à la surface, et dès lors par rapporta la courbe intersection de cette surface et du plan tangent ; or, une droite ( puisqu^il s'agit de contact) ne peut affecter que deux positions par rapport à la courbe, être sécante ou tangente ; d<>nc, etc.

{**) Voyez à la fin de ce cbap. II, le mémoire publie sons le n* 10.

Les premières sont celles qui n'ont pas de plan directeur du mouvement de la génératrice , les secondes sont celles qui ont. un plan directeur.

Lorsque l'on considère les secondes surfaces , alors Ténoncé ci-dessus se simplifie ; ainsi , pour deux surfaces ayant un même plan directeur et une génératrice commune, il suffit cftiit contact du second ordfe en deux points de la génératrice commune, pour que les deux surfaces sosculent tout le long de la génératrice.

C'est par la considération d'une surface gauche ayant un plan directeur que l'on parvient facilement à démontrer que : si en un point m d'une génératrice G d'une surface développable on fait passer un plan arbitraire coupant la surface suivant une courbe B^ si Ton considère la courbe b osculatrice de B au point m comme la base d'un cylindre parallèle à G , ce cylindre sera osculateur de la sur* face donnée tout autour du point m.

En effet :

Supposons la normale N au point m de la génératrice G de la surface dévelop* pable, deux sections normales k et k\ le cercle a osculateur de la courbe À, et construisons une ellipse cl osculatrice par l'un de ses sommets au point m de la courbe AV et ayant pour l'un de ses axes le diagnètre du cercle a.

Par deux semblables courbes on peut toujours faire passer un cylindre; mais la direction de ses génératrices est encore supposée inconnue.

Je dis que tout plan passant par la normale N coupera la surface et le cylindre suivant deux courbes osculatrices en m, que dés lors le cylindre est osculateur à la surface tout autour dii point m.

Pour le démontrer :

Supposons que par le point m je mène une droite arbitraire K, et que je la regarde comme une directrice d'un paraboloïde hyperbolique dont les. diverses génératrices 9 , g\ g\ etc., auront pour plan directeur le plan T tangent en m au cylindre et a la surface donnée.

Je suppose que je projette les diverses génératrices g^ g\ g'\ etc., sur le plan T parallèlement à la droite K et en les droites £, t\ t'\ etc., puis que par ces droites i, t\ î'\ etc. , je fasse passer des plans normaux coupant la surlace développable suivant des courbes a , a^ ol\ etc., ei le cylindre suivant des courbes 6, 6', 6", etc., m'étant d'ailleurs arrangé pour que deux des courbes a, a', a\ etc., soient les courbes À et A^ et que dès lors deux des courbes 6 , 6', 6", etc., se trouvent les courbes a et a'.

Cela posé :

Par les droites g, g*, g\ etc., je mène les plans R, R', R'', etc., respectivement parallèles au plan T, et sur ces plans je projette respectivement les courbes a et S, a' et 6', etc. , par des parallèles à K. Puis sur les divers plans tangents ( K, g) y

(K, /), etc. y je projette orthogonalement ces dernières courbes en les courbes a. et Sx , Jx et S', , etc. Dès lors toutes les courbes a., a', , etc., formeront une surface S', et toutes les courbes 6., g',, etc., formeront aussi une seconde surface S; ces deux surfaces S et S' auront Tune et l'autre un élément superficiel gauche en commun et situe suivant la droite K ; et de plus ces deux surfaces auront évidemment même plan directeur T pour cet élément gauche K ; les droites 9, g, g\ etc., formeront le paraboloïde hyperbolique osculateur, puisque deux d'entre elles seront tangentes aux transformées des courbes A et a, des courbes A' et a\ donc, etc.

Il faut maintenant démontrer que le cylindre osculateur de la surface développable tout autour du point m, est parallèle à la génératrice G de cette surface dêveloppable passant par le point m.

Si je considérais une troisième section normale A'^, et son ellipse osculatrice a" ayant pour Tun de ses axes le diamètre du cercle a; on sait que par les trois courbes a, a', a\'on peut toujours faire passer une surface du second ordre I, et qu'on n'en peut faire passer qu'une. Or cette surface serait osculatrice tout autour du point m (ce que l'on démontrerait en transformant la surface donnée en une surface ayant un élément gauche et n'ayant pas de plan directeur), la section normale faite suivant la droite G dans cette surface 2 serait donc osculatrice a G au point m. La surface 1 devrait donc être une surface réglée, la section normale devant être évidemment dans ce cas une droite.

Mais dans la surface réglée 2 on pourrait mener deux sections normales donnant chacune une droite; la surface développable aurait donc deux rayons de courbure infinis; on pourrait donc placer sur la surface développable deux droites, ce qui ne peut être, en vertu de la génération de la surface développable; la surface du second ordre devant être réglée ne pourra donc être qu'un cône ou un cylindre, et d'après ce qui précède, ayant vu que le cylindre passant par les deux courbes a et a était osculateur tout autour du point m , on en conclut que la droite G sera une de ses génératrices.

Constrtu^ion de Cindicatrice.

Lorsque par un point m d'une surface du deuxième ordre S onmène une droite arbitraire D, on pourra toujours faire passer par cette droite un plan R parallèle à la droite d polaire réciproque de D. Dès lors ce plan coupera la surface S suivant une courbe G dont D sera un diamètre. Faisant ensuite passer par D une

suite de plans P, P', P"^ etc., coupant la surface S suivant des sections coniques <?, éy c", etc., les couples de cônes enveloppant les courbes C et e, C'ete', etc., auront leurs sommets t/ et tj\ distribués sur la droite cf.

Si par la courbe C on fait passer des cylindres respectivement parallèles aux diverses droites my ou mi/', ils seront coupés par les plans P, P', P'', etc., suivant des courbes a, a^ a", etc., qui avec G détermineront une«urface du deuxième ordre S' osculatrice en m de la surface S.

Si ensuite on conçoit un cylindre tangent à la surface S' et parallèle à la droite D, ce cylindre jsera coupé par le plan T tangent en m à la surface S suivant une courbe qui sera XxniicaiTice,

Mais si Ton conçoit un cylindre tangent à la surface S* et parallèle à la droite D , ce cylindre sera coupé par le plan T' suivant une courbe/ ( ellipse, parabole ou hyperbole), et suivant la direction dans l'espace de la droite D et la nature de la surface S, le point m pourra être intérieur ou extérieur par rapport à la courbe/.

Or, on doit remarquer que si au moyen de la courbe/ on construit la courbe lieu dés points r, ou en d'autres termes Xiniicatrice ^ on trouvera toujours que cette courbe lieu des points r est une ellipse lorsque le point m est situé dans rintérieur de la courbe/, et qu'elle est une hyperbole lorsque le point m est situé hors dé la courbe/.

On trouve de même, parla méthode des projections, que lorsque la courbe/ se réduit à deux droites qui se coupent, la courbe lieu dès points r se réduit de son côté à deux droites parallèles également distantes du point m.