XL

Reclierche géométrique par la méthode des projections , de la nature de la courbe lieu

des points r , en d^ autres termes^ de ^indicatrice.

Supposons sur le plan horizontal une ellipse E, et dans l'espace un point S considéré comme le sommet d'un cône ayant la courbe E pour base. Concevons la droite allant du sommet S au point o, centre de la courbe E, et un plan arbitraire R coupant le cône suivant une ellipse ou une parabole ou une hyperbole À, et coupant la droite oS en un point a qui, évidemment, sera toujours situé dans l'intérieur de la courbe A, quelle que soit la direction du plan R.

Gela posé :

Menons par le point a une horizontale D, et prenons à droite et à gauche du point a , et sur cette horizontale deux points b et b* également distants du point «.

Supposons maintenant que parla droite oS on fasse passer un plan arbitraire P, lequel coupera le plan do Tellipse E suivant un diamètre B, te plan de la section conique A suivant une droite B' passant par le point A, et le plan mené par le point S parallèlement au plan horizontal suivant une droite B^'.

La droite B' coupera la courbe A en deux points m et m\ et si Ton joint les points 6 et m, 6' et m', les deux droites iront concourir en un point ^ situé sur le plan horizontal passant par le point S.

Joignant les points g et a et menant par le point b une parallèle G à ga^ elle coupera la courbe B' en un point r; tous les points tels que r formeront une courbe dont il faut chercher la nature géométrique.

Projetons le système parallèlement à la droite oS.

Le point a se projettera eno, et la droite D suivant un diamètre d de l'ellipse E ; par conséquent les points b et ^ se projetteront en les points h et h' situés sur le diamètre d et ces points seront également distants du centre o.

La droite G se projettera suivant une droite G' parallèle à la droite H, intersection du plan oag^ et du plan de la courbe E; et la droite G' coupera la courbe B en un point r' qui sera la projection du point r.

Or il est évident que la courbe lieu des points r' sera une ellipse semblable et concentrique à Fellipse E; donc la courbe lieu des points r sera toujours une ellipse, lorsque le point a sera situé dans l'intérieur de la section conique A.

Si l'on remplace l'ellipse E par une hyperbole, en faisant les mêmes constructions y on voit sur-le-champ que le point a est extérieur par rapport à la courbe A. Donc la courbe lieu des points r sera toujours dans ce cas une hyperbole.

Si Ton suppose que la courbe E se réduit à deux droites parallèles y prenant un point 0 également distant de ces deux droites et achevant les constructions indiquées ci-dessus , on trouve que la courbe lieu des points r se réduit à deux droites parallèles.

( La figure est facile à exécuter pour chacun des trois cas. )

RAYON DE COURBURE DE l'hÉLICE (*).

L'expression du rayon de courbure d'une hélice tracée sur une surface développable est remarquable par sa simplicité; on peut; parvenir avec la plus grande facilité , en s'appuyant sur la propriété générale dont jouissent les hélices et que nous avons démontrée par des considérations géçmétriques {**) assez simples , savoir : que le plan 09culateur dune hélice en un de ses points j e$t toujours perpendiculaire au plan tangent de la surface développable en ce même point.

Nous résoudrons d'abord la question pour un cône de révolution.

Soit une hélice H tracée sur un cône de révolution ; un point m decette hélice ; sa tangente étant mt faisant avec la génératrice G du cône, laquelle passe par le point m, un angle connu a.

Par le point m, je fais passer un plan perpendiculaire à l'axe du cône, lequel donnera pour section un cercle G.

Le cercle G et la génératrice G seront sur la surface conique les lignes de courbure qui se croisent au point m; l'un des rayons de courbure sera inûni, l'autre sera, en le désignant par r, égal à la longueur de la normale au point m, comprise entre ce point et Taxe du cône , on aura donc r = mh.

Si Ton considère un cylindre de révolution ayant pour base un cercle du rayon r, a^antses génératrices parallèles à la génératrice G, etayant cette droileGpour ligne de contactavec le cône donné ; ce cylindre aura tout le long de la droite G un contactdu premier ordre avec le cône; mais pour lepoint mil sera osculateuraucône ; en sorte que tout autour du point m le cylindre et le cône auront un contact du second ordre.

Par conséquent le plan osculateur de Ihélice coupera le cylindre osculateur du cône suivant une ellipse osculatrice à l'hélice par un de ses sommets.

Si donc je prends un plan SMT (fig. 41) qui représente le plan tangent au cône suivant la génératrice G; et que j'y rapporte le point m , la génératrice G

(*) Extrait du mémoire qni a pour Utre t Cùnêtruetion des points dHnfiexian , etc. , publie dans le 22* cahier du Journal de TËcole polytechnique. (**) Voyez le mémoire cité ci-dessus , et reproduit chap. 111 de ce volume , sous le o? 7,

et la tangente mi faisant avec la génératriceG Tangle donné a; puis, que je mène

hmh' perpendiculaire à la droite G , en portant à droite et à gauche du point m ,

mh = mA'c=3 r; eQÛn si je trace les deux droites dei <f parallèles à G, on aura en

mv le demi-grand axe, et en mh le demi-petit axe de Tellipse qui sera oscuiatrice

par un de ses sommets au point m de l'hélice H.

Désignant donc mv par a, mh par r, et le rayon de courbure au sommet de

Tellipse par p , on aura

et comme mv . sin a t=r: mA , on aura :

BÎAx

Ainsi : le rayon de courbure de (hélice est é^al au rayon de courbure du cône divisé par le carré du sinus de t inclinaison de Cliélice sur la droite génératrice du cône.

On peut exprimer ce rayon de courbure en fonction de la distance du point m de l'hélice H au sommet du cône et de l'angle d'ouverture de ce cône.

En effet :

Désignant par 2j3 l'angle d'ouverture du cône en son sommet, et par t; la distance du point m au sommet du cône.

Le triangle rectangle Shm* donnera :

d'où

toogP = ^

rtangp

sin «

Pour le sommet de Thélice sa tangente est perpendiculaire à la génératrice du cône , par conséquent pour ce point sin a := i ; d'où :

p = t)taDgp

Ainsi : pour le sommet de l^ hélice conique ^ le rayon de courbure est toujours égal au rayon de courbure du cône.

Ces résultats sont généraux ; ils ont lieu pour toute hélice tracée sur une surface développable , quelle que soit l'arête de rebroussement de cette surface ; car il est facile de généraliser les résultats que nous venons d'obtenir pour un cône de révolution.

En effet» la considération da cylindre osculaleur au point nideniélice H peut être employée » quelle que soit la surSaioe dételoppaUe, et conduira évidemment à des résultats identiques à ceux obtenus pour le cône de révolution.

Valeur du rayon de courbure en un des sommets de la sinusoïde.

On sait que la projection de Thélice cylindrique circulaire sur un plan parallèle aux génératrices du cylindre est une sinus(fide dont l'équation est :

opsR.ain [-r--')

le rayon du cercle section droite du cylindre étant R et le pas de l'hélice étant h.

Il est facile de trouver la longueur du rayon de courbure pour l'un des sommets de la sinusoïde, pro^edion de C hélice^ en partant de la valeur du rayon de courbure de l'hélice.

Le rayon de courbure pour l'héKce cylindrique circulaire est constant, il est :

an .a

R étant le rayon du cercle section droite du cylindre, et a étant l'angle d'inclinaison de l'hélice sur la génératrice du cylindre. El dès lors on a :

Sic .R

h étant le pas de l'hélice.

Cela posé :

Pour le point de l'hélice qui se projette sur le sommet de la sinusoïde, le rayon de courbure p est horizontal et parallèle au plan de projection verticale.

Le plan du cercle osculateùr de l'hâiice fhit, avec le plan horizontal , un angle qui est le complément de l'angle a ; il fera donc , avec le plan de la sinusoïde , un angle a.

Par conséquent le ioerote oseulateur de l'hélice se projeUeïa sur le plan de la sinusoïde, suivant une ellipse osculatrice par son sommet , au sommet de ta sinu* solde, et ses demi-axes seront :

kxt horisokital, a = . ,

8in .«

.1 . RoOS.a

Axe vatical, ftsss— r-; —

sin . a

Le rayon de courbure pour le sommet de la tinuscUde sera donc :

, 6* R\G06*.a àn\a R

^ a sin^a R tang*. a

Vérifions ce résultat en cherchant i par la métho()e ordinaire, la valeur du rayon de courbure de la ûnwiRde en son sommet,

L^expression générale et analytique du rayon de coprbure en un point d'une courbe , dont Téquation est 2cs=;/(z), est :

(Ta?

En substituant dans cette expression générale le ^r ^^ '^ ^ tirés de l'équation de la muscade , on aura :

Le sommet de la sinusoide a pour coordonnée : x=R et z = t-

Pour ce point , la valeur du rayon de courbure sera :

Et comme : cos (^ ) = 0 et que : sin ( ^ ] = 1 , on aura

«if.R et comme : * = r — > od aura :

P = — TTxr

(Sir/. R , fPg* . « tlOlg'.a

réstthat qui s'accorde avec celui auquel nou3 étions parvenu précédemment.

in —